Chuyên đề phương trình bậc hai và ứng dụng

Đề thi gồm 5 bài với 6 nội dung kiến thức trọng tâm: Rút gọn biểu thức, giải bài toán bằng cách lập PT hoặc hệ PT, hàm số và đồ thị, hệ PT, PT bậc hai và hình học.Nội dung kiến thức về p

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG I- TẦM QUAN TRỌNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG VÀ TRONG VIỆC ÔN THI VÀO LỚP 10

Như chúng ta đã biết cấu trúc đề thi vào lớp 10 của TP Hà Nội trong những năm gần đây hầu như không có sự thay đổi nhiều Đề thi gồm 5 bài với 6 nội dung kiến thức trọng tâm: Rút gọn biểu thức, giải bài toán bằng cách lập PT hoặc hệ PT, hàm số và đồ thị, hệ PT, PT bậc hai

và hình học.Nội dung kiến thức về phương trình bậc hai không quá nặng nhưng bài tập áp dụng thì vô cùng phong phú và phức tạp Đặc biệt bài tập liên quan đến phương trình bậc hai lại chiếm một phần điểm tương đối lớn trong tổng điểm của đề thi Chẳng hạn:

- Ngay trong bài rút gọn đôi khi câu hỏi 3 liên quan đến giải và biện luận về phương trình bậc hai

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hoặc hệ phương trình) hầu như đều quy về phương trình bậc hai

- Đặc biệt bài số 3 thường có thể là một trong hai dạng bài:

 Phương trình bậc hai có chứa tham số (Đề thi năm 2015-2016)

Cho PT bậc hai: x2 –(m + 5) x + 3m + 6 = 0 (ẩn x)

a) Chứng minh PT luôn có nghiệm với mọi số thực m

b) Tìm m để PT có hai nghiệm x1 ; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông

có cạnh huyền bằng 5

 Quan hệ tương giao giữa (P) và (d) (Đề thi năm 2013-2014)

Cho (P): 1 2

2

y x và đường thẳng (d): y = mx – m2 + m + 1.Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho

- Đôi khi trong bài 5 hoặc bài toán cực trị hình học cũng có thể liên quan đến phương trình bậc hai

Xét thấy tầm quan trọng của phương trình bậc hai trong việc ôn thi vào lớp 10, tổ Toán của trường chúng tôi mạnh dạn hệ thống một số dạng bài tập liên quan đến PT bậc hai và phương pháp giải của từng dạng Song với kinh nghiệm còn chưa nhiều và kết quả thi vào lớp 10 của trường chúng tôi còn hạn chế, thời gian có hạn nên chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các trường bạn để chúng ta có một tài liệu ôn thi về PT bậc hai hoàn chỉnh hơn

II- GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A- CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1- Dạng tổng quát của phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (*)

a) Công thức nghiệm :

Bước 1: Lập biệt số  b2  4ac

Bước 2: Xét dấu của :

 Nếu > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: 1 ; 2

 Nếu  = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép: 1 2

2

b

x x

a



 

 Nếu < 0 thì phương trình (*) vô nghiệm

b) Công thức nghiệm thu gọn

Bước 1:

 Xác định b’: Ta có b = 2b’

2

'

 b b

 Lập biệt số thu gọn:'b'2 ac

Bước 2: Xét dấu của  ':

 Nếu  '> 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

;

 Nếu  ' = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép: x1 x2 b'

a



 

 Nếu  '< 0 thì phương trình (*) vô nghiệm

c) Hệ thức Vi – ét:

Nếu phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thì S x1 x2 b;P x x1 2 c



2- Ứng dụng của phương trình bậc hai vào giải toán

 Sử dụng hệ thức Vi – ét để giải bài tập

 Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai

B) CÁC DẠNG BÀI TẬP

PHẦN I: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Dạng 1 : Giải và biện luận phương trình

Các phương pháp giải phương trình

Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích

Để giải phương trình :f(x) = ax2 + bx + c = 0, ta biến đổi phương trình về dạng q(x).g(x) = 0 trong đó q(x), g(x) là các đa thức bậc nhất, rồi giải các phương trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho:

 

0

0

q x

g x

 

    





Chú ý: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8) Phương pháp này thường được sử dụng trong trường hợp PT bậc hai khuyết

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm

a) Biết S = x1 + x2 = b

a  



  ; P = x1.x2 = c .

