biến đỏi đòng nhất các biểu thức

PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC –&— 1.1 Đồng nhất thức trên một tập – Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức.. 1.2 Phép biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân FĐịn

PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC

–&—

1.1 Đồng nhất thức trên một tập – Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức

ëHai biểu thức f(x1, x2,… xn) và g(x1, x2,… xn) trên A được gọi là đồng nhất bằng

nhau trên tập T, nếu tại mỗi điểm của tập T giá trị của chúng bằng nhau

ëĐẳng thức (1) f(x1, x2,… xn)=g(x1, x2,… xn) trên T được gọi là một đồng nhất thức trên T nếu biểu thức f(x1, x2,… xn) và g(x1, x2,… xn) là đồng nhất bằng nhau trên T ëNếu biểu thức f(x1, x2,… xn) đồng nhất bằng g(x1, x2,… xn) trên tập T1 và biểu thức

g(x1, x2,… xn) đồng nhất bằng h(x1, x2,… xn) trên tập T2, thì biểu thức f(x1, x2,… xn) đồng nhất với h(x1, x2,… xn) trên tập T=T1 Ç T 2

Đặt biệt khi T=T 1 =T 2 ta có: nếu f(x1, x2,… xn) º g(x1, x2,… xn) trên T và g(x1,

( 1)1

x

x x

trên Q là đồng nhất thức trên Q\{1}

1.2 Phép biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân

FĐịnh lí (Bơzu) Giả sử f(x) là một đa thức một ẩn bậc n³ 1 trên trường P Khi đó f(x) có trong P không quá n nghiệm và a là nghiệm của đa thức f(x) trong P khi và chỉ khi

f(x) chia hết cho x – a

FĐịnh lí Bơzu mở rộng Giả sử f(x, y, …, z) là đa thức của k – 1 ẩn (k>1) ẩn bậc n³ 1 trên trường P, g(y, …, z) là đa thức của k – 1 ẩn trên P Nếu f( g(y,…, z), y,…,z) là đa thức không thì f (x, y, …, z) chia hết cho x- g(y, …, z)

FĐịnh lí Đa thức f(x) trên trường số phức C là bất khả quy trên C khi và chỉ khi bậc

của nó bằng đơn vị

FĐịnh lí Đa thức f(x) trên trường số thực R là bất khả quy trên R khi và chỉ khi nó là

đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai với nghiệm ảo

FĐịnh lí Nếu phân số tối giảm ( ,p p q )

q ÎZ là nghiệm của đa thức

a x + +a x + với các hệ số nguyên (a n NÎ )thì p a (p chia hết 0 a ) và 0 q a n

R Một số dạng toán biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ nguyên, hữu tỉ phân

J Bài toán 1: Phân tích một đa thức trên trường số thực R thành tích những nhân tử

Ví dụ Phân tích đa thức x4-x3-x2+2x- thành các nhân tử bậc nhất 2

-î , ta tìm được a= - 1,b=1,c=0,d= - 2 (hoặc a=0,b=-2,c=-1,d=1)

J Bài toán 2 : Chứng minh một đẳng thức là đẳng thức đúng

Để giải bài toán này ta thường biến đổi cả hai vế này thành vế kia hoặc ngược lại, hoặc biến đổ cả hai vế cùng một biểu thức, hoặt rút ra kết luận dẳng thức đúng từ một đẳng thức đúng nào đó,…

J Bài tốn 3 : Đơn giản hay rút gọn một biểu thức

Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức

J Bài tốn 4 : Tính giá trị của một biểu thức ứng với một giá trị cụ thể nào đĩ của

tham số chứa trong biểu thức

Nên 12+22+32+…+n2=n(n 1)(2n 1)

6

1.3 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức vơ tỉ trên một tập

1 Căn thức trên trường số thực

1.1 Định lý: Với mỗi số thực a≥ 0, với mỗi số tự nhiên n cho trước

tồn tại duy nhất một số thực x≥ 0 sao cho xn =a

1.2 Định nghĩa 1: Với mỗi số thực a≥ 0 với mỗi số tự nhiên n cho

trước, số thực x≥0 sao cho xn =a được gọi là căn số học bậc n của a và kí hiệu là n a

1.3 Các hệ quả

- Với mỗi số thực a> 0, với mỗi số tự nhiên n chẵn(n= 2k), tồn tại hai số thực đối nhau x và –x sao cho xn =(-x)n =a

- Với mỗi số thực a, với mỗi số tự nhiên n lẻ( n=2k+1), tồn tại duy nhất số thực x sao cho xn =a

1.4 Định nghĩa 2: Với mỗi số thực a cho trước, với mỗi số tự nhiên n

cho trước, số thực x sao cho xn =a được gọi là căn bậc n của a

Như vậy:

- Mỗi số thực có một căn số thực duy nhất bậc lẻ cùng dấu với nó

- Các số thực âm không có căn số thực bậc chẵn

- Với mỗi số thực dương a có hai căn số thực bậc chẵn đối nhau, trong đó giá trị dương được gọi là căn số học của a và được kí hiệu 2k a, giá trị âm ký hiệu là -2k a

- Căn số bậc bất kỳ của 0 là bằng 0

1.5 Các tính chất của phép khai căn

n n

n n

a a

a1 2 = 1 2 , với mọi ai ≥ 0, i=1,2,…,n

Nếu các ai là các số thực tùy ý thì tính chất này vẫn đúng với các căn thức bậc lẻ(n= 2k+1)

2)

n

n n

b

a b

a = , "a³0,"b>0

Nế a, b là các số thực tùy ý, b≠ 0 thì tính chất này còn dúng cho các căn số bậc lẻ

3) Nâng bậc và hạ bậc của một căn thức: n a =nk a k , "a³0

Nếu a<0 thì tính chất trên vẫn đúng với n lẻ, k lẻ

4) n k a =nk a,"a³0

Nếu a<0 thì tính chất trên vẫn đúng khi n lẻ, k lẻ

5) Nâng một căn thức lên lũy thừa: ( )n a k =n a k,"a³0

Nếu a<0, n lẻ, k tùy ý thì tính chất vẫn đúng

6) Đưa một thừa số ra ngoài căn: n a n b =a n b,"a³0,b³0

- Nếu a<0, b<0 công thức trên vẫn đúng khi n lẻ

- Nếu b≥ 0, a tùy ý và n chẵn, công thức trên trở thành:

0,," Ỵ " ³

b

n n

7) Đưa một thừa số vào trong căn: a n b =n a n b,"a³0,"b³0

- Nếu a<0, b<0 công thức vẫn đúng khi n lẻ

- a<0, b≥ 0, n chẵn công thức trên trở thành: a n b =n a n b hay

n n

a =

-8)

2 Một số dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức vô tỉ

JBài toán 1: Đưa một biểu thức về một biểu thức không chứa căn

Phương pháp:

- Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng khai căn được

- Nhân vào biểu thức đã cho một biểu thức liên hợp

- Nâng biểu thức đã cho lên một lũy thừa thích hợp để làm mất căn thức

Ví dụ 1: Tính A= (2x3+ 2x2+ 1)2010, biết rằng:

ú

ú û

ù ê

4

513 23

4

513 23

Đặt: 3 3

4

51323

13

=

B

Giải

Cách 1: Dùng đồng nhất thức

Ta có: x3+ y3+ z3- 3xyz= (x+ y+ z)(x2+ y2+ z2-xy –yz- xz)

xyz z

y x

xz yz xy z y x z y

1

3 3 3

2 2 2

++

++

-=+

.393839

92322749812

39

3 3

3 3 3

3 3

3 3

++-

=-

++

++

-=++

Cách 2: Dùng biểu thức liên hợp

+-

-=-+

++

-=++

=+

131

31133

132

33

12

3 2

3

3

3 2 3

3

1391

3913

139131

3

1

3 3 3

3 3 3

3

=+-+

+

=

+

-=

JBài toán 2: Đưa một biểu thức vào trong dấu căn

Ví dụ 3 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, hãy chứng minh rằng:

2

3

³+

++

+

c a c

Ta có: (1) Û 3

2

311

++++++

c a

c

b c

b a

ø

ưç

è

ỉ

+

++

++++

Û

b a a c c b c b

è

ỉ

+

++

++++

=

b a a c c b c b a

è

ỉ

+

++

+++

+++

+

=

b a a c c b c b c a b

ùê

êë

é

+

++

++úû

ùêë

b a a

c c

b b

a a

c c

b

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

A≥ (1+ 1+ 1)2= 9

Dấu bằng xảy ra khi a= b= c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

1.4 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức mũ và logarit

1 Phép tốn mũ và phép tốn logarit

Định lý 1: Giả sử số vơ tỉ a là giới hạn của hai dãy số hữu tỉ gần đúng thiếu và

a a = a +

a

Với là các số vô tỉ và 0<a 1¹

Định lý 2: Với 0<a 1¹ , b là một số dương tùy ý cho trước, thế thì tồn tại duy nhất một số a sao cho a a =b

Định nghĩa 2: Với 0<a 1¹ , b>0 cho trước, số a sao cho a a =b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b=a

Với 0<a 1¹ , dựa vào định nghĩa phép toán logarit ta chứng minh được các tính chất sau:

1 Số âm và số 0 không có logarit

2 loga(b1 b n)=loga b1+ +loga b n, bi>0 ( i= 1,2,…,n)

c

c a

log

loglog = hay logc a.loga b=logc b, (b>0, 0<a 1¹ )

6

a

b

b a

log

1log = , (b>0)

Ví dụ 1: Tính log308, biết rằng log305=a và log303=b

GIẢI

Ta có: log3030=1=log30 2.3.5=log30 2+log303+log305

Vậy: log30 2= 1-a-b

Do đó: log308=3log302=3(1-a-b)

JBài toán 2: Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức B=

5 log 2

1 2 log 6 6

6

-÷ø

öçèæ

GIẢI

55.2

16

2

16

26

16

6161

1 1

5 log 5

log 1

1

5 log

1 2 log

5 log 2 1

2 log

6 6

6 6

öçèæ

=

÷ø

öçèæ

÷ø

öçè

æ

-

-

JBài toán 3: Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 3: Cho a>0, a 1¹ ,b>0, b 1¹ Chứng minh rằng:

b

n n b b

b

)1(log

1

log

1log

1log

1

3 2

+

=+

++

GIẢI

b b

n

a b

log2

)1(log

2

+

JBài toán 4: Đơn giản biểu thức

Ví dụ: Đơn giản biểu thức A = loga b(loga b+logb a+2(loga b-logab b)

GIẢI

log1

1(log

1log2log2

a b

a b

b a

b

a a

log1

log)

log1(

++

=

b

b b

a

a a

log

11

log)log1(

++

2

2

loglog

1

log)

log1

++

1.5 Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức lượng giác

JBài toán 1: Đơn giản biểu thức: tức là đưa biểu thức về biểu thức có chứa ít phép toán

hơn, các phép toan dễ thực hiện hơn

Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức A sin( ) sin( )

JBài toán 2 : Chứng minh một đẳng thức là một đẳng thức đúng :

Ví dụ 2: Chứng minh rằng : 1 sin 2 cos2

B C 30

A 120

ì = =ï

í

=ïî

Vậy tam giác ABC cân tại A

b c ax a c by a b cz abxy bcyz acxz

a b c x a b c by a b c cz a x b y c z abxy bcyz acxz

= êë

+ 39

VP =

3

3 3

3 3 3 3 3

21

)21)(

421(

úû

ùê

ë

é

+

++

-=

3 3 3

3

)21(

3+

=

)421(3

273

3 ++ = (1 2 4)( 2 1)

)12(9

3 3 3

3

+

)12(

9 3-

= 9(3 2 -1)

n

1

1+

£

n ( 1 1

1

+++

)1(

1)

1(1

+

=+

++

n n

n n

n n

[( 1) ]

)1(

n n

11

+-+

=+-

+

£

n n n

n n

Bài 8 Tìm phần nguyên của số A = 2 + 3

2

3

+ 43

4

+ … + +1 +1

n n n

Suy ra :

2

1111

2

+

-£

3

12

112

113

+-+

£

n n

=>A

1

11

+-+

1

(

x

z y

+

++

=

))(

(

))(

)(

)(

(

z x y x

x z z y z y y x

++

++++

= (y+z)2

2

2

2)(1 )1

+

++

= (y z)(x z)(x y)(x z)

++

++++

1(

x

z y

x

+

++

1

)1)(

1(

y

x z

y

+

++

1

)1)(

1(

z

y x

z

+++

2 2 2

1

)1)(

1

(

z

y x

+

++

= (x+ y)2 Khi đó ta có: T = x (y+z)2 + y (x+z)2 + z (x+ y)2

1(4

11

1)

1(4

11

2

2

+-+

-+

-a a

a

a

=

a a

a

a a

a

2)1(4

2)1(4

2 2 2

2 2 2

+-+

-+

=

a a

a

a a

a

2124

2124

2 2

2 2

+++

++

=

a a

a a

21

212

2++

+

= 2

2

)1(

)1(+

-a a

=

1

|1

|+

-a a

|+

-a

a

=1

1+

-a a

Bài 10 Cho x < 0 Chứng minh rằng :

1)22(4

11

1)22(4

11

2

2

+-

+

-

-+

-x x

x x

21

21+-

Thay a = 2x ta được VT = x x

21

21+

= VP (Đpcm)

è øNên ta áp dụng

÷ø

öçè

æ+

÷ø

öçè

c

b c

a

Û

îí

a c

ï

ïî

ïïí

10

c b c a

+ Với x > x0 ta có:

ï

ïþ

ï

ïýü

÷ø

öçè

æ

<

÷ø

öçèæ

÷ø

öçè

æ

<

÷ø

öçèæ

0

0

x x

x x

c

b c

b

c

a c

a

1

<

÷ø

öçè

æ+

÷ø

öçè

æÛ

x x

c

b c

a

+ Với x < x0 ta có:

ï

ïþ

ï

ïýü

÷ø

öçè

æ

>

÷ø

öçèæ

÷ø

öçè

æ

>

÷ø

öçèæ

0

0

x x

x x

c

b c

b

c

a c

a

1

>

÷ø

öçè

æ+

÷ø

öçè

æÛ

x x

c

b c

VT=sin2A + sin2B + sin2C

=2sin(A + B) cos(A B) + 2 sin C cos C

=2sinC cos(A B) + 2 sin C cos C - ( do A+B=180-C)

=2sinC cos(A B) - cos(A B)[ - + ]

=2sinC -2sin A sin( B)[ - ]=4sin A sin BsinC = VP §

2 sin

B

2sin

C2

c Chứng minh sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

d Chứng minh cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosAcosBsinC

Giải:

Ta có :

VT=cos2A + cos2B + cos2C ( do A+B= П -C)

=2cos(A + B) cos(A B) + 2 cos C 1 - 2

= -2cosC cos(A B) - cos C[ - ]-1 =-2cosC cos(A B) + cos(A B)[ - + ]-1

= -2cosC 2cosA cos B( )-1 = -1- 4cosA cos BcosC = VP §

<=> tan A tan B+ = -tan C 1 tan A tan B( - )

<=> tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC

e Chứng minh tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC (*)

f chứng minh : tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1

=1 cos(A B) cos(A B) cos (A B) 1- + + - - 2 + +

=2 cos(A B) cos(A B) cos(A B)- + [ - + + ]

=2 2 cos C cos AcosB=2 1 cos C cos AcosB+ ( + ) §

=1 cos(A B)cos(A B) cos C+ + - + 2

=1 cos Ccos(A B) cos C- - + 2

=1 cos C cos(A B) cosC- [ - + ]

=1 cos C cos(A B) cos A B- éë - + ( + )ùû

=1 2 cos CcosA cos B 1 2cosA cos Bcos C- = - = VP §

g Chứng minh sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1+ cosAcosBsinC )

h Chứng minh cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosAcosBsinC

cot 70 4 cos 70 cot 30

cot 30 cot 70 4 cos 70 (*)

2 4sin 20 4 cos 70 (*)

b) cot700 + 4cos700 = cot300

c) sina + sin2a + … + sinna = 1

sin2

4 cos 18 3cos18 2sin18 cos18

4 cos 18 3 2sin18 cos18 0

( )4

-=ê

a a

n n

b) sin 2A+sin 2B=4sin sinA B

sinA+sinB+sinC- A+ B+ C =

d) cos cos sin2 2(1)

sin 3 sin 3 sin 3 0(2)

32

B C

C

p p p

Û + = (vì các góc của VABC không tù)

Bài 20 Nhận dạng tam giác ABC nếu các cạnh và các góc của tam giác thỏa

mãn một trong các hệ thức sau:

a) c c= cos 2B b+ sin 2B (các góc của ABCV không tù)

A p

Û =

Þ DVVVRVVV ABC vuông tại A

Xét sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A B+ ) cos(A B- )

= 2sin cos(C A B- ) 2sin£ C (1)

Tương tự:sin 2B+sin 2C£2sinA (2)

sin 2A+sin 2C£2sinB (3)

cos cos sin sin

Vậy D ABC vuông tại A

d) tan tan ( ) tan

Bài 5 Dùng phương pháp hệ số bất định tìm giá trị a và b sao cho đa thức

x3+5x2-8x+a chia hết cho đa thức x2+x+b

Bài 6 Tính f( 2

19

- ),f( 2 ),f( p- ) nếu 1

1

1 31

1

1 3

1 3( )

11

f x

x x x x

+++

-+

-=

++-

-+

-Bài 7.Đơn giản biểu thức

2 b a a b a

a b

-+ - +

=

d).

2 2

2

2 b a a b a

a b

-+ - +

2 2 3 2

12 17

2 2 3

+

+ -

2

32

32

öç

ç

è

æ

-

+

-++

+

c) C= 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3

d) D= 6 + 2 2 3 - 2 + 12 + 18 - 128

Bài 10 : Trục căn thức ở mẫu số

a)

21 14

15 10

1

+ +

1 +

2

1 -

2

1 1

2 )

(

2 2

x x

4

1

27 3

÷ ø

ö ç

è

æ

4 log 2

lg + = + , nếu a2 + b2 = 7ab, a, b > 0

b) 2 log2 x = a logx 2 , nếu x > 1

d)

3

1 7 log 6 log 5 log 4 log 3 log 2

n

p p p p

-43 42

x x

x x

x x

x

abc

c b

a a

c c

b b

a

log

log log

log log

log log

log log

215sin235cos70sin200cos70cos160sin

g tg

-

230)

338()140(cot)110(cot

)140cos(

)170sin(

)320cos(

190sin

tg tg

g

-

-+

c) C=

a a

a

a a

a

7sin6sin5sin

7cos6

cos5

cos

++

++

d) D=sin 6x.cos3 2x + cos 6x.sin3 2x

e) E=(sinx +

x

sin

1)2 + (cosx +

x

cos

1)2 - tg2x – cotg2x

f) F=2(sin4x + sin2xco2x + cos4x)2 – sin8x – cos8x

g) G=(

x

x

cos1

cos1

cos1+

a b

8

cos8 x

- 8

cos8x

- 3

sin6 x

+ 6

cos6 x

+ 4sin4 x

không phụ thuộc x