Phương trình cực trị và ứng dụng

và một số ứng dụng của phơng trình đối với chơng trình học ở bậc THCS, nhằm làm cơ sở cho các em nắm bắt và tiếp cận với các dạng toán về phơng trình đợc dễ dàng hơn.. Mục đích nghiên cứ

và một số ứng dụng của phơng trình đối với chơng trình học ở bậc THCS, nhằm làm cơ sở cho các em nắm bắt và tiếp cận với các dạng toán về phơng trình đợc dễ dàng hơn.

II Mục đích nghiên cứu:

Đa ra các dạng phơng trình cơ bản, phơng pháp giải và các ứng dụng của phơng trình, nhằm phục vụ cho công tác dạy và học ở bậc THCS.

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Cung cấp cơ sở lý thuyết về phơng trình, các dạng phơng trình cơ bản, nâng cao.

- Trình bày một số phơng pháp giải cơ bản của phơng trình.

- Trình bày các ứng dụng của phơng trình.

IV Phơng pháp nghiên cứu:

- Tham khảo sách, báo, tài liệu có liên quan.

- Tham khảo một số phần mềm dạy học Toán.

- Thực nghiệm thực tế.

⇔ + + − + + =

+ +

+ +

= ± nếu a và c trái dấu, vô

nghiệm nếu a và c cùng dấu

Phơng trình bậc hai đủ có dạng ax2 + bx + c = 0 (a, b, c đều khác 0)

bx

a

= −

- ∆'> 0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 b '

Định lí Viét đảo: Nếu u và v là hai số có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và

v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai X2 – SX + P = 0 (với điều kịên S 2 – 4P ≥ 0)

Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng là 3

3 và tích của chúng là 3

33

+ Nếu – a + 4 < 0 hay a > 4 thì phơng trình vô nghiệm

+ Nếu – a + 4 = 0 hay a = 4 thì phơng trình có nghiệm kép x 3

Giải: a Với m ≠0, ∆ =' m2 +25 0> với m∀

Suy ra phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm áp dụng định lí Viét ta có: 2

b Tìm các giá trị của m để (1) có nghiệm x = - 1.

c Tìm các giá trị cuả m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

Do vậy phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

Mặt khác, theo định lí Viét ta lại có:

Do vậy phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm trái dấu

b Phơng trình (1) có nghiệm x = - 1 khi và chỉ khi

b Tìm p để cả hai nghiệm đều dơng.

c Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p

Giải: a Muốn phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ >0 hay

∆ =(2p 1)− 2 −8(p 1) (2p 3)− = − 2 >0 khi p 1,5≠

Theo bài ra ta phải giải hệ phơng trình:

Vậy có hai giá trị của p là 10

3 và 2 để 2 nghiệm của phơng trình đã cho thoả mãn hệ thức 3x1 – x2 = 5

ví dụ 6: Không giải phơng trình x2 – 5x + 4 = 0, hãy tính:

a Tìm các giá trị của a sao cho tổng lập phơng của phơng trình bằng 9

b Với giá trị nào của a thì tổng các bình phơng của các nghiệm đạt đợc giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Chứng minh rằng phơng trình

x3 − + +(a b c)x2 +(ab bc ac) abc 0+ + − =

có các nghiệm là a, b, c

Bài 3: Cho phơng trình có ẩn x: x2 – 2(m – 1) – 3 – m = 0

a Chứng tỏ phơng trình có nghiệm số với mọi m

b Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trình thoả điều kiện:

2 2

x +x ≥10

Bài 4: Cho phơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi

b Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả: 1 < x1 < x2 < 6

( Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng Lê Hồng Phong, năm học 1998 1999)–

Bài 5: Cho hai phơng trình x2 + x + a = 0; x2 + ax + 1 = 0

Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

Hớng dẫn giải:

Bài 1: a Giải hệ phơng trình sau để tìm giá trị của a:

Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 bằng 1.

