Phương pháp cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ NGÂN PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO THỊ NGÂN

PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO THỊ NGÂN

PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN

Mã số 60460113

Giảng viên hướng dẫn PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG

HÀ NỘI - NĂM 2015

Mục lục

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) 5

1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số 5

1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 5

1.2 Các điều kiện đủ 6

1.3 Định lý cơ bản 7

2 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 9 2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số 9

2.1.1 Phương pháp 9

2.1.2 Ví dụ 10

2.1.3 Nhận xét về phương pháp 12

2.1.4 Bài tập áp dụng 13

2.2 Phương pháp miền giá trị 14

2.2.1 Phương pháp 14

2.2.2 Ví dụ 14

2.2.3 Nhận xét về phương pháp 18

2.2.4 Bài tập áp dụng 18

2.3 Phương pháp bất đẳng thức 19

2.3.1 Phương pháp 19

2.3.2 Ví dụ 21

2.3.3 Nhận xét về phương pháp 27

2.3.4 Bài tập áp dụng 28

2.4 Phương pháp lượng giác hóa 29

2.4.1 Phương pháp 29

2.4.2 Ví dụ 29

2.4.3 Nhận xét về phương pháp 31

2.4.4 Bài tập áp dụng 31

2.5 Phương pháp hình học 32

2.5.1 Phương pháp 32

2.5.2 Ví dụ 32

2.5.3 Nhận xét về phương pháp 35

2.5.4 Bài tập áp dụng 35

2.6 Phương pháp vectơ 36

2.6.1 Phương pháp 36

2.6.2 Ví dụ 37

2.6.3 Nhận xét về phương pháp 40

2.6.4 Bài tập áp dụng 40

2.7 Ví dụ tổng quát 41

2.7.1 Ví dụ 41

2.7.2 Bài tập áp dụng 51

3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ 53 3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình 53

3.1.1 Phương pháp ứng dụng 53

3.1.2 Bài tập áp dụng 57

3.2 Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương trình có chứa tham số 58

3.2.1 Phương pháp ứng dụng 58

3.2.2 Bài tập áp dụng 64

3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 65

3.3.1 Phương pháp ứng dụng 65

3.3.2 Bài tập áp dụng 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

ii

LỜI MỞ ĐẦU

Các vấn đề liên quan đến cực trị và ứng dụng của cực trị là những bài toán rất quan trọng và có nhiều dạng toán gần với ứng dụng thực

tế nhất trong toán học phổ thông Ví dụ bài toán tìm đường đi ngắn nhất, diện tích lớn nhất, tổng chi phí ít nhất, lợi nhuận cao nhất Đặc biệt, các bài về cực trị thường là bài toán khó, tổng hợp trong mỗi kì thi tốt nghiệp, cao đẳng - đại học

Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối và cực trị tương đối Trong luận văn này khái niệm cực trị được đề cập đến là cực trị tuyệt đối (gồm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất) Trong chương trình phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa được đề cập đến, do đó trong luận văn này

dù có những bài toán nhiều biến nhưng sẽ được đưa về để giải theo bài toán cực trị một biến hoặc của một tập hợp

Luận văn "Phương pháp cực trị và ứng dụng" sẽ trình bày các phương pháp cực trị để tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, biểu thức, tập hợp và ứng dụng của các phương pháp này Tuy nhiên việc chia các phương pháp chỉ là tương đối, cùng với

đó các phương pháp có rất nhiều ứng dụng khác nhau, trong phạm

vi phương pháp toán sơ cấp và giới hạn của một bài luận văn thạc sĩ không thể trình bày hết tất cả các phương pháp và ứng dụng được Do

đó, luận văn sẽ đề cập và đi sâu vào 6 phương pháp cơ bản và 3 ứng dụng thường gặp trong các bài toán toán phổ thông nhất

Trên cơ sở đó, nội dung luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Gồm các kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Chương 2: Phương pháp tìm cực trị

Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ Cuối chương là các ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác nhau Chương 3: Ứng dụng của phương pháp cực trị

Trình bày 3 ứng dụng thường gặp trong toán học sơ cấp: Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình; ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức Mỗi ứng dụng có các ví dụ chi tiết và bài tập áp dụng

Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS TS Nguyễn Đình Sang Người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn thành luân văn này

Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy, hướng dẫn em trong quá trình học, cùng các bạn bè đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã nỗ lực, cố gắng nhưng hiểu biết có hạn và thời gian hạn chế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót Kính mong các thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015

Học viên Đào Thị Ngân

2

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| Hình 2: Tam giác ABC đều cạnh đơn vị 2

Hình 3: Đồ thị x + y = 1 và x2+ y2 = 1

Hình 4: Đường tròn tâm O, đường kính AB, chứa 4CAB

Hình 5: Đồ thị elip

Hình 6: Bảng biến thiên hàm số f (x) = √4

2x +√

2x + 2√4

6 − x

BẢNG KÝ HIỆU

N Tập các số tự nhiên

N∗ Tập các số đếm

Z Tập các số nguyên

R Tập các số thực

C Tập các số phức

GTLN Giá trị lớn nhất

GTNN Giá trị nhỏ nhất

[a; b] = {x ∈R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a; b) = {x ∈R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈R|a < x ≤ b}

4

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

nhất (GTNN)

1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R Số M được gọi là GTLN của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:



f (x) ≤ M, ∀x ∈ D

∃x0 ∈ D : f (x0) = M

Ký hiệu: M = max

x∈D f (x)

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R Số M được gọi là GTNN của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:



f (x) ≥ m, ∀x ∈ D

∃x0 ∈ D : f (x0) = m

Ký hiệu: m = min

x∈D f (x) Chú ý: Ta có thể thay D ⊂R là tập xác định của hàm f (x) bằng tập [a, b]

và dẫn đến khái niệm max

[a,b] f (x) , min

[a,b] f (x)

1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp

• Cho U là một tập con của tập số thực R Số α được gọi là cận trên đúng của U, ký hiệu α = sup U, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:



α ≤ x, ∀x ∈ U

Nếu α ∈ U thì α là số lớn nhất của U, ký hiệu α = max U Vậy:

α = max U ⇔



α ≥ x, ∀x ∈ U

α ∈ U

• Cho U là một tập con của tập số thực R Số β được gọi là cận dưới đúng của U, ký hiệu β = inf U, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:



β ≤ x, ∀x ∈ U

∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: β + ε > xε ≥ β

Nếu β ∈ U thì β là số nhỏ nhất của U, ký hiệu β = min U Vậy:

β = min U ⇔



β ≤ x, ∀x ∈ U

β ∈ U

Sup và inf của một tập bao giờ cũng tồn tại nhưng có thể là ±∞

Chú ý: Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] (hay tổng quát hơn là f xác định trên tập D) Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đó:

max U = max

[a,b] f (x)max

D f (x), min U = min

[a,b] f (x)min

D f (x)

• Hàm số f liên tục trên [a, b] ⊂R thì đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.

Ký hiệu: max

[a,b] f, min

[a,b] f

• Hàm số f liên tục và đơn điệu trên [a, b] ⊂R thì:

max

[a,b] f = max {f (a) , f (b)},

min

[a,b] f = min {f (a) , f (b)}

• Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định của hàm f (x) mà tại đó đạo hàm của nó bằng 0 hoặc không tồn tại thì được gọi là điểm dừng (điểm tới hạn) của hàm đã cho

Giả sử f (x)là hàm số liên tục trên[a, b] ⊂ R và chỉ có một số hữu hạn điểm

tới hạn x1, x2, , xn thì:

6

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo Dục

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam

[3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014,Phương pháp hàm số trong giải toán - Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia