BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHÂT CÁC BIỂU THUC ĐẠI SOO

Chủ đề biến đổi các biểu thức đại số.I Các dạng bài tập cơ bản.. 1/ Tính giá trị của biểu thức Rút gọn biểu thức số 2/ Rút gọn biểu thức chứa biến.. Sử dụng kết quả rút gọn để : - Tính

Chủ đề biến đổi các biểu thức đại số.

I Các dạng bài tập cơ bản.

1/ Tính giá trị của biểu thức (Rút gọn biểu thức số )

2/ Rút gọn biểu thức chứa biến Sử dụng kết quả rút gọn để :

- Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến;

- Giải phơng trình, bất phơng trình ( so sánh biểu thức với một số )

- Tính giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

- Tìm giá trị nguyên của biểu thức ứng với các giá trị nguyên của biến

Bài tập rút gọn biểu thức chứa biến.

Biểu thức không chứa dấu ngoặc

+ Biểu thức có cả bốn phép tính thì thực hiện nhân chia trớc cộng trừ sau

+ Nếu biểu thức chỉ có các phép toán nhân chia hoặc cộng trừ thì thực hiện từ trái sang phải

Phơng pháp giải:

B

ớc 1: Tìm ĐKXĐ của bài toán hoặc nhắc lại ĐKXĐ đã cho.

B

ớc 2: Rút gọn các phân thức trớc khi thực hiện phép tính.

Chú ý: Nếu phải đổi dấu phân thức để tìm MTC nếu cần thiết.

Biểu thức có chứa dấu ngoặc.

-Thực hiện theo thứ tự các phép tính có ngoặc: ( ) →[ ] →{ }

-Ta thờng gặp các dạng bài cho biểu thức P = (f x : q x Tìm cách đa bài toán về ( ) ) ( ( ) )

dạng không có ngoặc bằng cáh đặt P = A: B Trong đó A = f x ; B = ( ) q x ( )

-Sau đó thực hiện phép tính A và tính B Thay vào biểu thức P

+Biểu thức có dạng P = M P N+ ± M P N− .

Ta biến đổi biểu thức dới dấu căn về dạng ( )2

a b− = a b−

+Rồi vận dụng quy tắc dấu GTTĐ để giải toán

Sử dụng các kết quả rút gọn để giải các dạng bài tập cơ bản.

Dạng1: Tính giá trị của biểu thức biết giá trị của biến.

Phơng pháp giải toán :

+ Kiểm tra xem giá trị của biến có thoả mãn điều kiện xác định của bài toán không + Biến đổi đơn giản giá trị của biến nếu thấy cần thiết

+ Thay các giá trị của biến vào và thực hiện phép tính về biểu thức số

+ kết luận

Dạng 2:

Giải ph ơng trình bất ph ơng trình (so sánh với một số nào đó).

* Giải ph ơng trình:

Phơng pháp chung: Nên dùng phơng pháp đổi biến để phơng trình đã cho về các dạng phơng

trình đã học

+Dạng phơng trình đa thức: Ví dụ 2x 3 x 5+ = Đặt x t 0= ≥ thay vào ta đợc

ph-ơng trình

2

2t + − =3t 5 0 Rồi giải phơng trình bậc hai chú ý điều kiện

(H?S giỏi có thể phân tích thành phơng trình tích)

+Dạng phơng trình phân thức P = 3 x 2

x 2= + với Đ/K: x 0 ;x 1≥ ≠

Phơng pháp giải toán: Đặt x t= (t 0; t 1≥ ≠ ) Thay vào ta đợc phơng trình: 3t 2

t 2=

+

3t 2t 4

⇒ = + Giải phơng trình đối chiếu điều kiện rồi thử lại

* Giải bất ph ơng trình:

*Dạng đa thức: Ví dụ Tìm x để x + 2 x 3> Đ/K: x 0; x 1≥ ≠ Ta dùng phơng pháp đổi biến Đặt x t voi t 0;t 1= ≥ ≠ Thay vào ta có BPT:

( ) ( )

2

t + − > ⇔ −2t 3 0 t 1 t 3+ > ⇔ − >0 t 1 0 vi t 3 0+ > với điều kiện x 0; x 1≥ ≠ Từ

đó giải bất phơng trình t > 1⇒ x 1> ⇔ >x 1

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm của bài toán

Dạng bất ph ơng trình phân thức:

Ví dụ tìm x để P = x 1 1 (Đ/ K : x 0)

2

x 1− < ≥

Phơng pháp giải toán: Ta dùng phơng pháp đổi biến: Đặt x t= (t 0≥ ) Thay vào ta có bất phơng trình PT:

( )

− − < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <

Kết hợp với điều kiện bài toán để kết luận nghiệm : 0 x 9≤ < thoả mãn đề bài

Dạng bài so sánh biểu thức P với biểu thức A.

Phơng pháp giải toán: Ta xét hiệu P - A.

Nếu: P A 0− ≥ thì P A≥

Nếu P - A < 0 thì P < A

Chú ý: dùng ĐKX Đ để giải toán.

Dạng 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức dẫ rút gọn.

Dạng phân thức :

Cách 1: Ta đa phân thức về một trong các dạng sau:

P =

( )

k

f x +q (trong đó k; q là hằng số; f(x) là đ thức chứa biến)

Ví dụ: Tìm GTNN của P = x 1 x 2 3 1 3 (x 0;x 1)

+ + Dấu ″=″ xảy ra x = 0.

Nếu dùng phơng pháp đổi biến thì bài toán đơn giản hơn

Cách 2: Dùng bất đẳng thức cô si tìm GTLN & GTNN của biểu thức.

Ví dụ Tìm GTLN của biểu thức : P = x 2 x 2 x 2 2

+ + = − + + 

Theo bất đẳng thức cô si: x 2 2 2 x 2 2 2 2 2

Vậy Max P = − +(2 2 2) Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 x 2

x

= ⇔ =

Ví dụ tìm GTNN của biể thức P = 2010 - 1 (x 4)

1 2010

x

−

 −  +

Do x

≥  − ữ + ≥ − ữ + =

2

0

3

x

 −  +

Vậy P 2010 1 6029 x 1 3 x 4

3 x 0;x 1

Dạng biểu thức rút gọn có dạng đa thức:

Ví dụ 1: Tìm min A=2x−7 x+3 (Dựa vào hằng đẳng thức)

Giải: ĐK: x≥0

Đặt x =t; ĐK: t≥0,t≠1

3 16

49 16

49 4

7 2









= t t A

3 16

49 4

7 2

2

+

















−











 −

= t A

8

25 4

7 2 4

28 8

49 4

7 2

2 2

−











 −

= +

−











 −

A

Do

4

7 0

4

7 2 0

2

=

⇔

≥











 −

⇒

t

Vậy min A =

8

25

− khi

16

49

=

x

Ví dụ 2: Tìm min P=x− x

Giải:

ĐK: x≥0,x≠1

4

1 2

12−









 −

=

−

=x x x

P

2

1 2

≥











4

1 0

minP= ⇔ x=

2 Dạng toán 4: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

Ví dụ 1:

3

1

−

+

=

x

x

Giải:

ĐK: (x≥0,x≠4,x≠9)

Đặt x =t≥0, t ≥16, t≥81

3

4 1 3

4 3 3

1

− +

=

−

+

−

=

−

+

=

t t

t t

t

P

P nhận giá trị nguyên ⇒

3

4

−

t nguyên 







−

≥

−

−

∈

⇔

2 3

3

t t

Z t

là ớc số ≠1 của 4

1 1

1 2

t

4 2

2 1

16 4

4 1

t

25 5

5 2

t

49 7

7 4

t

Đối chiếu với điều kiện của bài toán => giá trị của x nguyên thoả mãn

Ví dụ 2:

1

2

+

−

=

x x

x

Giải:

ĐK: x≠1, x>0

Đặt x =t⇒t>0,t≠1 Ta có: 1 1

2 1

2

2

− +

= +

−

=

t t t t

t Q

⇒

∈Z

t

t là ớc của 2 Theo bất đẳng thức cô si ta có:

1 1

1 2

1≥ ⇒ + − ≥

+

t

t t

t

Vì Q>0 => 0 < Q ≤ 2 => 2

1 1

− +

t t

Mà Q∈Z ⇒Q={ }1;2 ; Từ đó giải phơng trình

Ví dụ 3:

x

x x

Q= 3 −3 +3 nguyên

Giải:

ĐK: x≥0,x≠1

t

t t

t

1 3 3 3

3 2

+

−

= +

−

Cần tìm x∈N*, x≠1 sao cho t = x nguyên dơng, khác 1 và biểu thức ( )

t

3 − + là một số nguyên

Vì 3( )t−1 nguyên nên để ( )

t

3 − + nguyên cần phải có

t

3 nguyên.

Điều kiện t∈Z+,t≠1 => t =3 Khi đó x = 9

Vậy với x = 9 ta có biểu thức Q là một số nguyên

III Các kiến thức cần vận dụng.

- Các phép toán về đa thức, phân thức

- Các phép toán về căn thức

- Thứ tự thực hiện các phép tính (Không có ngoặc, có ngoặc)

- Các hằng đẳng thức về căn:

Với a≥0,b≥0

1 a−b=( a− b)( a− b)

2 ( a± b)2 =a±2 ab+b

3 ( a± b)3 =a a±3a b+3b a±b b

4 a a±b b = a3 ± b3

5 a a±1= a3 ±1=( a±1)(.a a+1)

- Dạng toán: M±P N => a2±2 ab+b2 trong đó









=

+

=

ab N

P

b a M

2

2 2

biến đổi căn

- Đa về dạng toán: a +b = a+b với a,b≥0

- Bất đẳng thức Cô si dạng: a+b≥2 ab Với a,b≥0

+1≥2

a

a Với a > 0

II/

Các bài toán cơ bản

x 1

a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị của x để P dơng

Bài 2: Cho biểu thức P =

(x 4 ) x 23 : x 2x x 2x .

x x 2

a/ Rút Gọn P b/ Tính giá trị của P, biết x = 6 2 5−

c/ Tìm các số a để có x thoả mãn: ( x 1 P+ ) 〉 x a+

Bài 3 : xét biểu thức : P = 1 a : a

+

a/ Rút gọn P b/ Tìm a để P = 13

3 .

Bài 4: Cho biểu thức P =

2

a/ Rút gọn P

b/ Tìm GTLN và GTNN của P với 1 x 1− ≤ ≤

Giải : a/ P = 2 x−

b/ Với 1 x 1− ≤ ≤ , ta có 2 + 1 2 x 2 1≥ − ≥ − Hay 3 2 x 1≥ − ≥ vậy 3 P 1 1.Do≥ = đó,GTNH của P = 1, đạt đợc tại x = 1 và GTLN của P, Max P = 3,đạt đợc tại x = -1

Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau :

a/ 2 3 1 3

− + − c/ 7 4 3

6 2 2

−

−

b/ (3 2+ 6) 6 3 3− d/ 9 4 5

5 20

+ +

e/ 1 1

+ − f/ B = 4 2 36−− 2 .

Bài 6: Rút gọn biểu thức sau :

P = x y 2 xy : 1

+ −

− + , với x > 0 và y > 0

Tính giá trị của biểu thức tai x = 1000 và y = 2000

Bài 7; Cho biểu thức : P =

2

   − , Với -1 < x < 1.

Hãy Rút gọn P

Bài 8 Cho biểu thức ; P = x x 2 : x x 4

1 x

a/ Rút gọn P

b/ Tìm các giá trị của x thoả mãn P < 0

c/ Tìm GTNN P

Bài 9; Xét biểu thức : Q = 4 x 8x : x 1 2

4 x

a/ Rút gọn Q

b/ Tìm các giá trị của x để Q = -1

Bài 10 : Cho biểu thức :A = x 1 : x 1 1 x

a/ Rút gọn A b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x = 9

c/ Tìm các giá trị của x thoả mãn : xA 6 x 3= +

Bài 11: Cho biểu thức P = 1 - x x x

x

+

a/ Với giá trị nào của x thì P có nghĩa ? Rút gọn P

b/ Giải phơng trình x - 8 + p = 0

Bài 12: Cho biểu thức : Q = 1 5 x 4 : 2 x x

a/ Rút gọn Q

b/ Tính giá trị của Q tại x = 3 5.

2

−

c/ Tìm m để x thoả mãn : Q = mx x 2mx 1− +

Bài 13 : Xét biểu thức P =

( x 2x 3 x 2)( x 1) xx 1x : x 11 x 11

a/ Rút gọn P

b/ Tìm x để 1 x 1 1

+

Bài 14 : Cho biểu thức : P = x 3 6 x 4

x 1

−

−

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1

2.

Bài 15 : Cho biểu thức : P = x 1 x 2 x 1

a/ Rút gọn P

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x

P+

Bài 16: Cho biểu thức : Q = x2 x 2x x 2 x 1( )

−

a/ Rút gọn Q

b/ Tìm GTNN của Q c/ Tìm các số nguyên x để 3Q

x nhận giá trị nguyên.