a   Suy ra: x1 =  và x2 =  b) Biết được: a + b + c = 0 Suy ra: x1 = 1 ; x2 = c

a

c) Biết được:a - b + c = 0 Suy ra:

Chú ý: So sánh a + c với b

 Nếu a + c = b thì sử dụng a – b + c = 0

 Nếu a + c và b là hai số đối nhau thì sử dụng a + b + c = 0

Phương pháp 3: Sử dụng công thức nghiệm

Phương pháp 4:Phương pháp đồ thị

Viết phương trình bậc hai dưới dạng ax2 + bx +c = 0 ax2 = - bx - c

Xét các hàm số: y = ax2 (P) và y = -bx – c (d)

Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ

a) Nếu đường thẳng (d) cắt (P) thì hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình đã cho

b) Nếu đường thẳng (d) tiếp xúc (P) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình đã cho

c) Nếu đường thẳng (d) không cắt (P) thì phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng (d) và Parabol (P):

Lưu ý: Đây là dạng bài tập thường có trong bài 3 hoặc trong bài giải bài toán bằng cách

lập PT và là câu hỏi HS đại trà có thể gỡ điểm Vì vậy GV cần chú trọng rèn ngay từ khi học PT bậc hai để HS có kĩ năng giải PT tốt nhất sao cho các em không bị mất điểm

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của một

phương trình bậc hai cho trước

Ví dụ: Cho phương trình 5x2 – 3x – 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = x12 + x22

B = x13 + x23

C = 2x13 – 3x22x1 + 2x23 – 3x2x22

2

1 1 1

D

      

Phương pháp:

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm hay không

Bước 2: Tính S, P

Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất hiện S, P , thay giá trị của S, P vào biểu thức rồi tính.

Dạng 3: Chứng minh (Tìm điều kiện của tham số để) phương trình có:

1) Hai nghiệm phân biệt 2) Có nghiệm kép

3) Có nghiệm 4) Vô nghiệm

5) Có nghiệm x = x 0

Lưu ý:

- Trong quá trình giảng dạy GV có thể đưa ra 2 dạng bài tập này trong cùng một lúc để dễ phân biệt cho học sinh Về cơ bản hai dạng bài tập này đều chung một kiến thức vận dụng và

chỉ khác nhau về cách trình bày lập luận.

VD 1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x + 2m - 4 = 0 (ẩn x)

Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

 Có a = 1; b’ = -(m – 1); c = 2m – 4 =>∆’ = m2 – 4m + 5 = (m – 2)2 + 1

 Vì ∆’ = (m – 2)2 + 1>0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

VD2: Cho phương trình x2 – 2(m + 1) x + m2 -4m + 5 = 0 ( ẩn x)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

 Có a = 1; b’ = -(m + 1); c = m2 -4m + 5 =>∆’ = 6m - 4

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ⇔∆’ > 0 ⇔ 6m - 4 > 0 ⇔ m > 2/3

- Trong trường hợp hệ số a của phương trình có chứa tham số thì HS thường mắc sai lầm là không xét trường hợp hệ số a = 0 với câu hỏi phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm

- Với phương trình bậc hai có chứa tham số ở hệ số a cần chú ý điều kiện hệ số a khác 0

VD3:Tìm m để phương trình mx2 + 2(m + 1)x+ m + 3 = 0 có nghiệm duy nhất

 Xét m = 0 , phương trình có dạng 2x + 3 = 0

 Nếu m ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất ∆’ = 0

(TMĐK m ≠ 0)

Vậy m = 0 hoặc m = 1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

(Rõ ràng nếu HS không xét trường hợp a = 0 thì làm mất giá trị m = 0)

- Một sai lầm nữa mà học sinh thường hay mắc phải khi giải điều kiện của ∆:

Chẳng hạn: Khi ∆= (2m + 1)2 mà bài toán hỏi tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, HS thường cho ∆= (2m + 1)2> 0 luôn đúng với mọi m hoặc khi m > -1/2, (Sai)

Mà giải đúng phải là ∆ > 0

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để:

1) Nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện về dấu.

2) Hai nghiệm của phương trình liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước

4.1 Nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện về dấu:

1.Phương trình có 2 nghiệm trái dấu⇔a.c < 0

2.Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu⇔

3.Phương trình có 2 nghiệm cùng dương⇔

4.Phương trình có 2 nghiệm cùng âm⇔

5.Phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm dương⇔

6.Phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm dương lớn hơn GTTĐ nghiệm âm⇔

7.Phương trình có 2 nghiệm là hai số đối nhau⇔

8.Phương trình có đúng một nghiệm dương

Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: a = 0 Phương trình có dạng bx+c =0 =>Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của nghiệm

Truờng hợp 2: a ¹0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai Để phương trình có đúng một nghiệm dương, ta xét các khả năng sau:

 Phương trình có nghiệm kép dương⇔

0 0 2

b a

 













 Phương trình có một nghiệm bằng 0 còn nghiệm kia lớn hơn 0 Tìm m

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm

Kết luận: Kết hợp các trường hợp rồi tìm m

9.Phương trình có đúng một nghiệm không dương

Trường hợp 1: a = 0, Phương trình có dạng bx + c = 0

=>Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của nghiệm

Truờng hợp 2: a ¹0, Phương trình là phương trình bậc hai Để phương trình có đúng một nghiệm không dương, ta xét các khả năng sau:

 Phương trình có nghiệm kép không dương ⇔

0 0 2

b a

 













 Phương trình có một nghiệm bằng 0 còn nghiệm kia nhỏ hơn 0 Tìm m

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0⇒Tìm m

Kết luận: Kết hợp các trường hợp rồi tìm m

10 Phương trình có ít nhất một nghiệm không âm

 Xét a = 0, phương trình có dạng bx + c = 0  Tìm nghiệm x và kiểm tra dấu của nghiệm

 Xét: a ¹0: phương trình là phương trình bậc hai

Cách 1: Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm

Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

Phương trình (1) có một nghiệm bằng 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương



 



Cách 2: Với m (Thoả mãn a¹0 ) Phương trình (1) có nghiệm  0 (Từ đó tìm m) Các nghiệm của phương trình (1) là: x1 b2a ; x2  b2a 

Cho x  1 0 Tìm m (2)

Cho x  2 0 Tìm m (3)

Kết hợp (2), (3) và điều kiện của m (a¹0) Suy ra giá trị tham số m cần tìm

Cách 3: Phương trình (1) có hai nghiệm đều âm

0 0 0

P S







  

 





(*) Giải tìm giá trị của m

Vậy pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm  m nhận các giá trị trái với giá trị của m ở (*)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Bước 2: Viết hệ thức Vi – ét: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3: Viết hệ thức theo yêu cầu của đề bài và kết hợp với hệ thức Vi – ét, giải điều kiện Bước 4: Kết hợp điều kiện và trả lời bài toán

Lưu ý:

- Cho học sinh đọc kĩ đề bài và từ yêu cầu của đề bài các em phải phân tích rồi viết được hệ điều kiện tương ứng

- Có thể tính tích của hai nghiệm, xác định dấu của các nghiệm để giảm bớt điều kiện của bài toán

- Có những trường hợp câu hỏi khó ( Câu 8; 9; 10) GV cần phân tích và hướng dẫn HS xét tất cả các trường hợp:

- Đôi khi học sinh không chịu suy nghĩ, lười phân tích nên có thể viết ra hệ ĐK rất phức tạp:

Chẳng hạn: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn nghiệm

dương HS có thể viết ra hệ điều kiện là

Tuy nhiên khi phân tích thì phương trình có hai nghiệm trái dấu nên chỉ cần

4.2 Hai nghiệm của phương trình thỏa mãn một hệ thức cho trước

a) Hệ thức cho trước là biểu thức đối xứng của hai nghiệm:

1) x12+ x22 = 7

2) x12+ x22 = x1 + x2

3) x12x2 + x22x1 - x1x2 =3

4) x1 (1- x2 ) + x2(1 - x1) = - 6

5) x12+ x22 – 6x1x2 = 13

7)x13+ x23 = 11 8)x13 – x23 = 50 9)

10)

6) 2 2

x x x x

11) 12) Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3:Biến đổi điều kiện làm xuất hiện S và P rồi kết hợp với Vi – ét,giải điều kiện với ẩn

số m.

Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện và trả lời bài toán

b) Hệ thức cho trước là biểu thức không đối xứng của hai nghiệm:

1) x1 - 4x2 = 3

2) x1 = 9x2

3) x12 – x22 = 10

4) x1 = x22

5) x1.x2 = 1(Hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3: Biến đổi điều kiện,rồi kết hợp với S ( P) được hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm x 1 ; x 2 theo m, thay vào hệ thức còn lại rồi tìm tham số m

Bước 4: Đối chiếu, so sánh điều kiện và trả lời bài toán

VD: Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2x1 – 5x2 = - 8

 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm m ≤

 Viết hệ thức Vi – ét:

 Kết hợp 2x1 – 5x2 = - 8 với ta có hệ PT:

Giải hệ được x1 = 1; x2 = 2 Thay vào điều kiện

(TMĐK m ≤

Vậy với m = 3 thì PT có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 2x1 – 5x2 = - 8

Chú ý: Đối với dạng bài này, GV cần hướng dẫn học sinh lựa chọn S hoặc P kết hợp với điều kiện của nghiệm tạo thành hệ PT sao cho việc giải hệ là đơn giản nhất.

c) So sánh các nghiệm của phương trình với một số khác 0:

1) 1<x1< x2< 6

3) x1< 1 < x2

4) -2< x1 < x2

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3: Từ điều kiện của bài toán biến đổi, đưa về bất phương trình, kết hợp với hệ thức Vi – ét giải bất phương trình và tìm m

Chẳng hạn: x1< 1 < x2=> (x1 – 1)(x2 – 1) < 0 ⇔x1x2 –(x1+x2) + 1 < 0

Bước 4: Đối chiếu với ĐK ở bước 1 và trả lời bài toán.

d) Hệ thức liên quan đến hình học

• PT có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền

• PT có hai nghiệm là hai kích thước của hình chữ nhật biết diện tích hoặc chu vi hoặc độ dài đường chéo

• PT có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông biết độ dài đường cao ứng với cạnh huyền

• …

Chú ý:

- GV phải giúp HS biết đưa lạ về quen, chuyển từ bài toán có nội dung hình học về một trong các hệ thức quen thuộc

- Tuy nhiên cần lưu ý cho học sinh điều kiện của 2 nghiệm là 2 giá trị phải luôn dương Từ

đó suy ra phương trình bậc hai phải có 2 nghiệm dương

e) Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm đạt GTLN, GTNN:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

Bước 2: Viết hệ thức Vi – et: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3: Biến đổi biểu thức làm xuất hiện S, P Thay S, P vào biểu thức rồi tìm tham số để biểu thức đạt GTLN, GTNN.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và trả lời.

VD: Cho phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 - 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Khi đó tìm GTNN của biểu thức P = x1.x2 + 2(x1+x2)

 Dễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm x1, x2 là m ≥ -1

 Áp dụng định lí Vi-et ta có: x1 + x2 = 2m + 2, x1.x2 = m2 – 1

 Khi đó ta có P = x1.x2 + 2(x1 + x2) = m2 -1 + 2(2m+2) = m2 + 4m + 3

Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích m2 + 4m + 3 = (m+2)2 -1 ≥ -1 và kết luận ngay GTNN của P = -1

Đối với bài toán này, cách làm trên hoàn toàn sai vì HS không chú ý điều kiện PT có nghiệm

là m ≥ -1

Giải đúng: Ta có P = m2 + 4m +3 = (m+1)(m+3)

Với m ≥ -1 suy ra m+1 ≥ 0, m+3 > 0 suy ra (m+1)(m+3) ≥ 0

Vậy min P = 0, dấu bằng xảy ra khi m = -1 (thỏa mãn ĐK đã nêu)

Chú ý đối với dạng 4 2 : Đôi khi học sinh có thể nhẩm nghiệm hoặc giải phương trình tìm 2 nghiệm x 1 ; x 2 , sau đó thay nghiệm vào điều kiện bài toán đưa về giải các phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn m

Chẳn hạn:

Tìm m để phương trình x2 + 2mx + 2m – 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3x1 – 2x2 = 3

Ta có: a – b + c = 0 suy ra x1 = - 1; x2 = 1 – 2m

Thay x1; x2 vào hệ thức ta được: -3 – 2 + 4m = 3 suy ra m = 2

Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm a ≠ 0 và ∆ ≥ 0

Bước 2:Viết hệ thức Vi – et: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 x 2 theo m

Bước 3: Từ hệ thức Vi – ét ta khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Lưu ý :

GV cần nhấn mạnh bước 1 vì học sinh thường ít chú ý đến điều kiện để vận dụng Vi – et VD1: Cho phương trình x2 – 2(m – 1) x – 3 – m = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn:

 Điều kiện

2

        

  (Luôn đúng với mọi m)

 Áp dụng Định lí Vi – ét ta có:

VD2: Cho phương trình(m-1)x2 – 2(m – 2) x +3 + m = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn:

 Điều kiện m ≠1;m ≤

 Áp dụng Định lí Vi – ét ta có:

Dạng 6: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P

Phương pháp: