Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004 MÔN THI : ĐẠI SỐ
Trang 1Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ) (Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề) Bài I: Cho A là vành giao hoán có đơn vị
a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A
b) Cho M là một iđêan của A Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi A/M là trường.
c) Cho M là một iđêan của A Chứng minh: Nếu ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A
Bài II: a) Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n
phần tử
Chứng minh ∀x ∈ G x2 ∈ H b) Trong nhóm đối xứng S4 (nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc của các nhóm con xiclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3
Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con:
A = m
n ∈ Q/n là số lẻ
a) Chứng minh A là vành con của Q
b) Tìm các phần tử khả nghịch trong vành A
c) Chứng minh vành con A là một vành chính
Bài IV: Xét đa thức f (x) = x3+ x + 1 ∈ Q[x]
1) Chứng minh f (x) = x3+ x + 1 bất khả vi trong Q[x]
2) Gọi α là nghiệm thực của f (x) = x3+ x + 1 (nghiệm thực này là duy nhất)
Đặt K = {aα2 + bα + c/a, b, c ∈ Q}
a) Chứng minh ánh xạ
α : Q[x] −→ R g(x) 7−→ g(α)
là đồng cấu vành
b) Tìm Kerϕ
c) Chứng minh K là một trường
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
1