tìm TGT của hai hàm số đặc biệt

Suy ra hàm số có tập xác định là R.. Với mỗi x  R ta sẽ có một giá trị của y t-ơng ứng; nh- vậy ph-ơng trình 1 luôn có nghiêm x với những giá trị của y thích hợp mà ta sẽ tìm sau này.

Tìm tập giá trị của hàm số không cần sử dụng đạo hàm Doãn Xuân Huy , giáo viên tr-ờng THPT Ân Thi,Hưng Yờn

Ta có thể tìm tập giá trị (TGT) của hai loại hàm số sau mà không cần sử dụng tới phép toán đạo hàm: Hàm số thứ nhất:

2 2

y

 



  (1) với

2 2 2

và   b '2 4 ' ' a c  0 Hàm số thứ hai:

y



với a2  b2  c2  0 & 0  a '2 b '2  c '2

1/ Với hàm số thứ nhất, do   b '2 4 ' ' a c  0 và a '  0 nên a x ' 2  b x '   c ' 0

Với   x R Suy ra hàm số có tập xác định là R

Với mỗi x  R ta sẽ có một giá trị của y t-ơng ứng; nh- vậy ph-ơng trình (1) luôn có nghiêm x với những giá trị của y thích hợp mà ta sẽ tìm sau này

Ta có (1)  ( ya '  a x ) 2  ( yb '  b x )  yc '   c 0 (2)

Vì a2  b2  c2  0 nên ta có 3 tr-ờng hợp sau:

Trừơng hợp 1:

' ' '

c

(2) trở thành: ya x ' 2  yb x '  yc '   c 0 (3) (3) có nghiệm

1 y b ' 4 ya yc '( ' c ) y y b  ( ' 4 ' ') a c 4 ' a c  y y ( 4 ' ) a c 0

0    y a c   G  0;  a c 

       

Tr-ờng hợp 2:

Với a  0; b  0 (1) trở thành: 2

' ' '

y





(2) trở thành: ya x ' 2  ( yb '  b x )  yc '   c 0 (4)

a/ y=0 khi c

x

b

  b/ Nếu y  0 thì (4) có nghiệm khi và chỉ khi

1

( ) 0( ' 2 ' )

o giả thiết   b '2 4 ' ' a c  0 nên  3' D12    b2 0 do đó ph-ơng trình f y ( )  0

Có hai nghiệm

1 D D b , 2 D D b ; 2 ( ) 0 1 2

Do 2  

Tr-ờng hợp 3:

 

a/ Nếu

 

       

 

y



    

  theo tr-ờng hợp 1 ta có:

+/ Nếu a’ c > ac’ thì 4( ' ')

; ' '

G

a a





+/ Nếu a’ c<ac’ thì 4( ' ')

;

G





c/ Nếu

' '

a  b , theo tr-ờng hợp 2; trong (5) ta đặt ' ' ' '

;

1; 2

    

  với b và c trong th-ờng hợp 2 đ-ợc thay t-ơng ứng bằng B và C

2/ Với hàm số thứ hai, từ điều kiện ta suy ra mẫu số khác 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là

R

Với mỗi giá trị của x ta sẽ nhận đ-ợc một giá trị t-ơng ứng của y nên ph-ơng trình (I) luôn có nghiệm

với những giá trị thích hợp của y mà ta sẽ tìm sau này

Ta có: ( ) I  ( ' a y  a )sin x  ( ' b y b cosx  )   c c y II ' ( ) Vì (II) có nghiệm nên:

( ' a y  a )  ( ' b y b  )   ( c c y ' )  f y ( )   ( c c y ' )   ( b b y ' )   ( a a y ' )  0

Từ giả thiết: 0  a '2 b '2  c '2  c '2 a '2 b '2  0 & ' c  0.

Do ( '2 '2 ' ) ( )2 ( '2 '2 ' )2 ( ' )2 ( ' )2 0

Nên tam thức f(y) có hai nghệm:

(III) có nghiệm là: y1   y y2   G  y y1; 2

Rõ ràng nếu sử dụng đạo hàm thì ta không thể tìm đ-ợc TGT của hai hàm số tổng quát trên Qua đó ta

có thể thấy với một ph-ơng tiện bình th-ờng nh-ng hợp lý ta vẫn đạt đ-ợc những kết quả lớn Ân Thi ngày 15/4/2003

&

( ' ' ' ; ' ( ' ') ( ' ') ( ' ') )