Bài 2: Chỉ cần chứng minh: Vì phơng trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm mà f(a) =

∆ = 9 > 0 Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi

b ∆ =3 : hai nghiệm của phơng trình là:

• x0 =1 thay vào (1) ta có 12 + 1+ a = 0 ⇔ a = -2

a = - 2 cả hai phơng trình có một nghiệm chung là 1

Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, rồi lấy tất cả…các nghịêm của chúng

Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng trong việc đa một phơng trình về dạng phơng trình tích Cách đặt ẩn phụ cũng thờng đợc sử dụng để trình bày lời giải đợc gọn gàng

Ví dụ 1: Giải phơng trình (2x2 – 3x +1)(x2 + 4,5x + 3,5) = 0

Giải: Ta có: (2x2 – 3x +1)(x2 + 4,5x + 3,5) = 0

2 2

x 11x

Các bớc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức:

- Tìm điều kiện xác định (TXĐ) của phơng trình

- Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phơng trình rồi khử mẫu thức

Giải: Điều kiện y≠ ±2 để mẫu khác 0

Mẫu chung: y2 – 4 Sau khi quy đồng mẫu rồi khử mẫu đợc:

Vậy nghiệm của phơng trình x = 0

Các dạng toán điển hình và nâng cao

Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2 2

x 2+ Khi đó: m2 +4m 12 0− =

Giải ra tìm đợc m = 2 hoặc m = -6

- Với m = 2 ta đợc x = 1± 5

- Với m = - 6 thay vào phơng trình vô nghiệm

Bài toán 3: Giải phơng trình

i Nếu m = 1 thì ∀m ≠- 1 đều là nghiệm

ii Nếu m≠1, ta thu đợc phơng trình:

Khi đó x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình

Nhận xét: 1 Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng phơng pháp thông thờng (quy

đồng mẫu số) Sau khi đơn giản các số hạng ta cũng đi đến phơng trình (3).

2 Bằng cách đã đợc trình bày ở bài toán trên, ta có thể giải các phơng trình dạng:

• Trong trờng hợp gặp nhiều phơng trình vô tỉ có nhiều dấu căn bậc hai, ta

đặt điều kiện cho tất cả những biểu thức có nghĩa, chọn điều kiện chung rồi biến đổi phơng trình và đa về dạng A B= và áp dụng cách giải nh trên

Bài toán 2: Giải phơng trình

x− 1 x− + x 2= (1)

Giải: điều kiện

Vậy (4) xảy ra khi và chỉ khi 1 x− = 0 = 4(x – 1) ⇔ =x 1

Giá trị này thoả mãn điều kiện (2) nên là nghiệm của phơng trình đã cho

Chú ý: Trong khi giải bài toán trên ta thờng chú ý đến các phép biến đổi mà

không để ý đến điều kiện tơng đơng, nếu thế thì sau khi giải xong phải thử lại nghiệm tìm đợc.

x 1225x

Nhng với m2 ≥ 1 vế trái của (5) dơng nên (5) vô nghiệm.

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0

Bài toán 4: Giải phơng trình

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 9.

Giải: Điều kiện để biểu thức có nghĩa là x≥ 3

Ta biến đổi vế trái của phơng trình

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

Bài toán 2: Giải phơng trình

Vậy phơng trình trùng phơng đã cho có hai nghiệm là x1,2 = ± 7

b Ta viết lại phơng trình đã cho nh sau:

(y – 4)(y – 7)(y – 5)(y – 6) = 1680

Hay (y2 – 11y + 28)(y2 – 11y+ 30) = 1680

VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0

Gi¶i: V× x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, nªn chia c¶ hai vÕ cho x2, ta

Cã ∆ =25 16 9;− = ∆ =3

IV - Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

2 Phơng pháp luỹ thừa hai vế

Nếu 2 vế của một phơng trình đều dơng ta có thể bình phơng chúng và một đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho Ta có các phép biến đổi tơng

Ta dễ dàng chứng minh đợc các phép biến đổi quan trọng để khử dấu trị tuyệt

đối sau đây là tơng đơng:

g(x) f(x)f(x) g(x)

f(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x)

f(x) g(x)f(x) g(x) f(x) g(x) 0

- Xét 1 x 3≤ ≤ khi đó: (1)⇔ − + − = ⇔ =x 1 2 x 3 1 3 vô lí Vậy phơng trình (1) vô nghiệm trên đoạn [ ]1, 2

- Xét x > 2 khi đó: (1)⇔ − + − = ⇔ = >x 1 x 2 3 x 3 2 nên x = 3 là nghiệm của (1)

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0, x = 3

Ví dụ 4: Xác định giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất

x + − =1 x m (1)

Giải: Ví dụ này có thể giải bằng phơng pháp chia khoảng Nhng ở đây ta giải theo

cách khác Chú ý rằng nếu x0 là nghiệm của (1) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (1),

do đó (1) có nghiệm duy nhất chỉ khi:

1 – x0 = x0 hay x0 = 1

2Thay x = 1

2 vào (1) ta có m = 1Với m = 1 (1) trở thành

x + − =1 x 1 (2)

Ta thấy (2) có ít nhất 3 nghiệm x = 0, x = 1, x = 1

2.

Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 5: Giải và biện luận

x x 4− =m

Giải: - Với m < 0 ⇒ <m 0 nên m – 4 < 0 và

1,2(1)⇔x(x 4) m− = ⇔x −4x m 0+ = ⇔x = ±2 4 m−

Giải: Ta có thể dùng phơng pháp chia khoảng Nhng ở đây biến đổi theo cách khác sẽ

gọn hơn Ta viết (1) dới dạng sau:

Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:

Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: x = - 3, x = - 2 , x = 0, x = 1

Dạng tổng quát của bài toán trên là:

- Với m = -7 ta loại vì không thoả mãn điều kiện của bài toán

Vậy nghiệm của phơng trình x = -1 , x = -3

Phơng pháp chung để giải dạng toán này là:

Giải: Dễ thấy x= 0 không phải là nghiệm của phơng trình (1).

Với x ≠0 chia cả hai vế của phơng trình (1) cho x2, phơng trình trở thành: 2x2 + 3x – 1 + 3 22

x x+ = 0 ⇔(2x2 + 22

x ) + (3x +

3

x) – 1 =0 ⇔2(x2 + 12

x ) + 3(x +

1

x) – 1 = 0 ⇔2

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: x = 1, x= 2.

d Ph¬ng ph¸p sö dông Èn phô kh«ng hoµn toµn:

VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh

1

121

6

2t32t t 6 0

3t4

23xt

⇔

15x

Điều kiện xác định của phơng trình là: x 3≥

Vậy điều kiện xác định của phơng trình là x 3≥

Bình phơng hai vế của phơng trình ta đợc:

Đối chiếu điều kiện của bài toán ta đợc nghiệm của phơng trình là x = 6.

Chú ý: Trong phơng trình có chứa căn thức cần chú ý đến tập xác định của

(Đây là bài toán đã giải ở phơng pháp nâng lên luỹ thừa)

Giải: Điều kiện

Vậy khi hai vế bằng nhau thì: x = - 1

Kết luận: Nghiệm của phơng trình x = -1

c Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Ví dụ: Giải phơng trình

3 2x 1+ + 3 x 1=

Giải:

- Nếu x < 0 thì 3 x 0; 2x 1 1;< 3 + < suy ra 3 x + 3 2x 1 1+ < nên phơng trình vô nghiệm

- Nếu x > 0 thì 3 x 0; 2x 1 1;> 3 + > suy ra 3 x+ 3 2x 1 1+ > nên phơng trình vô nghiệm

- Nếu x = 0 thì 3 x 0; 2x 1 1;= 3 + = suy ra 3 x+ 3 2x 1 1+ = nên x = 0 là

nghiệm của phơng trình

Kết luận: x = 0 là nghiệm của phơng trình

d Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt“ ” :

Ví dụ: Giải phơng trình

x 3x 2 2

x3x 2

−

2 ⇒x2 – 3x + 2 = 0Giải ra: x = 1; x = 2

x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 0(x 2 2 x 2 1)(y 3 4 y 3 4) (z 5 6 z 5) 0

3x 10

x 03x 1 1

1 (*)3x 10

Ta cã hÖ:

2 2

Bµi 8: a §iÒu kiÖn x ≠1

Giải phơng trình trên rồi thay vào (*) ta đợc nghiệm của phơng trình cần tìm là: 9 53

Nếu đờng thẳng không cắt parabol (hình b): thì phơng trình vô nghiệm (trờng hợp này ứng với ∆ < 0 ).

Nếu đờng thẳng tiếp xúc với parabol (hình c): phơng trình có nghiệm kép ( trờng hợp này ứng với ∆ = 0)

Hình a Hình b

Hình c Hình d

Chú ý: Một đờng thẳng gọi là tiếp xúc với parabol nếu nó có một điểm chung

duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đờng thẳng (hình c) ở hình d,

đờng thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung với parabol nhng ta không gọi là tiếp xúc với parabol

Ví dụ 1: Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đồ thị:

a 2x 2 – x + 1 = 0

Giải: a Để giải phơng trình 2x 2 – x + 1 = 0 bằng phơng pháp đồ thị ta tìm hoành

độ giao điểm của 2 đồ thị y = 2x2 và y = x – 1

Dựa vào đồ thị ta thấy 2 đờng parabol y = 2x 2 và y = x – 1 không giao nhau (hay chúng có điểm chung) Vậy phơng trình vô nghiệm

c Cã hai nghiÖm ph©n biÖt thuéc (-3, 1)

Gi¶i: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng:

Phần III: ứng dụng của phơng trình bậc hai

I - ứng dụng của định lý Viét

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là nghiệm của

Ví dụ 1: Cho hai số a, b có tổng bằng tổng các nghiệm của phơng trình x 2 + 6x + 1

= 0 và có tích bằng tích các nghiệm của phơng trình x 2 + 8x + 7 = 0 Hãy tìm hai số đó

Giải: Trớc hết ta có nhận xét:

- Phơng trình x 2 + 6x + 1 = 0 có ∆1 = 36 – 4 = 32 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

- Phơng trình x2 + 8x + 7 = 0 có ∆2 = 64 – 28 = 36 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt

Không giải phơng trình, hãy xác định giá trị của m để tích hai nghiệm bằng 3,

từ đó hãy tính tổng hai nghiệm ấy

Bài 3: Cho phơng trình x 2 – 13x – 7 = 0 (1) Không giải phơng trình, hãy tính các

Bài 2: Dễ thấy '∆ = m 2 – m 2 + 1 = 1 > 0 nên phơng trình có hai nghiệm khác nhau

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, theo hệ thức Viét ta có:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết

- Lập phơng trình biểu thị sự tơng quan của các đại lợng đã biết

Bớc 2: Giải phơng trình.

Bớc 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.

Bài 1: Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên ngời ta kê thêm một dãy và mỗi dãy xếp thêm một chỗ Hỏi lúc đầu có

mấy dãy ghế trong phòng?

Giải: Gọi số dãy ghế trong phòng lúc đầu là x dãy ( x nguyên dơng) Mỗi dãy lúc

đầu có 40

x chỗ.

Lúc sau, trong phòng có x + 1 dãy, mỗi dãy xếp 55

Phơng trình có hai nghiệm: x1 = 4, x2 = 10

Có hai đáp số:

Lúc đầu trong phòng có 4 dãy, mỗi dãy có 10 chỗ ngồi,

Hoặc có 10 dãy, mỗi dãy có 4 chỗ ngồi

Bài 2: Vào thế kỉ thứ 3 trớc Công nguyên, vua xứ Xi - ra – cút giao cho Ac – xi

–

mét kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay không Chiếc mũ có trọng lợng 5 niutơn (theo đơn vị hiện nay), khi nhúng ngập trong nớc thì trọng lợng giảm đi 0,3 niutơn

Biết rằng khi cân trong nớc, vàng giảm 1

20 trọng lợng, bạc giảm

110trong lợng Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc? (vật có khối lợng 100 gam thì trọng lợng bằng 1 niutơn)

Giải: Gọi trọng lợng bạc trong mũ là x (niutơn) ( 0 < x < 5) Trọng lợng vàng trong

mũ là 5 – x (niutơn) Khi nhúng ngập trong nớc, trọng lợng bạc giảm x

10 (niutơn), trọng lợng vàng giảm 5 x

− = 0, 3 ⇔x = 1

Trọng lợng bạc trong mũ là 1 niutơn Chiếc mũ chứa 100 gam bạc

Chú ý: Khi giải bài toán bằng cách lập phơng trình, ngoài ẩn đã chọn đôi khi

ngời ta còn biểu thị những đại lợng cha biết khác bằng chữ Điều lí thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải bài toán nhng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán Ta xét ví dụ dới đây:

Bài 3: Một ngời đi một nữa quảng đờng AB với vận tốc 20 km/h, và đi phần còn

lại với vận tốc 30 km/h Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quảng đờng

Giải: Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x (km/h) , (x > 0) Ta biểu thị một nữa quảng

đờng AB là a km (a > 0) Thời gian ngời đó đi nữa đầu của quảng đờng là a

20 giờ, thời gian đi nữa sau của quảng đờng là a

1 1 2 x 24

20 30+ = ⇔ =xVận tốc trung bình là 24 km/h

Chú ý: Nếu vận tốc trên nữa đầu của quảng đờng là a km/h, vận tốc trên nữa

sau là b km/h thì vận tốc trung bình trên cả quảng đờng bằng

2

1 1

a + b km/h Đại lợng này gọi là trung bình điều hoà của a và b

a) Trung bình điều hoà của hai số dơng a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai số ấy Thật vậy

Bài 1: Hỡi khách qua đờng cho hay Đi - ô - phăng thọ bao nhiêu tuổi ?

Biết thời thơ ấu của ông chiếm 1

Đi - ô - phăng thọ bao nhiêu, hãy tính cho ra ?

(Bài toán bằng thơ ghi trên mộ của Đi - ô - phăng, nhà toán học Hi Lạp thế kỉ II –

III.)

Bài 2: Tìm một số tự nhiên có sáu chữ số, biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4 và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí chữ số đầu tiên thì số phải tìm tăng gấp 4 lần

Bài 3: Tính tuổi của hai mẹ con hiện nay, biết rằng cách đây 4 năm thì tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con, sau đấy 2 năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con.

Bài 4: Quảng đờng từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD,

đoạn xuống dóc DB, tổng cộng dài 30 km Một ngời đi từ A đến B rồi đi từ B

về A hết tất cả 4 giờ 25 phút Tính quảng đờng nằm ngang, bíêt rằng vận tốc lên dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 10 km/h, vận tốc xuống dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20 km/h, vận tốc trên đờng nằm ngang là 15 km/h

Bài 5: Có hai loại dung dịch muối I và II Ngời ta hoà 200g dung dịch muối I

với 300 gam dung dịch muối II thì đợc một dung dịch có nồng độ muối là 33% Tính nồng độ muối trong mỗi dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20 %

Bài 6: Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B, có tất cả 50 học sinh tham

gia Các bạn lớp 8B tính số ngời quen ở lớp 8A và thấy rằng bạn Anh quen 11 bạn, bạn Bình quen 12 bạn, bạn Châu quen 13 bạn, và cứ nh… vậy đến bạn cuối cùng là bạn Yến quen tất cả các bạn của lớp 8A Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt

Bài 7: Có 3 cánh đồng cỏ nh nhau, cỏ cũng luôn mọc đều nh nhau trên toàn

bộ cánh đồng Biết rằng 9 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng I trong hai tuần, 6 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng II trong 4 tuần

a) Tính xem trên mỗi cánh đồng, số cỏ mọc thêm trong mỗi tuần bằng mấy phần của số cỏ có sẵn lúc đầu ?

b) Bao nhiêu con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng III trong 6 tuần?

Bài 8: Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy cứ 15 phút lại gặp một xe buýt

đi cùng chiều chạy vợt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy ngợc lại

Biết rằng các xe buýt cùng chạy với một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đờng (trên chiều từ A đến B cũng

nh trên chiều ngợc lại) Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe buýt lại lần lợt rời bến ?