So chinh phuong.ngon tuyet

ở các lớp 7, 8, 9 thì yêu cầu về tính khoa học, chặt chẽ của mảng kiến thức này ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải có các phơng pháp học thật đa dạng, phong phú, tăng khả năng t duy trừ

A Đặt vấn đề

Trong toán học, “Đại số” nói chung “Số chính phơng” nói riêng là một mảng kiến thức khá khó, phức tạp và trừu tợng giữa học lý thuyết và áp dụng vào giải bài tập Các em học sinh đợc tiếp cận rất sớm, ngay ở bậc tiểu học các em đã làm quen với các số 0, 1, 4, 9, 16, 25, Khi các em lên bậc học THCS, ngay từ…lớp 6 các em đã đợc tiếp cận khá nhiều các dạng bài tập thể hiện kiến thức về số chính phơng ở các lớp 7, 8, 9 thì yêu cầu về tính khoa học, chặt chẽ của mảng kiến thức này ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải có các phơng pháp học thật đa dạng, phong phú, tăng khả năng t duy trừu tợng để tìm tòi, khai thác vấn đề trên mọi góc độ, mọi khía cạnh nhằm tìm ra một “Sợi chỉ” liên hệ giữa lí thuyết và bài tập, giữa các yếu tố ‘cho và hỏi’

Trong quá trình học tập đây đó đã có những tài liệu để hỗ trợ học sinh thích nghi và học tốt số chính phơng song cách viết và sự trình bầy của tài liệu còn cha sát thực vói thực tiễn học tập của học sinh làm cho học sinh vẫn ngại đôi khi còn

có cảm giác sợ học toán về phần số chính phơng Đặc biệt với những học sinh lớp

8, lớp 9 khi các em còn cha tạo cho mình một thói quen, một phơng pháp học phù hợp với những nội dung liền trớc thì đã phải gặp rất nhiều bài toán khó, lạ nhất là những bài toán “Mở” từ các bài toán cơ bản Các em sau khi đọc kỹ đề bài mà vẫn không biết định hình mình phải làm gì và bắt đầu từ đâu

Để giúp các em học sinh khắc phục những lo sợ, ức chế khi học số chính phơng tôi đi sâu và nghiên cứu tìm hiểu “Phơng pháp giải một số dạng toán về số chính phơng” trong chơng trình toán THCS Đồng thời thông qua đó giúp các em biết phân tích, tìm tòi, phát triển bài toán ban đầu ra nhiều bài toán khác

B Nội dung và phơng pháp.

I Tình hình chung.

Nh đã nêu ở trên giải toán số chính phơng là một dạng toán rất đa dạng và phong phú, học sinh đợc làm quen sớm Tuy nhiên hiệu quả học tâp của các em lại cha cao Nếu học sinh nắm đợc phơng pháp, kỹ năng giải một số dạng toán số chính phơng thì các em sẽ tự tin hơn, sáng tạo hơn, nâng cao khả năng t duy lôgíc tốt hơn trong học tập nội dung số chính phơng nói riêng môn toán nói chung Thế nhng trong sách giáo khoa, giáo trình và tài liệu tham khảo về loại toán này đã có song sự trình bầy còn tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết và phơng pháp mà chỉ là sự đa ra một số bài tập cùng lời giải Vì lí do đó tôi đã chọn chuyên đề này

để nghiên cứu dạy thực nghiệm cho học sinh nhằm bổ sung cho các em phần nào kiến thức cần có trong quá trình học toán ở trờng THCS

II Những vấn đề đợc giải quyết.

Qua nghiên cứu và từ thực tế giảng dạy phần hàm số tôi đã chia thành các dạng bài cụ thể nh sau

+ Sè chÝnh ph¬ng chØ cã thÓ cã ch÷ sè tËn cïng bëi: 0, 1, 4, 5, 6, 9 kh«ng thÓ tËn cïng bëi: 2, 3, 7, 8 V×

Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hay số a có dạng m4

Suy ra: Số B có chữ số hàng chục là số lẻ

Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 6 ( chứng minh tơng tự)

+ Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

CM:

Xét số m có dạng: m = ax by cz… Trong đó a, b, c là các số nguyên tố khác…nhau, còn x, y, z, là các số nguyên tố d… ơng

Khi đó: Số A = m2 = (ax by cz….)2 = a2x b2y c2z…

Từ tính chất này, suy ra:

Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

………

+ Số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1

CM:

Nhận thấy một số bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể d 0, d 1, d 2

Số chia cho 3 d 0 luôn có dạng 3k trong đó k ∈ Z.

Suy ra: A = (3k)2 = 9k2 M 3

Số chia cho 3 d 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k ∈ Z

Suy ra: A = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho 3 d 1

Số chia cho 3 d 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k ∈ Z.

Suy ra: A = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 d 1

+ CMTT: Số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1

b Một số nhận xét trong quá trình giải toán

Nhận xét1: Khi gặp các số có nhiều chữ số giống nhau nh

A = 22214 2 43ìììì22; B = 55551 4 2 4 3ìììì555; C = 9999 9991 4 2 4 3 thì ta thờng đặt m = 111 1114 2 43

Lêi gi¶i chi tiÕt

Lêi gi¶i chi tiÕt

- Sè chÝnh ph¬ng chia cho 4 chØ cã thÓ d 0 hoÆc 1

- Sè chia cho 4 d 2 hoÆc d 3 kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng

- B×nh ph¬ng cña mét biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn lµ mét sè chÝnh ph¬ng

- DÊu hiÖu chia hÕt cho c¸c sè 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25, 125

+ Căn cứ vào cấu trúc của biểu thức số đã cho ta phân tích mối quan hệ giữa các thành phần trong biểu thức để biến đổi, tách số hoặc đánh giá đa biểu thức về dạng mới sao cho thoả mãn một trong các điều kiện đã trình bày ở trên.

Học sinh suy luận số A không là số chính phơng

+ Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định A không là số chính phơng vì chữ số tận cùng của A là 6

+ Không thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 4 vì A chia hết cho 4 hay A chia cho 4 d 0

+ Nh vậy chỉ có thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 3 và để khẳng định A không là số chính phơng thì phải làm sáng tỏ A chia cho 3 d 2

Lúc này học sinh tính tổng các chữ số của A

5 52 + 6 = 266 chia cho 3 d 2

Lời giải chi tiết.

Xét số m ∈ Z bất kỳ với phép chia cho 3 và B = m2

Nhận thấy số m bất kỳ khi chia cho 3 chỉ có thể d 0, d 1, d 2

Ta có : Số chia cho 3 d 0 luôn có dạng 3k trong đó k ∈ Z.

Suy ra: B = (3k)2 = 9k2

M 3

Số chia cho 3 d 1 luôn có dạng 3k + 1 trong đó k ∈ Z.

Suy ra: B = (3k + 1)2 = [(9k2 + 6k) + 1] chia cho 3 d 1

Số chia cho 3 d 2 luôn có dạng 3k + 2 trong đó k ∈ Z.

Suy ra: B = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = [(9k2 + 12k + 3) + 1] chia cho 3 d 1

Nhiều em suy luận nh sau

Theo ví dụ 1 học sinh nhanh chóng biến đổi

Học sinh suy luận số B không là số chính phơng

+ Không thể dựa vào chữ số tận cùng để khẳng định B không là số chính phơng vì chữ số tận cùng của B là 0

+ Không thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 3 vì B chia cho 3 d 1

+ Nh vậy chỉ có thể dựa vào các dấu hiệu của số chính phơng với phép chia cho 4 và để khẳng định B không là số chính phơng thì phải làm sáng tỏ B chia cho 4 d 2 hoặc d 3

Lời giải chi tiết

Lại có: Số chính phơng lẻ khi chia cho 4 thì có số d là 1( phần lí thuyết đã viết)Mà: 11 chia cho 4 d 3

Bài toán này về mặt yêu cầu thì đã rõ ràng, nhng cấu trúc của biểu thức đã làm cho học sinh khá ngại do khác hẳn với hai ví dụ trên Song với kiến thức về

số chính phơng mà các em đợc tiếp từ chuyên đề này thì đã có nhiều em phân tích

kỹ mối quan hệ giữa các thành phần và suy luận nh sau

Phải dựa vào các tính chất, dấu hiệu của số chính phơng để phân tích

Biểu thức có cấu trúc của luỹ thừa tổng quát tức là liên quan đến các hằng

đẳng thức dạng tổng quát

Theo dạng của biểu thức với luỹ thừa chẵn của từng số hạng thì liên quan

đến hằng đẳng thức a2n - b2n hoặc a2n - (- b)2n Cụ thể học sinh biến đổi nh sau

Ta có: C = 1 + 92k + 772k + 19772k

= (772k - 1) + 92k + 1997.19772k – 1 + 2

= [772k - (-1)2k] + 92k + 3.659.19772k – 1 + 2

= [77-(-1)][772k-1 + 772k-2.(-1) + + (-1)… 2k-1] + 92k + 3.659.19772k – 1 + 2] = 78.t + 34k + 3.659.19772k – 1 +2

= 3(26t + 34k-1 + 659.19772k-1) + 2

Xét thấy: 3(26t + 34k-1 + 659.19772k-1) M 3 với mọi k ∈ N*

Suy ra : C chia cho 3 d 2

Mà: Bất kỳ một số chính phơng nào khi chia cho 3 chỉ có thể số d là 0 hoặc 1Vậy: C = 1 + 92k + 772k + 19772k không là số chính phơng

+ Thay cụ thể vào bài

Giá trị thoả mãn

Giá trị không thoả mãn

Dự đoán khoảng giá trị không thoả mãn

+ Chứng minh khoảng giá trị không thoả mãn là luôn đúng dựa vào các kiến thức Dấu hiệu nhận biết số chính phơng đã trình bầy trong phần lý thuyết

Dùng bất đẳng thức kép ( )

( )

2 2

1 1

Chứng minh đợc không có giá trị thoả mãn

+ Kết luận bài toán

Ví dụ 1: Tìm a ∈ Z để biểu thức sau là số chính phơng

S = a4 – a + 2Trớc khi tiếp cận chuyên đề bài toán này là khá khó với học sinh vì học sinh chỉ quen với toán tìm x, giải phơng trình Song cũng có những học sinh làm

và nghĩ rằng có rất nhiều giá trị của a để S là số chính phơng do không định hình

ra con đờng đi để tìm hết các giá trị thoả mãn, biện luận các giá trị không thoả mãn Sau khi tiếp cận lí thuyết thì bài toán không còn là thử thách với các em nữa, các em giải nh sau

Xét với a = 1 suy ra S = 2 ( không thoả mãn)

Xét với a = 2 suy ra S = 16 ( thoả mãn)

Xét với a = 3 suy ra S = 80 ( không thoả mãn)

Xét với a = 4 suy ra S = 255 ( không thoả mãn)

Xét với a = 5 suy ra S = 622 ( không thoả mãn)

lẻ Khi đó các em nghĩ đến các tính chất, dấu hiệu của số chính phơng và đã có một số học sinh nhận thấy a5 - a chia hết cho 5 a5 – a + 2 chia cho 5 d 2

M có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7

M không là số chính phơng

Lời giải chi tiết

Suy ra: a5- a = (a- 1)a(a + 1)(a2 + 1) M 5

Nếu a chia cho 5 d 1 thì a = 5k + 1 với k ∈ Z

Suy ra: a- 1 = 5k + 1-1 = 5k M 5 hay a5- a M 5

Nếu a chia cho 5 d 2 thì a = 5k + 2 với k ∈ Z

Suy ra: a2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 5) M 5 hay a5- a M 5

Nếu a chia cho 5 d 3 thì a = 5k + 3 với k ∈ Z

Suy ra: a2 + 3 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 10) M 5 hay a5- a M 5

Nếu a chia cho 5 d 4 thì a = 5k + 4 với k ∈ Z

Suy ra: a + 1 = 5k + 4 + 1 = 5k + 5 M 5 hay a5- a M 5

Nh vậy với mọi a ∈ Z thì a5- a M 5

Do đó: a5- a + 2 chia cho 5 d 2

Nên : M = a5- a + 2 phải có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7

Mà : Theo lí thuyết, số chính phơng không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8Vậy : Không có giá trị của a để M là số chính phơng

Lời giải chi tiết.

Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 ( thoả mãn)

Với n = 2 thì 1! + 2! = 1 + 1.2 = 3 (không thoả mãn)

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 ( thoả mãn)

Với n = 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 ( không thoả mãn)Với n = 5 thì 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1+ 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + 1.2.3.4.5 = 153(L)Với n = 6 thì

Bài 2: Có hay không số tự nhiên n để E = 2002 + n2 là số chính phơng

Bài 3: Tìm các chữ số a, b sao cho số 1980ab là số chính phơng

Bài 4: Tìm các chữ số c, d sao cho số 1978cd là số chính phơng

Bài 5: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để hai số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là các

số chính phơng

Dạng 4: Tìm số chính phơng

Phơng pháp

+ Đọc kỹ đề bài và tóm tắt đề bài theo sơ đồ

+ Đặt số phải tìm theo hai cấu trúc

nghìn, hàng chục, hàng đơn vị là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần

Bài toán này lúc đầu có thể làm nhiều học sinh thấy băn khuăn, lúng túng, nhng khi đọc kỹ đề bài thì các em tự tin hơn vì đã viết đợc dạng số phải tìm, cụ thể số phải tìm có dạng (m+ 1) (m m+ 2)(m+ 3) = a2 song công việc tiếp theo là tìm ra

m thì đã làm cho hầu hết học sinh “ bí” Khi các em cha tiếp cận chuyên đề này chủ yếu các em biến đổi nh sau

Dùng máy tính thử các số

Tách (m+ 1) (m m+ 2)(m+ 3) = 1000(m + 1) + 100m + 10(m + 2) + (m + 3)

= 1111m + 1023 Thử các giá trị của m ( 0 ≤ m ≤ 9)

Kiểm tra xem trong các số tìm đợc số nào thoả mãn

Còn với các em đã đợc tiếp cận chuyên đề thì suy luận nh sau

Nhận xét chữ số tận cùng của a2 chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6, 9

m + 3 ∈ {4;5;6;9} m ∈ {1; 2;3;6}

Tìm đợc số thoả mãn

Lời giải chi tiết

Theo bài ra số phải tìm có dạng

hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị giống nhau

Tơng tự nh ví dụ 1 khi cha tiếp cận với chuyên đề này các em chủ yếu biến

đổi bài toán nh sau

Theo bài có a2 = bbcc = 1100b + 11c = 11(100b + c)

Biện luận số a2 theo giá trị của b, c có quá nhiều trờng hợp

Với những học sinh sau khi đợc nhận thức về chuyên đề này thì các em chủ yếu suy luận nh sau

Lời giải chi tiết

Theo bài ra số chính phơng phải tìm có dạng

a2 = bbcc

Ta có: bbcc = 1100b + 11c = 11(100b + c) M 11

Nên : Để số 11(100b + c) là số chính thì 100b + c M 11

⇔[99b + (b + c)] 11

Bài 3: Tìm số chính phơng có 4 chữ số khác nhau, biết rằng khi viết số đó theo

thứ tự ngợc lại thì đợc số mới có 4 chữ số cũng là số chính phơng và chia hết cho

số ban đầu

(Đáp số: 1089)

Dạng 5: Một số bài toán khác về số chính phơng.

