Ôn thi đại học mủ, logarit

Vấn đề 2 :Phương pháp logarit hai vế Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số.. Cách 3 : Nếu hàm số y = f x thỏa mãn f′x = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta

Trang 1

+ f

21993

+· · · + f

19921993

Trang 2

Bài 6.8 : Cho log1428 = a Tính theo a giá trị của log4916

Bài 6.9 : log4916 = 2a− 2

2− a

Bài 6.10 : Cho lg 392 = a; lg 112 = b Tính log57theo a và b.

Bài 6.11 : Biết log23 = a; log35 = b; log72 = c Tính theo a, b, c giá trị của log14063

Bài 6.12 : Cho log475 = a; log845 = b Tính log√ 3

logc+b a + log c −b a = 2 log c+b a log c −b a.

Bài 6.16 : Cho log1218 = α, log2454 = β Chứng minh rằng : α.β + 5(α− β) = 1.

Bài 6.17 : Giả sử : x(y + z − x)

Bài 6.21 : Cho hàm số y = ln 1

1 + x Chứng minh rằng : xy′+ 1 = e y

Bài 6.22 : Cho hàm số y = 1

1 + x + ln x Chứng minh rằng : xy′ = y(y ln x− 1)

Bài 6.23 : Cho hàm số y = e −x sin x Chứng minh rằng : y′′+ 2y′+ 2y = 0.

Bài 6.24 : Cho y = sin(ln x) + cos(ln x) Chứng minh rằng : y + xy′+ x2y′′= 0

Bài 6.25 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số y =

13

Bài 6.28 : Chứng minh rằng, nếu x > 0 thì ln x < √x.

Bài 6.29 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ln2x

x , trên

1; e3

Trang 4

Vấn đề 2 :Phương pháp logarit hai vế

Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số

Phương pháp là lấy logarit hai vế theo một cơ số thích hợp

Bài 6.33 : Giải các phương trình sau :

1 Nếu đặt t = a x , điều kiện t > 0;

2 Nếu đặt t = log a x , về cơ bản không cần đặt điều kiện cho t;

3 Nếu phương trình chứa tham số ta cần đặt điều kiện chặt cho ẩn t.

(c) Nếu đặt t = √u(x) thì u(x) = t2;

(d) Với phương trình chứa (a ± √b) mà (a + √b)(a− √b) = 1, nếu đặt t = (a + √

b) x thì (a − √b) x= 1

t

(e) Với phương trình dạng α.a x + β.b x + γ.c x = 0, ta thường chia hai vế cho a x (hoặc b x hoặc c x) rồi đặt ẩn phụ

Trang 5

(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)

nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Phương pháp giải là :

(a) Nhận thấy x = x0là một nghiệm của phương trình đã cho

(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại

(c) Nếu x < x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại

(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0

Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với

u = v.

Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f′(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra

phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phươngtrình

Trang 6

Giải bất phương trình chứa mũ và logarit chúng ta cần chú ý đến cơ số :

• Nếu cơ số a > 1 thì bất phương trình đạt được cùng chiều;

• Nếu cơ số 0 < a < 1 thì bất phương trình đạt được ngược chiều.

• Khi biến đổi bất phương trình phải bảo đảm biểu thức trong logarit là dương

Dưới đây là một số dạng bất phương trình cơ bản :

1 a f (x)>a g(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x);

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < g(x).

2 a f (x)<b Khi b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm Khi b > 0, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < log a b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > log a b

3 a f (x) > b Khi b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định Khi b > 0, ta có các khả năng

sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > log a b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < log a b

4 loga f (x) = log a g(x), ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x) > 0;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với 0 < f (x) < g(x).

Trang 7

5 loga f (x) > b, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > a b;

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với

6 loga f (x) < b, ta có các khả năng sau :

(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với

(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > a b

Bài 6.37 : Giải các bất phương trình sau :

Chúng ta thực hiện giống như phương pháp giải phương trình

Trang 8

Vấn đề 3 :Phương pháp phân tích thành nhân tử

Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng

1 AB ≥ 0, tương đương với

B≥ 0, chúng ta xử lí bất phương trình này như sau :

• Nếu √A = 0, bất phương trình luôn đúng với điều kiện thỏa mãn tập xác định.

• Nếu √A > 0 , bất phương trình tương đương với B ≥ 0.

Bài 6.40 : Giải các hệ phương trình sau :

log5x + log57 log7y = 1 + log52

3 + log2y = log25(1 + 3 log5x);

Trang 9

6.6 Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH

Bài 6.41 (CĐ08) : Giải phương trình : log2

a) Giải phương trình khi m = 2 ;

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√3]

Bài 6.43 (A04) : Giải hệ phương trình :

Bài 6.44 (A06) : Giải phương trình : 3.8x+ 4.12x− 18x− 2.27x = 0

Bài 6.45 (A07) : Giải bất phương trình : 2 log3(4x− 3) + log1(2x + 3)≤ 2

Bài 6.46 (A08) : Giải phương trình : log2x−1(2x2+ x− 1) + logx+1 (2x− 1)2= 4

Bài 6.47 (A09) : Giải hệ phương trình

Bài 6.50 (B06) : Giải bất phương trình : log5(4x+ 144)− 4 log52 < 1 + log5(2x−2+ 1)

Bài 6.51 (B07) : Giải phương trình : (√2− 1)x+ (√

Bài 6.57 (D06) : Giải phương trình : 2x2+x− 4.2x2−x− 22x+ 4 = 0

Bài 6.58 (D07) : Giải phương trình : log2(4x+ 15.2x+ 27) + 2 log2

14.2x− 3 = 0.

Trang 10

x+ log25x = 1. 3 log2x + log3x + log4x = log20x.

3x−2

Trang 11

Bài 6.70 : Giải phương trình : 3.25x−2+ (3x− 10).5x−2+ 3− x = 0.

Bài 6.71 : Giải phương trình : x2.3x+ 3x(12− 7x) = −x3+ 8x2− 19x + 12.

Bài 6.72 : Giải phương trình : log2(1 + √x) = log3x

Bài 6.73 : Giải phương trình : log2

x + 3log6x

= log6x

Bài 6.74 : Giải phương trình : xlog29= x2.3log2x − xlog23

Bài 6.75 : Giải phương trình : 5x+ 4x+ 3x+ 2x = 1

Bài 6.77 : Giải phương trình : 4sin x− 21+sin x cos(xy) + 2 |y|= 0

Bài 6.78 : Giải phương trình : 22x+1+ 23−2x = 8

log2x + log4y + log4z = 2

log3x + log9y + log9z = 2

log4x + log16y + log16z = 2.

Bài 6.80 : Giải hệ phương trình :

Bài 6.82 : Giải các hệ phương trình sau :

Trang 13

8

>

log4(x2+ y2)− log4(2x) + 1 = log4(x + 3y)

log4(xy + 1)− log4(4y2+ 2y − 2x + 4) = log4

8

<

:

x4+ y = 3 x4−y 8(x4+ y) = 6 x4−y

Bài 6.93 : Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R :

Bài 6.96 : Giải bất phương trình : log1(4x+ 4)≥ log1(22x+1− 3.2x)

Bài 6.97 : Giải phương trình : 1

Bài 6.101 : Giải phương trình : 16 log27x3 x− 3 log3x x2= 0

Trang 14

Bài 6.106 : Giải phương trình : log1 x + 2 log1(x− 1) + log26≤ 0

Bài 6.107 : Cho hàm số f (x) = x log x2, với x > 0, x , 1

Tính f′(x) và giải bất phương trình f′(x)≤ 0

Bài 6.108 : Giải phương trình : log5(5x − 4) = 1 − x.

Bài 6.109 : Giải các phương trình, bất phương trình, hệ

a) (2 − log3x) log 9x3− 1 4

− log3x = 1 ;b) log4(x− 1) +log1

có đúng hai nghiệm thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.

Bài 6.111 : a) Giải bất phương trình : (2, 5)x− 2.(0, 4)x+1+ 1, 6 = 0

b) Giải phương trình : log4(log2x) + log2(log4x) = 2.

Bài 6.112 : Trong các nghiệm (x, y) của bất phương trình : log x2+2y2(2x + y) ≥ 1 hãy chỉ ra nghiệm có tổng 2x + y lớn nhất.

Bài 6.113 : Giải phương trình : log2(3x− 1) +log1

Bài 6.117 : Giải phương trình : 4lg(10x)− 6lg x = 2.3lg(100x2)

Bài 6.118 : Giải phương trình : log4(x + 1)2+ 2 = log√

x

+ a.

7− 3√52

x

= 8

a) Giải phương trình khi a = 7.

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình.

Trang 15

Bài 6.120 : Tìm miền xác định của hàm số : y = √x2+ x− 2 log3(9− x2)

Bài 6.121 : Giải phương trình : logx x2− 14 log16x x3+ 40 log4x

a) Giải hệ phương trình với m = 3.

b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.

Bài 6.123 : Cho phương trình : 4x − m.2 x+1 + 2m = 0.

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2sao cho x1+ x2= 3.

Bài 6.124 : Cho hàm số y = 2x + m + log2(mx2− 2(m − 2)x + 2m − 1) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định với mọi x.

a) log2(log3(log2x)) = 1.

5− 2√6

sin x

= 2

Bài 6.126 : Giải bất phương trình : 3x+1− 22x+1− 12x <0

Bài 6.127 : Giải phương trình : − logx 2 + log2(4x) = 3.

Bài 6.128 : Giải phương trình : log9(x2− 5x + 6)2 = 1

Bài 6.130 : Giải bất phương trình : 4x2+ x.2 x2+1+ 3.2x2 > x2.2x2 + 8x + 12.

Bài 6.131 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình lg(mx)

b) Tìm mọi giá trị của a để phương trình có đúng một nghiệm.

Bài 6.135 : Giải phương trình : 9cot x+ 3cot x− 2 = 0

Bài 6.136 : Giải hệ bất phương trình :

Trang 16

Bài 6.140 : Cho bất phương trình : (m − 1).4 x+ 2x+1 + m + 1 > 0.

a) Giải bất phương trình khi m = −1.

b) Tìm các giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Bài 6.141 : Giải bất phương trình :√

nghiệm đúng với mọi x.

Bài 6.143 : Tìm tất cả giá trị của x, thoả mãn x > 1, nghiệm đúng bất phương trình sau :

log

2(x2+ x)

m

(x + m− 1) < 0

với mọi giá trị của m : 0 < m ≤ 4.

Bài 6.144 : Giải bất phương trình sau : 2.3x− 2x+2

Bài 6.146 : Giải phương trình : log2(x2− 1) = log1(x− 1)

Bài 6.147 : Cho hệ phương trình :

với a là số dương khác 1 Xác định a để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất và giải hệ phương trình trong trường hợp đó

Bài 6.148 : Giải phương trình : 12.3x+ 3.15x− 5x+1= 20

Bài 6.149 : Giải phương trình : 5x.8

Bài 6.151 : Giải bất phương trình : (4x2− 16x + 7) log3(x− 3) > 0

Bài 6.152 : Giải bất phương trình : lg(x2− 3x + 2)

lg x + lg 2 >2

Bài 6.153 : Cho phương trình : (x − 2)log24(x−2) = 2α(x− 2)3

Trang 17

a) Giải phương trình với α = 2

b) Xác định α để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2thoả mãn : 5

log22x + log1 x2− 3 = m(log4x2− 3)

có nghiệm thuộc khoảng (32; +∞)

Bài 6.157 : Giải phương trình :

È

7 + 4√3

8

>

log4(x2+ y2)− log4(2x) + 1 = log4(x + 3y)

log4(xy + 1)− log4(4y2+ 2y − 2x + 4) = log4

Bài 6.163 : Tính tích các nghiệm của phương trình sau : xlog6(3x)− 36.√5x7 = 0

Bài 6.165 : Giải phương trình : 25x+ 10x= 22x+1

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 6.171 : Giải phương trình : (2 − √3)x+ (2 + √

3)x = 14

Trang 18

Bài 6.172 : Với giá trị nào của m thì phương trình :

15

|x2

−4x+3|

= m4− m2+ 1

có bốn nghiệm phân biệt

Bài 6.173 : Giải phương trình : log3(x2+ x + 1)− log3x = 2x − x2

Bài 6.174 : Giải và biện luận phương trình : 5x2+2mx+2− 52x2+4mx+m+2 = x2+ 2mx + m.

x2+ x + 3 2x2+ 4x + 5

= x2+ 3x + 2.

Bài 6.176 : Giải bất phương trình : 2x + log2(x2− 4x + 4) > 2 − (x + 1) log1(2− x).

Bài 6.177 : Giải bất phương trình : log0,5(9x−1)− 2 > log0,5(3x−1+ 7)

Bài 6.178 : Giải và biện luận bất phương trình :

loga(loga2x) + log a2(loga x)≥ 1

2loga2.

Bài 6.179 : Cho phương trình : log2(mx3− 5mx2+ √

6− x) = log 2+m(3− √x − 1), m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 0.

b) Tìm các giá trị của x nghiệm đúng bất phương trình đã cho với mọi m ≥ 0.

Bài 6.180 : Giải phương trình : log2(x2+ 3x + 2) + log2(x2+ 7x + 12) = 3 + log23

Bài 6.181 : Giải phương trình : 125x+ 50x = 23x+1

Bài 6.182 : Giải phương trình : (√1− x + √1 + x− 2) log2(x2− x) = 0.

Bài 6.183 : Giải bất phương trình : 1

log1

√

2x2− 3x + 1 >

1log1(x + 1)

Bài 6.184 : Giải phương trình : log5(5x− 1) log25(5x+1− 5) = 1

Bài 6.189 : Giải phương trình : 4x− 2.6x= 3.9x

Bài 6.190 : Giải bất phương trình : (0, 12)logx−1x≥

5√33

Bài 6.192 : Giải bất phương trình : (4x− 12.2x+ 32) log2(2x− 1) ≤ 0

Bài 6.193 : Giải phương trình : 2 log5x− logx125 < 1

Bài 6.194 : Giải phương trình : 4x−√x2 −5− 12.2x−1−√x2 −5+ 8 = 0

Bài 6.195 : Giải bất phương trình : 2 log121(x− 2)

Trang 19

Bài 6.197 : Cho phương trình : (√2 + 1)x2

+ (√

2− 1)x2 −1+ m = 0 Tìm m để phương trình trên có nghiệm?

Bài 6.198 : Giải bất phương trình : (2, 5)x− 2.(0, 4)x+1+ 1, 6 < 0

Bài 6.199 : Cho phương trình :

(3 + 2√

2)tan x+ (3− 2√2)tan x = m.

a) Giải phương trình khi m = 6.

b) Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng

−π2;π2

Bài 6.200 : Giải bất phương trình : 2log2x + xlog2x≤ 4

Bài 6.201 : Cho bất phương trình : log5(x2+ 4x + m)− log5(x2+ 1) < 1 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi

Bài 6.204 : Giải bất phương trình : lg(x2− 3) > 12lg(x2− 2x + 1).

Bài 6.205 : Giải phương trình : 32x2+2x+1− 28.9x2+x+ 9 = 0

Bài 6.206 : Giải bất phương trình : log4x2+ log8(x− 1)3≤ 1

Bài 6.207 : Giải bất phương trình : È

Bài 6.209 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 log3x− log3(x− 1) − log3m = 0.

8

<

:

3−x.2y= 1152logx5(x + y) = 2.

Bài 6.211 : Giải bất phương trình : logx−1(x + 1) > log x2 −1(x + 1).

Bài 6.212 : Giải bất phương trình : 2x − log38 + x2log3(2x)− log3x3≥ x2− 3 + x log3(4x2)

Bài 6.216 : Giải bất phương trình : logx+1(−2x) > 2.

Bài 6.217 : Giải phương trình : 4x− 2x+1+ 2(2x− 1) sin(2x + y− 1) + 2 = 0

Bài 6.218 : Giải phương trình : log22x− 1

|x| = 1 + x− 2

x

Trang 20

Bài 6.226 : Giải bất phương trình : 2 log3(x + 1) + 2 log9(4x + 1)− 3 log27(10x + 7) > 1.

Bài 6.227 : Giải bất phương trình : √15.2x+1+ 1≥ |2x− 1| + 2x+1

Bài 6.228 : Với giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm duy nhất :

2 log1

25(mx + 28) =− log5(12− 4x − x2)

Bài 6.229 : Giải bất phương trình : log7(x2+ x + 1)≥ log2x

2lg x

2− 2 lg 2 = lg

1 + y2

Bài 6.232 : Giải bất phương trình : log2(1 + √x) > log3x

Bài 6.233 : Giải bất phương trình : logx

log2(2.3x − 2) < 1 + m có nghiệm trên (0; 2).

Bài 6.239 : Giải bất phương trình : log|x|√

= log7−x2(sin 2x(cot x + tan x)).

Bài 6.241 : Giải bất phương trình : 3 + xlog 1 x

.2log2x >6.xlog1 x

Bài 6.242 : Giải bất phương trình : log1(x2+ 2x + 5)≥ 12log1(2x2+ 4x + 3)− 2

Bài 6.243 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

Trang 21

Bài 6.244 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

25x + (m− 1)5x + 2m + 3 = 0.

Bài 6.245 : Tìm các giá trị của a để 3 x + (a− 1)2x + (a − 1) > 0 với mọi x ∈ R.

Bài 6.246 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

x − log1 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Bài 6.249 : Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm log1

√

x2+ 1 > log1(ax + a).

Bài 6.250 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình log5(25x− log5a) = x có nghiệm duy nhất.

Bài 6.251 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

log0,5(m + 6x) + log2(3− 2x − x2) = 0

Bài 6.252 : Cho phương trình log(x2+ 10x + m) = 2 log(2x + 1) (với m là tham số).

Tìm các giá trị của m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt.

Bài 6.253 : Giải các phương trình, bất phương trình :

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	299,45 KB