Gv Giáp Thế C ờng_THPT Bố Hạ
bất đẳng thức Côsi
Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a + b + c = 3 CMR: 4 4 4 3 3 3
a +b +c ≥a +b +c Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định: 20 20
y sin x cos x= + Câu 3: Cho x, y là các số thực dơng thỏa mãn: x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức: P x y
1 x 1 y
Câu 4: Cho a, b, c dơng thỏa mãn: abc=1 Tìm GTNN của:
P
a b a c b a b c c a c b
Câu 5: Cho x, y,, z là các số thực dơng CMR:
x y + y z +z x ≤ x + y + z
Câu 6: CMR nếu a, b,c 0
a b c 1
>
+ + =
thì b c 16abc+ ≥ .
Câu 7: CMR với mọi x, y, z dơng ta có: 21 21 2 1 x y z
2xyz
x yz y zx z xy
+ +
Câu 8: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x y z 3+ + ≤ CMR:
2 1 x 1 y 1 z
1 x +1 y +1 z ≤ ≤ + +
Câu 9: CMR với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0 ta có: 8a +8b +8c≥2a +2b +2c
Câu 10: Cho x, y là hai số thực dơng thỏa mãn: x y 1+ ≤ Tìm GTNN của: P 2 1 2 1 4xy
xy
x y
+ Câu 11: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm GTLN của biểu thức: P x y z
x 1 y 1 z 1
Câu 12: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x y z 1+ + ≤ CMR: 2 2 2
Câu 13: Cho x, y, z dơng thỏa mãn 1 1 1 4
2x y z +x 2y z + x y 2z ≤
Câu 14: Cho x, y, z dơng thỏa mãn xyz=1 CMR: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3
Câu 15: Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( )
2
Câu 16: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x + y + z = 0 Chứng minh rằng: x y z
3 4+ + 3 4+ + 3 4+ ≥6. Câu 17: Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn a b c 3
4 + + = CMR: 3 a 3b+ + 3 b 3c+ + 3 c 3a+ ≤3 Câu 18: Cho x, y, z thỏa mãn: x y z
3− +3− +3− =1 CMR:
4
3 3 + 3 3 + 3 3 +
Câu 19: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x y 4+ ≥ Tìm GTNN của:
2
3x 4 2 y A
Câu 20: Cho a 2, b 3, c 4≥ ≥ ≥ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F ab c 4 bc a 2 ca b 3
abc
1
Trang 2Gv Giáp Thế C ờng_THPT Bố Hạ
Câu 21: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
y + z + x ≥ y + z + x Câu 22: Cho a, b, c dơng Chứng minh rằng: a3 b3 c3 ab bc ca
b + c + a ≥ + + . Câu 23: Cho x, y, z dơng Chứng minh rằng: 4 4 4 ( )
x y z
y z + z x +x y ≥2 + +
Câu 24: Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn: xyz = 1 Chứng minh rằng:
1 y +1 z +1 x≥ 2
Câu 25: Chứng minh với ba số dơng a, b, c bất kì thì: 3 3 3
b c a
Câu 26: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:
3a +3b +3c +4abc 13≥ Câu 27: Cho bốn số dơng a, b, c, d Chứng minh rằng: 2 2 2 2
b + c + d + a ≥ a + b +c + d Câu 28: CMR với ba số dơng a, b, c tuỳ ý ta có:
abc
a b abc+ b c abc+ c a abc ≤
Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dơng Tìm GTNN của: P x x 1 y y 1 z z 1
2 yz 2 zx 2 xy
Câu 30: Cho a, b, c dơng Chứng minh rằng:
4 a b
a b c
a b c
−
b c c a a b 1 1 1
a b c
3) ( ) ( ) ( ) ( )2
b a b +c b c +a c a ≥2 a b c
+ + + + + 4) a2+b2+ ≥c2 2 ab ac( + )
5) ( 3 3 3) ( )2
2 2 2
2 a b c 9 a b c
33
Câu 31: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: abc 1≥ CMR: 1 1 1 1
1 a b 1 b c 1 c a+ + ≤
Câu 32: Cho a, b, c > 0: abc 1= CMR: (a 1 b 1) (a ) (+ b 1 c 1) (b ) (+ c 1 a 1) (c ) ≥43
Câu 33: Cho a, b, c > 0: a b c 3+ + = CMR: a+ b+ c ab bc ca≥ + +
Câu 34: Cho a, b, c, d dơng CMR: 13 13 13 13 a b c d
abcd
a b c d
+ + +
Câu 35: Cho a, b 0 : a b 2≥ + = CMR: a b a2 2( 2+b2) ≤2
Câu 36: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = CMR: 2 12 2 1 1 1 30
ab bc ca
a b c + + + ≥
Câu 37: Cho a, b, c > 0: a2+b2+c2 =1 CMR: a b c 1 4 3
abc
Câu 38: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = CMR: a2+b2+ +c2 2 3abc 1≤
2