Chú ý: Để giải tốt một số bài toán khác về số chính phơng (các bài này

không thuộc một dạng cụ thể nào trong các dạng đã trình bầy), yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức tổng hợp về số chính phơng đã đợc trình bầy trong lý thuyết, đồng thời biết tổng hợp linh hoạt các kỹ năng giải của từng dạng, các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức đáng nhớ để áp…dụng vào giải

Ví dụ 1: Cho m + 1 và 2m + 1 (m ∈ N) đồng thời là hai số chính phơng Chứng

minh rằng m chia hết cho 24

Với bài này bớc đầu học sinh phân tích sâu về giả thiết cho m + 1 và 2m + 1

Mà: số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1

Hay: a2 chia cho 3 phải d 1, b2 chia cho 3 phải d 1

Lại có: a2 + b2 = (m + 1) + ( 2m + 1) = 3m + 2 chia cho 3 d 2

Mà : Số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1

Suy ra: a2 chia cho 3 phải d 1, b2 chia cho 3 phải d 1

Xét : (2m + 1) - (m + 1) = a2 - b2

M 3 hay m M 3 (**)

Từ (*) và (**) suy ra m M 24 ( vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng mọi số lẻ đều viết đợc dới dạng hiệu của hai số chính

phơng

Sau khi làm bài toán 1 thì bài toán này cũng đợc khá nhiều học sinh phân tích một cách tự nhiên nh sau

? Số lẻ là gì, cấu trúc và các cách viết tổng quát nh thế nào

Số lẻ có thể viết dới dạng 2n + 1 với n ∈ N

Số lẻ có thể viết dới dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3 với n ∈ N……

Tuỳ theo từng đề bài mà việc lựa chọn cấu trúc viết sao cho phù hợp nhất Trong bài này ta có thể thấy

+ Nếu viết dới dạng 2n + 1 thì

2n + 1 = n2 + 2n + 1 - n2 = ( n + 1)2- n2

( với mỗi giá trị của n cho ta một số lẻ bất kỳ)

Nếu viết dới dạng 4n + 1 thì

+ 4n + 1 = 4n2 + 4n + 1 - 4n2 = (2n + 1)2 - (2n)2

Nếu viết dới dạng 4n + 3 thì

4n + 3 = (4n2 + 8n + 4) – (4n2 + 4n + 1)= (2n + 2)2 - (2n + 1)2

( với mỗi giá trị của n cho ta hai số lẻ liên tiếp bất kỳ)

Nh vậy bài này theo học sinh có thể viết bằng một trong hai cách trên ta

đều giải đợc, song thực tế cho thấy viết theo cách một cha thực sự chặt chẽ (theo phơng pháp quy nạp) do không thể hiện đợc sự liên tục tại cùng một thời điểm, một giá trị của n chỉ đa ra đợc một số thoả mãn còn cách hai đẫ thể hiện đợc tính liên tục Học sinh thờng mất điểm ở chi tiết này

Lời giải chi tiết

Ta có: Mọi số lẻ đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3 với mọi n∈ N

Ví dụ 3: Cho 5 số chính phơng bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số

hàng đơn vị đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phơng đó là một số chính phơng

Có thể nói đây là một bài toán khá khó với nhiều học sinh vì có quá nhiều

số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 và không biết mỗi số chính phơng có bao nhiêu chữ số , làm các em “ bí” trong việc tìm chữ số hàng chục của 5 số…chính phơng bất kỳ Song sau khi học sinh đợc tiếp cận với chuyên đề thì bài toán này thật đơn giản, các em dựa vào những kiến thức về số chính phơng có chữ số tận cùng là 6 để giải

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Một số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó

là số lẻ

CM : Giả sử số chính phơng B = a2 có chữ số tận cùng là 6

Suy ra: Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hoặc 6

Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 4 hay số a có dạng m4

Suy ra: Số B có chữ số hàng chục là số lẻ

Nếu : Chữ số hàng đơn vị của a là 6 ( chứng minh tơng tự)

Suy ra: Chữ số hàng chục của 5 số chính phơng bất kỳ đã cho là 1, 3, 5, 7, 9

Mà : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phơng

Cách 2:

Ta có: Một số chính phơng M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là số chẵn

tích x.y cũng là tổng của hai số chính phơng.

Bài 4: Chứng minh rằng một số chính phơng không thể viết dới dạng 4n + 2 hoặc

+ Giáo viên cần linh hoạt trong việc tách ý, tách nội dung nh phần tìm ra cấu trúc của mỗi số, mỗi biểu thức, phần biến đổi biểu thức và liên kết với các tính chất , dấu hiệu của số chính phơng, phần biện luận …

+ Với bài có chứa luỹ thừa bậc cao, luỹ thừa tầng, biểu thức có cấu trúc phức tạp, bài toán có câu hỏi lạ, Giáo viên cần phân tích thật sâu sắc từng chi…tiết, từng nội dung một cách tự nhiên có thể hiện tính kế thừa giữa kiến thức học trớc với các kiến thức học sau, đặc biệt là hệ thống lý thuyết trọng tâm đã đợc trình bày trong chuyên đề, không đợc áp đặt học sinh phải công nhận những đơn

vị kiến thức “lạ” làm cho các em thấy “sợ” khi học tập về dạng toán này

+ Giáo viên cần tổng hợp tốt các phơng pháp dạy học để truyền đạt các đơn

vị kiến thức một cách nhẹ nhàng, đồng thời có những lúc cần cho các em kiểm nghiệm nội dung đó bằng phép thử lại hoặc vào thực tiễn cuộc sống

+ Học sinh cần tập trung cao trong quá trình học tập không để cảm giác “lo lắng quá” trong quá trình học để biết tích hợp, liên hệ các kiến thức cũ và mới, giữa câu trớc và câu sau một cách linh hoạt Đặc biệt phải rèn kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ hai chiều hoặc sơ đồ cây Để làm tốt

điều đó yêu cầu các em phải nắm chắc, hiểu sâu sắc lý thuyết trọng tâm, lý thuyết

bổ sung của từng phần, từng mục, nhất là các điểm nhấn, các chú ý của giáo viên

về lý thuyết bổ sung, về phơng pháp để áp dụng vào giải bài tập

IV Kết quả

Qua việc chọn lọc, sắp xếp hệ thống và phân loại nh trên đã trình bầy, tôi thấy khả năng phát hiện, tổng hợp kiến thức lí thuyết, phán đoán tìm lời giải của học sinh có tốt hơn Các em hào hứng, say mê học tập và chịu khó nghiên cứu, t duy lôgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tơng tự

Cụ thể qua kiểm tra học sinh lớp 8A năm học 2010 – 2011 (với 42 học sinh) trờng THCS Phùng Hng, tôi thu đợc kết quả nh sau:

Xếp loại Trớc khi dạy thực nghiệm Sau khi dạy thực nghiệm

Chỉ áp dụng đối với học sinh trung bình, khá, giỏi

* Với giáo viên

+, Thời gian đầu t còn cha nhiều +, Khả năng phân loại, tổng hợp có thể còn cha thật phù hợp, cha khoa học

VI Điều kiện áp dụng

Chuyên đề này có thể tuỳ theo mức độ yêu cầu, đối tợng học sinh mà giáo viên có thể sử dụng toàn bộ hay ít nhiều.

Còn đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ kiến thức cho các em chính là một số kỹ năng, phơng pháp là cần thiết và rất có ích cho các em khi học phần số chính phơng ở lớp 7 và các lớp tiếp theo sau này

VII Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu.

Khi chọn lọc, hệ thống, phân loại và dạy theo chuyên đề trên tôi thấy các

em say mê hơn, hào hứng hơn Loại toán trên giúp các em phát triển t duy lôgíc cũng nh khả năng phân tích tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt khi làm toán Tuy nhiên vì thời gian hạn chế, kinh nghiệm của tôi còn cha nhiều nên sự phân loại, hệ thống bài tập ( dạng, loại) cha thật sâu Đó là vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong quá trình giảng dạy của tôi

C Kết luận

Qua thực tế giảng dạy môn toán ở cấp trung học cơ sở suốt một quá trình,

đợc làm quen và tiếp xúc với học sinh, bản thân tôi rút ra đợc một số điều quan trọng khi nghiên cứu về mảng kiến thức “ Số chính phơng”

Đây là một trong những bài toán phức tạp, cần có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết khá linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề

đợc Bởi thế trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh bản thân mỗi giáo viên phải trang bị thật chu đáo, tỷ mỉ, rõ ràng từng đơn vị kiến thức cơ bản, từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và vận dụng tốt để giải toán

Xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập Trân trọng những suy nghĩ, những ý kiến phát biểu và những sáng tạo dù rằng rất nhỏ của các em

để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích hứng thú học tập và khả năng tự nghiên cứu tìm tòi của các em

Giáo viên thờng xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em qua các kỳ, bổ sung những thiếu sót, những sai lầm, lệch lạc về kiến thức để các em rút kinh nghiệm Phải có kế hoạch phân chia thành từng dạng loại cụ thể, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgíc giữa các dạng bài khác nhau

Nghiên cứu về giải toán “Số chính phơng” tôi hy vọng nó là cơ sở, là động lực giúp cho bản thân có thêm những hiểu biết mới Đồng thời giúp các bạn đồng nghiệp, các em học sinh yêu thích và tự tin hơn khi gặp các bài toán có liên quan

đến số chính phơng và có đợc nhiều kinh nghiệm, nhiều ứng dụng trong thực tế.

Trên đây là những ý tởng, kinh nghiệm của tôi về giải toán “Số chính

ph-ơng” Trong quá trình thực hiện, không thể tránh khỏi những thiếu xót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về những kiến thức khoa học Vì vậy, tôi rất mong nhận

đợc sự đóng góp chân thành của hội đồng xét duyệt sáng kiến, của bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm này của tôi đợc hoàn thiện hơn nữa.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phùng Hng, ngày 10 tháng 01 năm 2011

Ngời viết

Nguyễn Văn Tân

Tài liệu tham khảo

Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6

Toán nâng cao và các chuyên đề toán 7

Toán nâng cao và các chuyên đề toán 8

Toán nâng cao đại số 8

Toán bồi dỡng lớp 8

Báo toán học và tuổi trẻ

Tuyển tập toán học và tuổi trẻ

Toán nâng cao lớp 9

Toán bồi dơng lớp 9

23 chuyên đề toán sơ cấp (1001 bài toán ) …

NXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dụcNXB giáo dục

Dạng 2: Một số bài tập về sự tơng giao của hai hay nhiều đờng thẳng

2.1.Bài tập về chứng minh sự đồng quy của các đờng thẳng

2.2 Bài tập về tìm giá trị của tham số để các đờng thẳng

2.3 Bài tập về tính chu vi, diện tích, góc trong của tam giác tạo bởi

các đồ thị hàm số với trục toạ độ

Dạng 3: Điểm cố định mà đờng thẳng luôn đi qua

5

121215

192325

31

V.Vấn đề còn hạn chế

VI.Điều kiện áp dụng

VII.Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu

C.Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mục lục

39394040414243

Nhận xét đánh giá của tổ chuyên môn

3.2 Lí thuyết bổ sung và một số đơn vị kiến thức có liên quan.

a Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB;yB) y

+ Khoảng cách từ điểm A đến trục tung Oy bằng x A

b Gọi H(xH; yH) là trung điểm của đoạn AB Ta có: 2

+ Nếu

0

m A m m

Bớc 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức theo định nghĩa và thu gọn

biểu thức ( nếu có từ hai biểu thức chứa giá trị tuyệt đối thì sử dụng lập bảng)

Bớc 2: Viết lại hàm số dới dạng đã bỏ dấu giá trị tuyệt đối và kèm theo

điều kiện của biến

Bớc 3: Vẽ đồ thị các hàm số thu đợc sau việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên

cùng một hệ trục toạ độ

Bớc 4: Xét các điểm tơng giao của hai đồ thị (với những hàm số có từ 2 giá

trị tuyệt đối trở lên và xét liên tục theo khoản giá trị của x), sau đó kẻ đờng thẳng

đi qua hoành độ giao điểm đó để tìm ra những phần đồ thị thoả mãn

Bớc 5: Kết luận đồ thị của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối ban đầu.

Bài toán 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x− 3

Lúc đầu chỉ với lí thuyết cơ bản về vẽ đồ thị hàm số y = ax + b thì việc vẽ

đợc đồ thị hàm số y = 2x− 3 lại là cả một vấn đề với các em học sinh Có lẽ các

em cũng chỉ nghĩ tới việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối sau đó vẽ đồ thị của hàm số y=2x – 3 và y = - 2x + 3 trên hai hệ trục toạ độ hoặc trên một trục toạ độ, còn việc quan trọng là hiểu đợc bản chất của bài toán để kết luận đợc đồ thịc của hàm

số y = 2x− 3 là gì? Nhng sau khi tôi dẫn dắt các em làm quen và tiếp cận các

b-ớc giải thì bài toán trở lên rất đơn giản

y = - 2x + 3

y = 2x - 3

-3 -2 -1

1 2 3

A

O

B

E C

x y

Hoành độ giao điểm của đờng thẳng y = 2x - 3 và đờng thẳng y = - 2x + 3 là nghiệm của phơng trình:

2x – 3 = - 2x + 3 ⇔ 4x = 6 ⇔ x = 3

2 khi đó y = 0(Trong bài này giao điểm của đờng thẳng y = 2x - 3 và đờng thẳng y = - 2x + 3 chính là điểm B hay điểm D)

Vậy: Đồ thị hàm số y = 2x− 3 là đờng gấp khúc CBE ( nhận cả điểm B).

Bài toán 2: Vẽ đồ thị ham số: y = 2x− 3 - x− 2

Bài toán này đã thực sự thử thách nhiều học sinh khi các em chỉ đợc tiếp cận các bớc vẽ cơ bản về đồ thị hàm số y = ax + b Một số em học khá suy nghĩ rồi cũng đi đến bỏ dấu giá trị tuyệt đối, có những em không đợc tiếp cận nhiều về giá trị tuyệt đối sẽ xét thiếu trờng hợp, còn những em xét đủ các trờng hợp thì vẫn vớng mắc ở khâu vẽ Học sinh tự hỏi?

? Vẽ hàm số nào trong các trờng hợp trên hay vẽ tất

? Vẽ trên một hệ trục toạ độ hay mỗi hàm số vẽ trên một hệ trục

? Vẽ song thì đã kết thúc cha

………

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy các em thờng vẽ mỗi hàm số trên một hệ trục toạ độ và không kết luận đồ thị của hàm số ban đầu Khi đó tôi hớng các em tiếp cận phơng pháp giải dạng toán này và các em đã giải bài toán này một cách

C

D B G

3 2 1

O -3 -2 -1

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3

x y

Gọi điểm G là giao điểm của đờng thẳng y = - x + 1 với đờng thẳng y = 3x – 5Hoành độ điểm G là nghiệm của phơng trình