NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x - pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm [r]
Trang 1Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
22
Phần A Kiến thức cơ bản
I Định nghĩa luỹ thừa và căn
n = a.
n a
, căn có giá trị âm kí hiệu là -
n
Số âm không có căn bậc chẵn.
a
*
N
n
nthuaso
n
a a a a
0 a 0 a= a0=1
n ( n N *) a 0
a a
) ,
( m Z n N*
n
a > 0 n n m
m
a a
) ,
(
lim rn rn Q n N*
a > 0 r n
a
II Tính chất của luỹ thừa
.Giả thiết rằng mỗi biểu thức -F xét đều có nghĩa.
am.an = am+n; m n; (am)n= amn
n
m a a
(a.b)n = an.bn; n
n n b
a b
a
III Tính chất của lôgarit
Giả thiết mỗi biểu thức -F xét đều có nghĩa.
loga1 = 0; logaa = 1; aloga b b ; logaab = b.
loga(bc) = loga b + loga c; b c ; loga bn = nloga b
c
b
a a
hay logab logbc =logac
b
c c
a
a b
log
log
Trang 2Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
23
IV Hàm số mũ y=ax(a>0,a ≠1)
y’>0 với mọi x R
Hàm số đồng biến trên R
;
x
x a
x
x
a
Bảng biến thiên
y=ax
+
x -
Đồ thị
1 y
y’>0 với mọi x R
Hàm số nghịch biến trên R lim 0 ;
x
x
x
a
lim Bảng biến thiên
x
0
-
1
y
x 0
+
y=ax
+
x 0
0
Trang 3Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
24
V Hàm số logarit y = logax (a > 0 và a ≠ 1)
y’>0 với mọi x ; 0
Hs đồng biến trên 0 ;
.
x
x
a
x
a
x
log
lim
log
lim
0
Bảng biến thiên
-
Đồ thị
x
y
y’<0 với mọi x ; 0
Hs nghịch biến trên 0 ;
.
x
x
a x
a x
log lim
log lim
0
Bảng biến thiên
y=logax
- +
Đồ thị
x y
0 1
Phần B
Phương trình Mũ – Logarit
(phương trình – bất phương trình – hệ phương trình)
A Phương trình mũ:
I Phương trình mũ cơ bản:
af x( ) m ĐK: 0 a 1
* m0: ptvn
* m0:
TH1: Nếu m = an thì ta có: f x n
TH2: Nếu n thì ta có:
m a af x m f x logam
II Các dạng phương trình và phương pháp giải
Trang 4Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
25
1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: f x g x
a a f x g x
Ví dụ và bài tập:
2 3
4x 8 x
1 2 2 1
3x 18 2x x.3x
1
(0, 4)x 6, 25 x
2 1
2 3.3x x .5x 4000
2
3 5 225
x
x
7.2 3.9
5 x 3x x 9 3 0
B Phương trình Logarit
I Phương trình logarit cơ bản:
C Bất phương trình mũ
D Bất phương trình logarit
E Hệ phương trình mũ – logarit
F Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit:
1 Biến đổi thành tích:
VD1: giải pt 2x2x 4 2x2x 22x 4 0
2x2x 1 22x 4 0
VD2: giải pt 2 log9 x 2 log3 x log3( 2 x 1 1 )
log3 x 2 log3 2 x 1 1 log3 x 0
TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn
VD1: Giải pt 9x 2 ( x 2 ) 3x 2 x 5 0 Đặt t = 3x, khi đó ta có
t2 2 2 2 5 0 1 , 5 2
NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua
pt có dạng đặt t = 3x)
VD2: giải pt log32( x 1 ) x 5 log3 x 1 2 x 6 0 Đặt t = log3(x+1), ta có
.Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2
t2 5 2 6 0 2 , 3
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì pt f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a;
b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì với mọi u, v thuộc (a; b) ta có f ( u ) f v u v
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và hàm g là hàm hằng hoặc hàm giảm trong (a; b) thì pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một
nghiệm trong (a ;b)
ĐL lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên a; b và F’(x) tồn tại trên (a;b) thì luôn c a ; b :
a b
a F b F c
F
'
áp dụng vào giải pt: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì c a ; b : F ' c 0 pt F ' x 0có nghiệm thuộc (a; b)
ĐL Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì pt f(x) = 0 sẽ không có quá 2 nghiệm thuộc D.
Trang 5Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
26
b x a
x
Nếu lồi thì cm lim 0,lim 0
y y
b x a
x
- KL: pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b)
còn mới nhẩm -F 1 nghiệm thì KL pt có nghiệm duy nhất ( vì ĐL chỉ kl pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b))
0 thuộc (a;b) sao cho f(x0) < 0 ( còn khi lồi thì f(x0) > 0 )
VD1: giải pt 2 3log 2x 3
x
HD: pt 2 3log 2x 3 x ta có VT là hàm đb còn VP là hàm nb suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1
3 5 2
2 3 5
2 3 5
xét hàm số , với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo đl lagrange tồn tại sao cho:
t t
t
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của pt
'
c c
c
f
)
x x x
x 3 5 2
VD3: giải pt 2 2 2 1 ( 1 )2 Viết lại pt dạng , xét hàm số
x
x x
x 2x 1 x 1 2x2x x2 x
là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ) Vậy pt viết lại dạng
f 2t
x 1 f x2 x x 1 x2 x x 1
f
ta dùng pp trên ( s/d tc 2)
- Để s/d pp này ta bđ pt về dạng f ( u ) f v u v ( chú ý phải xét f là hàm đb hoặc nb )
VD4: Giải pt 3x 2x 3 x 2 Dễ dàng ta nhẫm -F 2 nghiệm : 0 và 1 Ta CM không có nghiệm nào khác xét hàm số f x 3x 2x 3 x 2 f '' x 3xln23 2xln22 0 hs lõm, suy ra pt có không quá 2
nghiệm
VD5: CMR hệ có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0
1 2007
1 2007
2 2
x
x e
y
y e
y x
HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số 2007
1
2
x
x e
x
Nếu x < -1 thì 1 2007 0suy ra hpt vô nghiệm
e x f
Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm
a b b b a
2
1 2 2
1 2
Trang 6Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
27
b a
a b
b b a
a
b b a
a
1 2 ln 2
1 2 ln 2
1 2 ln 2
1 2 ln
với x > 0
x x
f
x
x
1 2 ln
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến do đó với a b0ta có f ( a ) f b ( đpcm)
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các
pp trên.
1.Dạng 1: khác cơ số:
VD1: Giải pt log7 x log3( x 2 ) Đặt t = log7 x x 7tkhi đó pt trở thành:
t t
t t t
3
1 2 3
7 1 2 7 3 ) 2 7 (
log3
2 Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
VD1: giải pt log ( 2 2 ) 2 log 2 2 3
5 2
6
4 x x x x
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có pt log6 t 1 log5t
2
3 3 2 3
t t
t t t
3 Dạng 3: ( đk: b = a + c )
x
alogb xc
VD1: giải pt 4log 7x3 x Đặt t log7 x 3 7t x 3, pt trở thành 1
7
1 3 7
4 3 7
t t
t t
VD2: Giải pt 2log3 5 4
x
2
VD3: Giải pt 4log3 1 1 2log3 1 0áp dụng PP II và dạng này
x
x
x e dx c
sax b logs d ac , e bc
Pp: đặt ay b logs( dx e )rồi chuyển thành hệ 2 pt, lấy pt1 trừ pt2 ta -F saxb acx sayb acy Xét
f atb
VD: Giải pt 7 1 6 log7( 6 5 ) 1 Đặt Khi đó pt -F chuyển thành hệ
x
x y 1 log7 6 x 5
y x
y
y
x x
6 7 6 7 5 6 7
5 6 7 5
6 log 1
1 1 6
1 1
7
1
f 7t 1 6
đó ta có 7 1 6 5 0 Xét hàm số áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta
x
x 7 1 6 5
x x
tìm -F 2 nghiệm của pt: x = 1, x = 2
5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển về thành hệ
VD: Giải PT:
2 2 2
18 2
2
2 1 2
8
1 1
1
x x
2 2 2
18 2
2
1 1 2
8
1 1 1
1
x 2 1 1 , 21 1 , 0
v u v
Nhận xét u.v = u + v Từ đó ta có hệ:
v u v u
v u v u
.
18 1 8
Bài t ập
Trang 7Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
28
Bài 1: Giải phương trình: e.(x2 x 1)x21 1 f.( x x ) 2 x 2 1 g
2
(x 2x 2) 1
Bài 2:Giải phương trình:
a.34x 8 4.32x 5 27 0 b.22x 6 2x 7 17 0 c
(2 3) (2 3) 4 0
e.(3 5)x 16(3 5)x 2x 3 f.(7 4 3) x 3(2 3)x 2 0 l
4 ) 3 2 ( ) 3
2
2.4 6 9
2 3x 3
Bài 3:Giải phương trình:
1 3x 4x 5x
2 x2 (3 2 )x 2(1 2 ) 0x x
3 2x25x6 21x2 2 265x 1
4 3x x 4 0
5 22x 1 32x 52x 1 2x 3x 1 5x 2
6 32x3 ( 3 x 10 ) 3x2 3 x 0
7 2 2 2 1 ( 1 )2
x
x x
x
8 4x23x2 4x26x5 42x23x7 1
3 5 2
10 3 8x 4 12x 18x 2 27x 0
x
3 8
1 2
x
4 1
152
13 5x 6 x
14 2 2 2 1 0
x
x
15 2x 3x 5x 0
7 4 8
14 10 15
18 8 2 23 0
x
19 2x 3 2 2x 1
x x x
20 52 1 53 1 0
x
x x
2 1
3
x
x x x
22 4x 7x 9 x 2
Bài 4:Giải các hệ phương trình:
x y
3x 2y 3
x y
(x y) 1
2x y
x y 5
x y x y
2
x y x y
2
Bài 5: Giải và biện luận phương trình: a (m 2).2 x m.2x m 0 b m.3x m.3x 8
Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm: (m 4).9 x 2(m 2).3 x m 1 0
Trang 8Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
29
6
9 3
2x 1 3x 1
2 2 1 5 x2x 25
(x x 1) 1
x 1
(x2 1)x22x x2 13
Bài 8: Giải các bất phương trình sau:
a.3x 9.3x 10 0 b.5.4x 2.25x 7.10x 0 c x 11 1 x
3 1 1 3
d.52 x 5 5 x 1 5 x e.25.2x 10x 5x 25 f 9x 3x 2 3x 9
Bài 9: Giải bất phương trình sau:
x
0
9
x R
2
2
2x m 2 x 2 3m 0
Bài 12: Giải các phương trình:
a log x log x 65 5 log x 25 b log x log x log5 25 0,2 3
x
x 1
1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1
4 lg x 2 lg x
log x2 10 log x 62 0
log x 1 log x 3 1
d.3log 16 4 log x 2 log xx 16 2 e 2 2x f
x
log 16 log 64 3 lg(lg x) lg(lg x 3 2) 0
g ln2 x 4 ln x 3 0
Bài 14: Giải các phương trình sau:
2
log 4.3 6 log 9 6 1
c
2
1
8
d.lg 6.5 x 25.20x x lg25
Trang 9Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
30
e
x 1 x
2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5
f.x lg 4 5 x x lg2 lg3
g.5lg x 50 x lg5 h
2 2
x 1 x 1
i.3log x2 xlog x 3 162
Bài 15: Giải các phương trình:
a.x lg x 2 x 6 4 lg x 2 b.log x 13 log 2x 15 2
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 log x 3 5
2
log x x x x log ( 2 2 ) 2 log 2 2 3
5 2
6
4 x x x x
g 6x 3 log6 5 x 1 2 x 1
6 7
2 log x x 3 log x x 4
Bài 15: Giải các hệ phương trình:
lg x lg y 1
log x log y 1 log 2
x y 5
lg x y lg x y lg3
log x log y 0
x y
y x
log x y 1 log x y
2
2 log x
log xy log x
Bài 16: Giải và biện luận các phương trình:
a lg mx 2 2m 3 x m 3 lg 2 x b 3 x x
3
log a log a log a
sin x
a x
2a x
Bài 17 : Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
3
log x 4ax log 2x 2a 1 0
lg ax
2
lg x 1
Bài 18: Tìm a để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 2 log x32 log x3 a 0
Bài 19: Giải bất phương trình:
8
log x 4x 3 1
b log x3 log x 3 03
3
log log x 5 0
5
log x 6x 8 2 log x 4 0
3
5
2
log log 3 9 1
g log 2.log 2.log 4x 1x 2x 2
3
4x 6
x
i log x 32 1 log x 12
8
2
2 log (x 2) log (x 3)
3
Trang 10Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
31
2
log log x 0
l log5 3x 4.log 5 1 x
m
2
3 2
2
log x log x 1
2x
log x 5x 6 1
p log3x x 2 3 x 1
q
2
2 3x
x 1
5
2
3
x 1
x 2
s log x log x 022 2
2 16
1 log 2.log 2
log x 6
u log x 4 log x 923 3 2 log x 33
2 log x 4 log x 2 4 log x
Bài 20: Giải bất phương trình:a 6log x26 xlog x 6 12 b 2 log 2x log x 2 2 3 1
x
x
2
2
0
2 5x 3x
Bài 21: Giải hệ bất phương trình:
2 2
0
x
2 x
4 y
Bài 22: Giải và biện luận các bất phương trình(0 a 1 ):
a
1 log x
1
1 log x
1
5 log x 1 log x
1 log 100 log 100 0
2
log x x 2 log x 2x3 x 9
4
Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm:
2
lg x m lg x m 3 0
x 1
1 2
x m 3 x 3m x m log x
a
b
Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit:
a
log 1 8a 2 1 x
Trang 11Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