Bài 17 : Cho A = x 2 x 1 1

a/ Rút gọn A b/ Tính x = 4 -2 3

Bài 18: Cho biểu thức: 3x 9x 3 x 1 x 2 1 1

a/ Rút gọn p

b/ Tìm x để P = x

x 1

a/ Rút gọn P

b/ Chứng minh rằng P > 0 với mọi x để P có nghĩa

c/ Tìm tất cả giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

Bài 20: Cho biểu thức A = 2 x x 3x 3 : x 1 1

a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A < 1

2

−

Bài 21 : Cho biểu thức M =

2

a/ Rút gọn M b/ Tìm a để M M〉

x 1

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P = x 1−

Bài 23 : Cho biểu thức P = 1 x x x 1 x x x

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 7 - 4 3

Bài 24 : Cho biểu thức P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3

a/ Rút gọn P

b/ Chứng minh rằng P 2

3

≤ c/ Tìm m để x thoả mãn P( x 3+ =) m

Bài 25 : Cho biểu thức P = 2 x x 1 3 11 x

3 x

−

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 1

Bài 26 : Cho biểu thức A = x 2 x 1 : x 1

2

a/ Rút gọn A b/ Chứng minh rằng 0 < A 2≤

Bài 27: Cho biểu thức A = x x 26 x 19 2 x x 3

a/ Rút gọn A b/ Tìm GTNN của A

Bài 28: Cho biểu thức P = 3 x( x 3) x 3 x 2

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P 15

4

〈

Bài 29 : Cho biểu thức P = 1 2 x x 1 : 9 x 6 3

9x 1

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P 6

5

= c/ Cho m > 1 Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thoả mãn : P = m

Bài 30 : Cho biểu thức : P = 2 x 1 : 6 x 1 x

a/ Rút gọn P

b/ Tính giá trị của P khi x = 3 2 2

4

c/ So sánh P với 3

2.

Bài 31: Cho biểu thức P = 10 x 2 x 3 x 1

a/ Rút gọn P

b/ Chứng minh P > -3

c/ Tìm Max P

Bài 32: Cho biểu thức P = x x : 2 2 x

a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P > 2 c/ Tìm min của P

x 1

a/ Rút gọn P

b/ Tìm x để P = x 2−

c/ Tìm GTNN của P

d/ Tìm m để có x thoả mãn :( x 1 P m x+ ) = −

Giải d/ ( x 1 P m x+ ) = − ⇔ x 1 m x− = − ⇔ +x x 1 m 0− − = ( )1

Ta cần m để phơng trình (1) có nghiệm (với x 0 x 1≥ ≠ )

x y 0; y 1= ≥ ≠ ⇒y + − − =y 1 m 0 1

Ta cần tìm m để (1) coa nghiệm y 0 y 1≥ ≠

5

4

∆ = + ≥ ⇒ ≥ −

Mắt khác : y1 y2 b 1 0

a

− + = = − 〈 ⇒Phơng trình chắc chắn có nghiệm âm

Nếu y1y2 = c 1 m 0 m 1

a = − − > ⇔ < − ⇒phơng trình có hai nghiệm cùng dấu âm.Khi đó:

4

− < < − thì tồn tại x thoả mãn: ( x 1 P m x+ ) = −

Nếu 0≥ thì ( )1 có nghiệm 0≥

y = 1 là nghiệm của ( ) 2

1 ⇔ + − − = ⇔ =t 1 1 m 0 m 1

Vậy phơng trình của ( )1 có nghiệm y 0; y 1 khi m≥ ≠ ≥ −1 và m 1≠

Vậy với m 1

m 1

≥ −



 ≠

 thì tồn tại x để ( x 1 P m x+ ) = −

Bài 34: Cho biểu thức A = x 2 x 3 x 2 : 2 x

a/ Rút gọn A

b/ Tìm x để 1 5

A ≤ −2 c/ Chứng minh rằng A = A( x 2− ) không thể nhận giá trị nguyên tại tại mọi x

Bài 35: Cho biểu thức: P =

:

a/ Rút gọn P

b/ Tìm x để P = 2

c/ Tìm m để có có x thoả mãn P = m

Bài

: 36 : Cho P =

a/ Rút gọnP

b/ Tính P với x = 2

2− 3. c/ Tìm GTNN của P

Bài 37 : Cho biểu thức : M =

4

x

a/ Rút gọn M

b/ Tìm x để M đạt GTNN

Bài 38 : M = x 2 2 3 :2 4x 3x x2 1

a/ Rút gọn M

b/ Với giá trị nào của x thì M < 0

c/ Tìm x để M có số trị nguyên

Bài 39 : Rút gọn biểu thức : A = x 16( x) 3 2 x 2 3 x ( )

voi x 0;x 4

Bài 40:Cho biểu thức R = x 2 x 3 3x 4 x 5.

a/ Rút gọn R

b/ Tìm số thực x để R > -2

c/ Tìm số tự nhiên x là số chính phơng sao cho R là số nguyên

Bài 41 : Cho biểu thức P =

2

−

a/ Rút gọn P

b/ Tìm x để P > 0

c/ Tìm giá trị lớn nhất của P