Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.. Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích... Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 1... Tìm giá trị nhỏ nhất của bi
Trang 1Bất đẳng thức
2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích
Cho ba số không âm a, b, c, ta có :
1 a + b
2 ≥ √ab , dấu bằng xảy ra khi a = b ;
2 a + b + c
3 ≥ √3abc , dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo và tổng.
Cho ba số dương a, b, c có :
1 1
a +1
b ≥ 4
a + b ; 2 1
a + 1
b+ 1
c ≥ 9
a + b + c
Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.
Cho ba số thực a, b, c có :
1 2(a2
+ b2)≥ (a + b)2; 2 3(a2
+ b2+ c2)≥ (a + b + c).
Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích.
Cho ba số thực a, b, c có :
1 (a + b + c)2≥ 3(ab + bc + ca) ; 2 a2+ b2+ c2≥ ab + bc + ca.
2.1.3 Bài tập đề nghị
Bài 2.1 : Cho a, b, > 0 Chứng minh rằng :
ab(a + b)
a + b
2
3
≤ (a + b)(a
2+ ab + b2)
3+ b3
2 ≤ (a
2+ b2)3
(a + b)3
Bài 2.2 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 Chứng minh rằng :
Trang 21 1
a +1
a + 1
b + a + b≥ 5
Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3 Chứng minh rằng :
1 a + b + c ≥ ab + bc + ca ; 2 √a + √b + √c
≥ ab + bc + ca.
Bài 2.4 : Cho x, y > 0 Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 + √xy)2
Bài 2.5 : Cho x, y > 0 Chứng minh rằng : x2+ y2+ 1
x + 1
y ≥ 2(√x + √y)
Bài 2.6 : Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1
x2+ y2 + 1
xy
Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của P = x
x + 1+
y
y + 1 +
z
z + 1
Bài 2.8 : Cho a, b > 0 và a + b = 1 Chứng minh rằng : a2
a + 1+
b2
b + 1 ≥ 13
Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng :
1
a + 3b+
1
b + 3c +
1
c + 3a ≥ 1
2a + b + c +
1
2b + c + a+
1
2c + a + b.
Bài 2.10 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 đều có :
1 1
a(b + c) +
1
b(c + a)+
1
c(a + b) ≥ 27
2(a + b + c)2; 2 1
a(a + b) +
1
b(b + c)+
1
c(c + a) ≥ 27
2(a + b + c)2
Bài 2.11 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + ab1
Bài 2.12 : Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b√
ab +
√
ab
a + b
Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + 1
a+ 1
b + 1
c
Bài 2.14 : Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z đều có : x2+ y2+ z2≥ √2(xy + yz).
Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4 Chứng minh rằng :
ab
a + b + 2c +
bc
b + c + 2a+
ca
c + a + 2b ≤ 1
Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
ab
a + 3b + 2c+
bc
b + 3c + 2a +
ca
c + 3a + 2b ≤ a + b + c6
Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
1 a + b
c +b + c
a + c + a
b ≥ 6 ;
2 a
b + c +
b
c + a +
c
a + b ≥ 32 ;
3 a2
b + c +
b2
c + a+
c2
a + b ≥ a + b + c
2 ;
4 a3
b + c +
b3
c + a+
c3
a + b ≥ a
2+ b2+ c2
Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
1 P = a2
b + c+
b2
c + a +
c2
a + b ;
2 Q = a3
b + c+
b3
c + a +
c3
a + b ;
3 R = a2√a
b + c +
b2√
b
c + a +
c2√
c
a + b ;
4 S = bc
a2b + a2c + ca
b2c + b2a + ab
c2a + c2b ;
Trang 3Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 1
x3(yz + zt + ty)+
1
y3(zt + tx + xz) +
1
z3(tx + xy + yt)+
1
t3(xy + yz + zx).
Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
1 P = a
b + 2c +
b
c + 2a+
c
a + 2b 2 Q = a
b + mc+
b
c + ma+
c
a + mb , m ∈ N, m > 2.1
Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
1 (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; 2. bc
a + ca
b + ba
c ≥ a + b + c.
Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
1 a
b + c − a+
b
c + a − b +
c
a + b − c ≥ 3 ; 2 a2
b + c − a +
b2
c + a − b +
c2
a + b − c ≥ a + b + c.
Bài 2.23 : 1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giác Chứng minh rằng :
(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc8
2 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c Chứng minh rằng :
4(a3+ b3+ c3) + 15abc≥ 27
Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng :
1
a − 1
1
b− 1
1
c − 1
1
d − 1
≥ 81
Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1 Chứng minh rằng : a√b − 1 + b√a − 1 ≤ ab.
Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤ 1027
Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng : 2
a2+ bc ≤ 12
1
ab + 1
ac
Bài 2.28 : Cho a, b > 0 và a + b = 1 Chứng minh rằng : 3
ab + 2
a2+ b2 ≥ 16
Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 và 1
1 + a+
1
1 + b +
1
1 + c ≥ 2 Chứng minh rằng : abc ≤ 1
8
Bài 2.30 : Cho a > b > 0 và ab = 1 Chứng minh rằng : a2+ b2
a − b ≥ 2
√
2
Bài 2.31 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x)
1 +1
y
+ (1 + y)
1 +1
x
với x, y > 0 thỏa mãn x2+ y2= 1
Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P = y− 2
x2 +z− 2
y2 + x− 2
z2
Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1 Chứng minh rằng :
alogb c
+ blogc a
+ cloga b
≥ 3√3abc.
1Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ nhất của R = a
xb + yc+
b
xc + ya+
c
xa + yb với a, b, c, x, y là những số dương
Trang 4Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
1 + 1
a
1 + 1
b
1 + 1
c
≥ 64
Bài 2.35 : Cho a, b > 0 Chứng minh rằng : (a + b)2+
1
a + 1
b
2
≥ 8
Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
bc
a2b + a2c+ ca
b2c + b2a + ab
c2a + c2b ≥ 1
2
1
a +1
b + 1
c
Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
ab
a + b +
bc
b + c+
ca
c + a ≤ a + b + c2
Bài 2.38 : Cho a ≥ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +1a
Bài 2.39 : Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + a12
Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2+ b2+ c2= 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = a + b + c + 1
abc.
Bài 2.41 : Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = √ x
1− x +
y
√1
− y
Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = √3
a + b +√3
b + c +√3
c + a.
Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = 3
È
a(b + 2c) + 3
È
b(c + 2a) + 3
È
c(a + 2b).
Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = bc
√
a − 2 + ca√3b − 6 + ab√4c− 12
abc .
Bài 2.45 : Chứng minh rằng :
a
b+ b
c + c
a
2
≥ 32
a + b
c + b + c
a + c + a
b
với mọi a, b, c > 0.
Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng :
a3
(a + b)(a + c)+
b3
(b + c)(b + a) +
c3
(c + a)(c + b) ≥ 34
Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng :
a3 b(2c + a)+
b3 c(2a + b) +
c3 c(2b + c) ≥ 1
Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2 = 1 Chứng minh rằng :
a3
b + 2c+
b3
c + 2a +
c3
a + 2b ≥ 13
Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2 = 1 Chứng minh rằng :
a3
a + b+
b3
b + c +
c3
c + a ≥ 12
Trang 5Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :
a
√
1 + a2 + √ b
1 + b2 + √ c
1 + c2 ≤ 32
Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :
1
a(a + b)+
1
b(b + c) +
1
c(c + a) ≥ 92
Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
a
(b + c)2 + b
(c + a)2 + c
(a + b)2 ≥ 94
Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 và a2+ b2+ c2 = 3 Chứng minh rằng :ab
c + bc
a + ca
b ≥ 3
Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
bc
√
a + bc +
ca
√
b + ca+
ab
√
c + ab ≤ 1
2.
Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2 Chứng minh rằng :
bc
√
2a + bc+
ca
√
2b + ca +
ab
√
2c + ab ≤ 1
Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng :
a3
(1 + b)(1 + c)+
b3
(1 + c)(1 + a) +
c3
(1 + a)(1 + b) ≥ 3
4.
Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng :
1
a3(b + c) +
1
b3(c + a)+
1
c3(a + b) ≥ 32
Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng : 1
a + 1
b+ 1
c ≥ 2
1
a + b +
1
b + c +
1
c + a
Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng : a2 1
+ 2bc+
1
b2+ 2ca+
1
c2+ 2ab ≥ 9
Bài 2.60 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 Chứng minh rằng : 1
a2+ b2 + 1
ab ≥ 6
Bài 2.61 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1 Chứng minh rằng : a2 1
+ b2 + 1
ab + 4ab≥ 7
Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng :
1
a + 2b + 3c +
1
b + 2c + 3a+
1
c + 2a + 3b <
3
16.
Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = a
1 + b − a +
b
1 + c − b+
c
1 + a − c với a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 và x2+ y2+ z2= 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x
y2+ z2 + y
z2+ x2 + z
x2+ y2
Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = (x + y)(1 − xy) (1 + x2)2(1 + y2)2
Trang 6Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = √
2x+ 3 + √
2y+ 3 + √
2z+ 3
Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6 Chứng minh rằng : 8 x+ 8y+ 8z≥ 4x+1+ 4y+1+ 4z+1
Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e và a + b + c + d + e = 1 Chứng minh rằng :
a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤ 1
25.
Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng :
a2
a + bc+
b2
b + ca +
c2
c + ab ≥ a + b + c4
Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
b + c
a + 3
È
4(b3+ c3) + c + a
b + 3
È
4(c3+ a3) + a + b
c + 3
È
4(a3+ b3) ≤ 2
Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
1
a3+ b3+ abc+
1
b3+ c3+ abc+
1
c3+ a3+ abc ≤ abc1
Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng :
a3+ b3
a2+ ab + b2 + b
3+ c3
b2+ bc + c2 + c
3+ a3
c2+ ca + a2 ≥ 2
Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng :
2√a
a3+ b2 + 2
√
b
b3+ c2 + 2
√c
c3+ a2 ≤ 1
a2 + 1
b2 + 1
c2
Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
1
a2+ bc +
1
b2+ ca +
1
c2+ ab ≤ a + b + c
2abc .
Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao cho ab + bc + ca ≥ 1 Chứng minh rằng :
a3
b2+ 1+
b3
c2+ 1 +
c3
a2+ 1 ≥
√ 3
4 .
2.2 Bất đẳng thức hình học
Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R Chứng minh rằng :
√
a2+ b2+ 4c2+ 4ac + √
a2+ b2+ 4c2− 4ac ≥ 2√a2+ b2
Bài 2.77 : Với mọi a, b, c, d ∈ R Chứng minh rằng :
√
a2+ b2+ c2+ d2+ 2ac + 2bd≤ √a2+ b2+ √
c2+ d2
Bài 2.78 : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :
√
x + 2√
y + 3√
z≤
È
14(x + y + z).
Trang 7Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a2+ b2= 1 và c + d = 3 Chứng minh rằng :
ac + bd + cd≤ 9 + 6
√ 2
4 .
Bài 2.80 : Với mọi a, b, c ∈ R Chứng minh rằng :
√
a2+ ab + b2+ √
a2+ ac + c2≥ √b2+ bc + c2
Bài 2.81 : Với mọi x, y ∈ R Chứng minh rằng :
È
4 cos2x cos2y + sin2(x − y) +
È
4 sin2x sin2y + sin2(x − y) ≥ 2.
Bài 2.82 : Với mọi x, y ∈ R Chứng minh rằng :
È
4x2+ y2+ 12x + 9 +
È
4x2+ y2− 4x − 6y + 10 ≥ 5.
Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 với a, b, c , 0 Chứng minh rằng :
√
9a2+ a2x2+
È
9b2+ b2y2+
È
9c2+ c2z2 ≥ 5
Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
È
a2− ab√2 + b2+
È
b2− bc√3 + c2 ≥
q
a2− ac
È
2− √3 + c2
Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 và abc + bc + ca = abc Chứng minh rằng :
√
b2+ 2a2
ab +
√
c2+ 2b2
bc +
√
a2+ 2c2
ac ≥ √3
Bài 2.86 : Cho x2+ y2 = 1 Chứng minh rằng : x2√
5 + 2xy − y2√
5≤ √6
Bài 2.87 : Cho
8
<
:
x2+ xy + y2= 3
y2+ yz + z2 = 16
và x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8.
Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương Chứng minh rằng :
È
x2+ xy + y2+
È
y2+ yz + z2+
È
z2+ zx + x2≥ √3(x + y + z).
Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12 Chứng minh rằng :
È
3a + 2√
a + 1 +
È
3b + 2√
b + 1 +
È
3c + 2√
c + 1≥ 3√17
Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z và x + y + z ≤ 2 Chứng minh rằng :
Ê
4x2+ 1
x2 +
Ê
4y2+ 1
y2 +
Ê
4z2+ 1
z2 ≥
√ 145
2 .
Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x2 + y2 = 1; u2 + v2 + 16 = 8u + 4v Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 8u + 4v − 2(ux + vy).
Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3x2+ 3y2+ z2
Trang 82.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình
- phương pháp miền giá trị
Bài 2.93 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f (x) = 2x2+ 7x + 23
x2+ 2x + 10
Bài 2.94 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2− (x − 4y)2
x2+ 4y2 , với x2+ y2>0
Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức :
P = xy
2
(x2+ 3y2)
x +
È
x2+ 12y2
Bài 2.96 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2+ y2, với 2x2+ y2+ xy≥ 1
Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : √3
x(√3
x− 1) +√3y(√3y− 1) = √3xy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
biểu thức : P = √3
x +√3y + √3xy
Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x2− xy + y2= 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P = x2+ xy − 2y2
Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − 3√x + 1 = 3√
y + 2 − y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.
Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x2+ y2 = 2(x + y) + 7 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = √3
x(x− 2) +√3
y(y− 2)
Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x2 − 3xy + 3y2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2+ xy − 2y2
Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : √x + √y = 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
√
x + 1 + √
y + 9.
Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
3x
y + 1 +
3y
x + 1 − x2− y2
Bài 2.104 : Cho a, b ≥ 0 và a2+ b2+ ab = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
P = a4+ b4+ 2ab − a5b5
Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2 Tìm giá trị lớn nhất của P = (x3+ 2)(y3+ 2)
2.4 Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2+ y2= 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P = 2(x3+ y3)− 3xy.
Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 1
x + √1xy
Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng :
Ê
x2+ 1
x2 +
Ê
y2+ 1
y2 +
Ê
z2+ 1
z2 ≥ √82
Trang 9Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1
x + 1
y + 1
z = 4 Chứng minh rằng : 1
2x + y + z +
1
x + 2y + z+
1
x + y + 2z ≤ 1
Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x , 0, y , 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2+ y2− xy Tim giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1
x3 + 1
y3
Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
P = x
2(y + z)
y √y + 2z√z + y
2(z + x)
z√
z + 2x√
x+ z
2(x + y)
x√
x + 2y√y
Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :
(x + y)3+ (x + z)3+ 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3
Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có :
12 5
x
+
15 4
x
+
20 3
x
≥ 33
+ 4x+ 5x Khi nào đẳng thức xảy ra
Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A =
È
(x− 1)2+ y2+
È
(x + 1)2+ y2+|y − 2|.
Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x
x
2 + 1
yz
+ y
y
2+ 1
xz
+ z
z
2+ 1
xy
Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+ y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = 2(x2+ 6xy)
1 + 2xy + 2y2
Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3+ 4xy≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3(x4+ y4+ x2+ y2)− 2(x2+ y2) + 1
Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
3(a2b2+ b2c2+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2√
a2+ b2+ c2
Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng :
È
1 + x3+ y3
xy +
È
1 + y3+ z3
yz +
√
1 + z3+ x3
zx ≥ 3√3
Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0 Chứng minh rằng :
2a+ 1
2a
b
≤
2b+ 1
2b
a
Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = (x − y)(1 − xy) (1 + x)2(1 + y)2
Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
S = (4x2+ 3y)(4y2+ 3x) + 25xy.
Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √−x2+ 4x + 21− √−x2+ 3x + 10.
Trang 102.5 Bài tập tổng hợp
Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S = 4
x + 1
4y
Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 Chứng minh a b+c
d ≥ b
2+ b + 50 50b
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = a
b+ c
d
Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0 Chứng minh rằng :
√
3 + 4x+ √
3 + 4y+ √
3 + 4z≥ 6
Bài 2.127 : Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :
(1 + x)
1 + y
x
1 + √9y
2
≥ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào
Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3
4 Chứng minh rằng :
3
√
a + 3b + √3
b + 3c +√3
c + 3a≤ 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x √y − y √x ≤ 1
4 Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 Chứng minh rằng :
x2
1 + y +
y2
1 + z+
z2
1 + x ≥ 3
2.
Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2+ xy + y2≤ 3 Chứng minh rằng :
−4√3− 3 ≤ x2− xy − 3y2 ≤ 4√3− 3
Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3 −x+ 3−y+ 3−z = 1 Chứng minh rằng :
9x
3x+ 3y+z + 9
y
3y+ 3z+x + 9
z
3z+ 3x+y ≥ 3
x+ 3y+ 3z
4 .
Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
3x2+ 4
4x + 2 + y
3
y2
Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +11
2x +
r
4
1 + 7
x2
, x > 0.
Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 3
È
4(x3+ y3) + 3
È
4(y3+ z3) + 3
È
4(z3+ x3) + 2
x
y2 + y
z2 + z
x2
Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3 Chứng minh rằng :
3a
b + 1 +
3b
a + 1+
ab
a + b ≤ a2+ b2+3
2.
Bài 2.137 : Cho x, y > 0 và xy = 100 Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2+ y2
x − y