32
1 Biến đổi thành tích:
VD1: giải pt 2x2x 4 2x2x 22x 4 0
2x2x 1 22x 4 0
VD2: giải pt 2 log9 x 2 log3 x log3( 2 x 1 1 )
log3 x 2 log3 2 x 1 1 log3 x 0
TQ: Trong trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi và đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ nhưng hệ số vẩn còn chứa ẩn
VD1: Giải pt 9x 2 ( x 2 ) 3x 2 x 5 0 Đặt t = 3x, khi đó ta có
t2 2 2 2 5 0 1 , 5 2
NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua
pt có dạng đặt t = 3x)
VD2: giải pt log32( x 1 ) x 5 log3 x 1 2 x 6 0 Đặt t = log3(x+1), ta có
.Từ đó ta có nghiệm x = 8 và x = 2
t2 5 2 6 0 2 , 3
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì pt f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a;
b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (giảm) trong khoảng (a; b) thì với mọi u, v thuộc (a; b) ta có f ( u ) f v u v
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và hàm g là hàm hằng hoặc hàm giảm trong (a; b) thì pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một
nghiệm trong (a ;b)
ĐL lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên a; b và F’(x) tồn tại trên (a;b) thì luôn c a ; b :
a b
a F b F c
F
'
áp dụng vào giải pt: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì c a ; b : F ' c 0 pt F ' x 0có nghiệm thuộc (a; b)
ĐL Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì pt f(x) = 0 sẽ không có quá 2 nghiệm thuộc D.
- Nếu lõm thì cm lim 0,lim 0 Nếu lồi thì cm
y y
b x a
x
0 ,
0lim
y y
b x a
x
- KL: pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b)
còn mới nhẩm -F 1 nghiệm thì KL pt có nghiệm duy nhất ( vì ĐL chỉ kl pt có không quá 2 nghiệm thuộc (a;b))
0 thuộc (a;b) sao cho f(x0) < 0 ( còn khi lồi thì f(x0) > 0 )
VD1: giải pt 2 3log 2x 3
x
HD: pt 2 3log 2x 3 x ta có VT là hàm đb còn VP là hàm nb suy ra pt có nghiệm duy nhất x=1
VD2: giải pt 6x 2x 5x 3x x x x x, giả sử pt có nghiệm là khi đó:
2 3 5
xét hàm số , với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo đl lagrange tồn tại sao cho:
t t
t
, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của pt
'
c c
c
f
Trang 12Nguyễn Duy Tỡnh – ễn thi đại học: Mũ - logarit
33
)
x x x
x
2 5 3
) 1 ( 2
x
x x x
x x
x 1 2 2
2 1 2
là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ) Vậy pt viết lại dạng
f 2t
x 1 f x2 x x 1 x2 x x 1
f
ta dùng pp trên ( s/d tc 2)
- Để s/d pp này ta bđ pt về dạng f ( u ) f v u v ( chú ý phải xét f là hàm đb hoặc nb )
VD4: Giải pt 3x 2x 3 x 2 Dễ dàng ta nhẫm -F 2 nghiệm : 0 và 1 Ta CM không có nghiệm nào khác xét hàm số f x 3x 2x 3 x 2 f '' x 3xln23 2xln22 0 hs lõm, suy ra pt có không quá 2
nghiệm
VD5: CMR hệ có đúng 2 nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > 0
1 2007
1 2007
2 2
x
x e
y
y e
y x
HD: s/d tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số 2007
1
2
x
x e
x
Nếu x < -1 thì 1 2007 0suy ra hpt vô nghiệm
e x f
Nếu x > 1 s/d đl Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra đpcm
a
b b b
a
2
1 2 2
1 2
b a
a b
b b a
a
b b a
a
1 2 ln 2
1 2 ln 2
1 2 ln 2
1 2 ln
với x > 0
x x
f
x
x
1 2 ln
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến do đó với a b0ta có f ( a ) f b ( đpcm)
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài về logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa về pt – hệ pt - bpt mũ rồi s/d các
pp trên.
1.Dạng 1: khác cơ số:
VD1: Giải pt log7 x log3( x 2 ) Đặt t = log7 x x 7tkhi đó pt trở thành:
t t
t t t
3
1 2 3
7 1 2 7 3 ) 2 7 (
log3
2 Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
VD1: giải pt log ( 2 2 ) 2 log 2 2 3
5 2
6
4 x x x x
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có pt log6 t 1 log5t
2
3 3 2 3
t t
t t t
3 Dạng 3: ( đk: b = a + c )
x
alogb xc