Hướng dẫn chung 1 Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong ựáp án nhưng ựúng thì cho ựủ số ựiểm từng phần như hướng dẫn quy ựịnh.. 2 Việc chi tiết hóa nếu có thang ựiểm trong hướn
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ đÀO TẠO
đỒNG THÁP
-
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
-
HƯỚNG DẪN CHẤM đỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm và biểu ựiểm gồm có 05 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong ựáp án nhưng ựúng thì cho ựủ số ựiểm từng phần như hướng dẫn quy ựịnh
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang ựiểm trong hướng dẫn chấm phải bảo ựảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải ựược thống nhất thực hiện trong tổ chấm
II đáp án và thang ựiểm
Câu 1 Giải phương trình: x4 −x2 +4 + x4 +20x2 +4 =7x (1) 3ự
Ớ điều kiện: x 0≥
Ớ Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (1)
Ớ Với x 0> , chia cả hai vế của phương trình (1) cho x , ta ựược phương trình
2 −1+ 42 + 2 +20+ 42 =7
x
x x
đặt 2 42
x x
t = + , ựiều kiện t ≥4, phương trình (2) trở thành
t−1+ + t+20 =7
⇔ t2 +19t−20 =15−t
( )
t 15
2 2
t 19t 20 15 t
≤
⇔ t =5
Ớ Với t 5= ta ựược: 2 + 42 =5
x
x ⇔ x4 −5x2 +4=0
2 2
=
⇔ = ⇔ = ổ = ổxx 12
Ớ Do ựiều kiện x 0> nên phương trình (1) chỉ nhận các nghiệm là x 1;x 2= =
Ớ Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2= =
0.5
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
Câu 2 Cho tam giác ABC có ba góc ựều nhọn Gọi AE, BF, CK là ba chiều cao và H là trực tâm
của tam giác ABC Biết AE = 3, CR = 2 2 và BH = 5HF Chứng minh ABC 45= 0
3ự
3
b
c
a
H
K
E
A
B
2 2
Ớ Gọi ựộ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lượt là a, b, c
Ta có AE.BC = CK.AB ⇔3 =a 2 2.c
Ớ Theo ựịnh lý sin ta có
C
c A
a
sin
C
A sin
3 sin
2 2
= (1)
0.25 0.25
Trang 2• Theo giả thiết ta có BH =5HF ⇒BF =6HF
Mặt khác AF = BF.cotA
AF = HF.cotEAC= HF.cot
− C
2
π
= HF.tanC ⇒ 6.cotA = tanC ⇔ 6cotA.cotC = 1 (2)
• Từ (1) ⇔
A
2 sin
8 sin
9
= ⇔9(1+cot2C) (=81+cot2 A) (3)
• Từ (2) và (3) ⇒32cot4 A−4cot2 A−1=0
Vì cotA > 0 nên
2
1 cotA= và
3
1 cotC =
cot cot
cot cot 1 ) cot(
+
−
= +
−
=
C A
C A C
A B
• Vậy ABC 45= 0 (ñpcm)
0.5 0.5 0.25 0.5
0.5 0.25
Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
2x2+3y2−5xy 3x 2y 3 0+ − − = (1)
3ñ
• Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai ñối với x:
(1) ⇔ 2x2 + ( 3 5y x 3y − ) + 2− 2y 3 0 − =
• ðể có x nguyên thì ñiều kiện cần là
( )2 ( 2 ) 2 2
là số chính phương (k nguyên, không âm)
• Lại xem y 14y 33 k2− + − 2 =0 là phương trình bậc hai ñối với y ðể có y nguyên
thì ñiều kiện cần là:
δ =' 49 33 k−( − 2)=16 k+ 2 =m2
là một số chính phương (m nguyên dương)
Do m2 −k2 =16⇔(m k m k+ )( − )=16 và 16 8.2 4.4 16.1= = =
nên ta suy ra ñược
• Trường hợp 1: {m k 8 {m 5
m k 2+ =− = ⇔ k 3== Suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ) (x;y = 15;12 , 1;2) ( )
• Trường hợp 2: {m k 4 {m 4
m k 4+ =− = ⇔ k 0== Suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ) ( x;y = 13;11 , 3;3 ) ( )
• Trường hợp 3: {m k 16 m 17
2
2
=
(loại)
• Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là ( ) (x;y = 15;12 , 1;2 , 13;11 , 3;3) ( ) ( ) ( )
0.5
0.5
0.5 0.25
0.5
0.5
0.25
Câu 4
Cho dãy số (un) xác ñịnh bởi
1
1 1
1
n 2 3
−
−
=
n n n
u u u u
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (un)
3ñ
Sử dụng các dãy phụ ñể chuyển dãy ñã cho về dãy xác ñịnh một cấp số nhân, khi ñó
áp dụng công thức
Trang 3• ðặt un =xn+2, thay vào công thức truy hồi ta ñược
( n 1 ) n 1
+ +
• Suy ra: n 1
x 2x− − 2 2x −
+
= = + (1)
• Ta lại ñặt n
n
1 y x
= , thay vào (1) ta ñược yn 5yn 1 1 yn 1 5 yn 1 1
• Tiếp tục ñặt: vn yn 1
3
3
= − và vn 5vn 1
2 −
= ,∀ ≥n 2
• Suy ra dãy ( )vn là một CSN có công bội q 5
2
= Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của một CSN ta ñược
n 1
n 1
n 1
2 5
v v q
3 2
−
, ∀ ≥n 2
Từ ñó ta sẽ ñược
+
− −
• Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là
n 1 n 1
n n 1 n 1
4.5 2 u
− −
− −
−
=
+
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
n
m x x n
m
) 1 (
+
−
với m,n∈N* và 2 m n< < Chứng minh rằng trong khai triển hệ số của x m bằng C n m−2
2ñ
n n
n n n
x C x
C x C C
1
Suy ra hệ số của x m trong khai triển x n
n
m x x n
m
) 1 (
+
− +
−
là
m n m n m C n m
n
m C
C n
m
−
1 − +
−
n k
k
k n
2 −2 + −1− − +1 −1
−
n m
n m n
m
m n n
m C
C n
m A
2 −2 + −1 −1
−
n m
n
m C
n m
1
1 ) 1 ( 1
−
+
−
−
− +
−
n m
m
m n n
m C
n
m
=Cm 2n− (ñpcm)
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu 6 Cho hai số dương x, y thỏa mãn ñiều kiện x y 4+ =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
= + + + + +
3ñ
• Theo bất ñẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
Trang 4
1 y 1 3 7 3 7 3 3 1 y7 7 1 2( )
• Cộng từng vế của (1), (2), ta có
• Mặt khác ta lại có (x y) 1 1 4 xy 1 4 1 1 4
+
Theo giả thiết a b 4+ = nên
2 3
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
1 7
1 x
x 2
1 y
y 2
x y
x y 4
+ + =
+ + =
=
+ =
• Vậy min S 343
4
=
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 7
Trên mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) : 1
16 25
2 2
= + y
x
có hai tiêu ñiểm F và 1 F 2
M là một ñiểm di ñộng trên elip (E) Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác MF1F2
Tìm quