Gợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng, dựa vào phân số tối giản => vô lí.. là số vô tỉ.[r]
Trang 1Chủ đề nâng cao:
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT ĐẲNG THỨC
CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Tiết 1: Ngày: 02/ 10/ 2009
I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
A- Phép tính lũy thừa:
1/ an = a.a.a…a ( n thừa số a, n N* ) Quy ước: a1 = a
2/ am an = am + n
3/ am : an = am – n ( a 0 ) Điều kiện để am ⋮ an là m n
4/ (am)n = am.n
5/ (a b)n = an bn
6/ (a : b)n = an : bn ( b 0 )
7/ am > an ⇔ m > n ( a > 1 )
8/ am > an ⇔ m < n ( 0 < a < 1 )
9/ am = an ⇔ m = n ( a > 0 và a 1 )
10/ am = bm ⇔ a = b ( với mọi a,b không âm )
B- Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1/ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
2/ a2 – b2 = (a – b).(a + b)
3/ (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
4/ a3 ± b3 = (a ± b).(a2 ∓ ab + b2)
5/ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
7/ (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3.(a + b).(b + c).(c + a)
8/ a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
9/ (a + b)n = an + 1 ! n an – 1.b + n.(n− 1) 2 ! an – 2.b2 + …+ n.(n− 1) 2 ! an.bn – 2 + 1 ! n a.bn – 1 +
bn
10/ (a ± b)n ⋮ (a ± b) với mọi a, b nguyên và n lẻ
11/ (a – b)n ⋮ (a – b) với mọi a, b nguyên và mọi số tự nhiên n
C.Tính chất cơ bản của phân thức:
1/ A B=A M
B M với mọi M 0 2/ A B=A : M
B: M với mọi M 0 và A ⋮ M; B ⋮ M D.Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
*Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các số hạng, tách một hạng tử thành nhiềm hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, tìm giá trị riêng, …
E.Các phép biến đổi căn thức bậc hai:
1/ √AB=√A √B ( A, B không âm ); 2/ √A
B=
√A
√B ( A không âm, B dương )
Trang 23/
¿
A ; A ≥ 0
− A ; A<0
¿√A2= |A| ={
¿
; 4/ √A có nghĩa khi và chỉ khi A không âm
5/ √A2 B=|A|.√B ( B ≥ 0 ); 6/
¿
A√B=√A2B ; A ≥ 0 ;B ≥ 0
A√B=−√A2B ; A<0 ; B ≥ 0
¿ {
¿
; 7/
√A
B=
√AB
|B| ; A B ≥ 0; B ≠ 0 ;
8/ A
√B=
A√B
B ; B>0 ; 9/ A
√B ±√C=
A (√B ∓√C)
B− C ;B ≥ 0 ;C ≥ 0 ;B ≠ C
Tiết 2: Ngày: 02/ 10/ 2008
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dang 1:Phân tích thành nhân tử :
1/ a10 + a5 + 1
Gợi ý: thêm và bớt a2 + a, kết quả là a10 + a5 + 1 = (a2 + a + 1).(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1) 2/ a16 + a8b8 + b16
Gợi ý : tách hạng tử a8b8 = 2a8b8 – a8b8, kết quả là :
a16 + a8b8 + b16 = (a8 – a4b4 + b8).(a4 – a2b2 + b2).(a2 – ab + b2).(a2 + ab + b2)
3/ (a + 1).(a + 3).(a + 5).(a + 7) + 15
Gợi ý : Viết lại như sau (a + 1).(a + 3).(a + 5).(a + 7) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 15) + 15 Đặt a2 + 8a + 11 = t , rồi biến đổi tiếp
4/ (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Gợi ý : Áp dụng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab.(a + b)
5/ 2a2 + 2b2 – 5ab
Gợi ý : tách -5ab = -4ab – ab
6/ 3a2 + 3b2 – 10ab
Gợi ý : tách -10ab = -9ab – ab
7/ 2 a+7√a+6
Gợi ý : tách 7√a=4√a+3√a
8/ a√a+6 a+11√a+6
Gợi ý : tách 6a = 3a + 3a và 11√a=9√a+2√a
9/ 7+2√2+√3+3√6
Gợi ý : tách 7 = 4 + 3 và 3√6=√6=2√6
10/ √a4+5√a3+2√a2+10√a
Gợi ý : đư thừa số ra ngoài dấu căn rồi nhóm hợp lí
11/ a√a+a+4
Gợi ý : tách 4 = 8 – 4 rồi nhóm hợp lí
12/ a2 +6 a√a+7 a −6√a+1
Gợi ý : đặt ẩn phụ b=√a ⇒b2
=a , rồi đưa về đa thức bậc bốn có hệ số đối xứng
Trang 3Tiết 3,4: Ngày: 09/ 10/ 2009
Dạng 2:Chứng minh là số hữu tỉ, số vô tỉ:
1/ Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 và a = b + c.Chứng minh: √a12 + 1
b2 + 1
c2 là số hữu tỉ Gợi ý : (1a −
1
b −
1
c)2= ¿ ……
2/ Cho a, b là các số hữu tỉ dương và a3 + b3 = 2a2b2.Chứng minh: √1− 1
ab là số hữu tỉ Gợi ý : bình phương hai vế của a3 + b3 = 2a2b2 rồi suy ra (a3 – b3)2 = ………
3/Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác nhau đôi một.Chứng minh: √(a − b)1 2+
1
(b − c )2+
1
(c − a)2∈ Q Gợi ý : Tương tự bài 1
4/ Cho a, b, c là các số hữu tỉ và ab + bc + ca = 1.Chứng minh: √(1+a2).(1+b2).(1+c2)∈Q Gợi ý : 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b).(a + c) ………
5/ Chứng minh: √999 9⏟
nCS 9
4 000 0⏟
nCS0
9 là một số tự nhiên
Gợi ý : Đặt k = 111 1⏟
nCS 1 rồi biến đổi số dưới dấu căn theo k để được số chính phương 6/ Chứng minh rằng nếu a là số tự nhiên không chính phương thì √a là số vô tỉ
Gợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng, dựa vào phân số tối giản => vô lí
7/ Chứng minh rằng các số: √2+√3 ;1+√2+√3;√1+√2 ; . là số vô tỉ
Gợi ý : áp dụng phương pháp phản chứng và kết quả của bài tập 6
8/ a) Hãy chỉ ra một số thực x mà x x
1
là số nguyên ( với x ± 1 )
b) Chứng minh rằng nếu x ± 1 và x x
1
là số nguyên thì x và x+
1
x là số vô tỉ
Gợi ý : a) cho x −1
x = 1 từ đó suy ra giá trị của thực của x
b) áp dụng phương pháp phản chứng
9/ Gỉa sử a + b; a2; b2 là các số hữu tỉ khác 0, thì các số a và b có thể là số vô tỉ hay không? Gợi ý : không thể, lấy phản ví dụ
10/ Chứng minh rằng: 2(√n+1−√n)< 1
√n<2(√n−√n− 1) với n N*
Từ đó suy ra tổng: S=1+ 1
√2+
1
√3+ +
1
√100 không phải là số tự nhiên
Trang 4Gợi ý : chứng minh rằng: 18 < S < 19.
Tiết 5,6: - KIỂM TRA 30 PHÚT - Ngày: 02/ 10/ 2009
Dạng 3:Chứng minh đẳng thức:
1/ Chứng minh rằng: √4+√7 −√4 −√7 −√2=0
Gợi ý : Đặt M=√4 +√7−√4 −√7 rồi tính sẽ được M=√2
2/ Chứng minh rằng: √√7 −√3 −√√7+√3
√√7 −√4 +√2=0 Gợi ý : Đặt M=√√7 −√3 −√√7+√3
√√7 −√4 => M=−√2 3/ Chứng minh rằng: 8 √√5 −√3 −√29− 12√5=(√10−√2).(3+√5).√3 −√5
Gợi ý : chứng minh giá trị mỗi vế đều bằng 8
4/ Chứng minh rằng: √1+√1− x2.[√(1+ x )3−√(1− x )3]
2+√1− x2 =x √2 ; với −1 ≤ x ≤1 Gợi ý : √1+√1 − x2=√1+ |x|
2 +√1 −|x|
2 và phân tích thừa số còn lại thành tích
5/Chứng minh: (√x −1√x −1 −
x −3
√x −1 −√2).(√2 −2√x −
√x +√2
√2 x − x)=√2−√x
√x ; với ( x ≥ 1; x ≠2 ; x ≠ 3
)
Gợi ý : trục căn ở mẫu rồi biến đổi theo thứ tự phép tính
6/ Chứng minh: (√1− x +√√xyy+
√x −√y
1+√xy ):(1+x + y +2 xy
1 − xy )= 2√x
x +1 ; với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy ≠ 1 Gợi ý : biến đổi theo thứ tự phép tính
7/Cho biết x, y, z > 0 và x.y.z = 4.Chứng minh: √x
√xy+√x +2+
√y
√yz +√y+1+
2√z
√zx+2√z +2=1 Gợi ý : nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với √x và thay số 2 ở mẫu của hạng tử thứ
ba bởi √xyz
8/ Chứng minh rằng:
a) 3
√17√5+38 −√317√5 −38=4 ; b) 3
√5+2√13+√35 −2√13=1 ; c) 3
√√5+2−√3√5 −2=1 ; d) 3
√7+5√2+√37 −5√2=2 Gợi ý : áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
9/ Cho ax3 = by3 = cz3 và 1x+ 1
y+
1
z=1 Chứng minh rằng: 3
√ax2+ by2+ cz2=√3a+√3b+√3 c Gợi ý : đặt ax3 = by3 = cz3 = k từ đó suy ra
10/ Cho a= − 1+√2
−1 −√2
2 Chứng minh rằng: a7
+b7
=−239
64 Gợi ý : tính tổng a + b và tích a.b rồi dùng hằng đẳng thức
ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ - THỜI GIAN: ( 30 PHÚT )
1/ Phân tích thành tích: ( 3 điểm )
a) 2a2 + 2b2 – 5ab
Trang 5b) a2+6 a√a+7 a −6√a+1
2/ Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ: ( 3 điểm )
¿
a 2+2√3 ¿b¿ 1+√2+√3 ¿
3/ Chứng minh đẳng thức: (4 điểm)
(√x +√y
1−√xy+
√x −√y
1+√xy ):(1+x + y +2 xy
1 − xy )= 2√x
x +1 ; với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy ≠ 1
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
1/ Phân tích thành tích: ( 3 điểm )
a) ( 1,5 điểm )
2a2 + 2b2 – 5ab = 2a2 – 4ab + 2b2 – ab = 2a(a – 2b) – b(a – 2b) = ( 2a – b)(a – 2b) b) ( 1,5 điểm )
2/ Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ: ( 3 điểm )
a) ( 1,5 điểm )
Gỉa sử √2+2√3=m ∈Q ⇒14 +4√6=m2⇒√6=m2−14
4 ( vô lí )
Vì √6 là số vô tỉ còn m2−14
4 là số hữu tỉ
b) ( 1,5 điểm )
Giải tương tự câu a)
3/ Chứng minh đẳng thức: (4 điểm)
(√1− x +√√xyy+
√x −√y
1+√xy ):(1+x + y +2 xy
1 − xy )= 2√x
x +1 ; với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy ≠ 1 Giải: Biến đổi vế trái:
(√1− x+√√xyy+
√x −√y
1+√xy ):(1+x + y +2 xy
1− xy )
¿(√x +x√y +√y + y√x +√x −√y − x√y + y√x
1− xy ):(1 − xy +x+ y+2 xy 1− xy )
¿ 2√x (1+ y )
1 − xy .
1 − xy 1+x + y +xy=
2√x (1+ y )
1− xy .
1 − xy (1+ x )+ y (1+ x )=
2√x (1+ y ) (1− xy )
(1− xy ) (1+ x ) (1+ y )=
2√x x+1
Vậy: (√1− x +√√xyy+
√x −√y
1+√xy ):(1+x + y +2 xy
1 − xy )= 2√x
x +1 ; với x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; xy ≠ 1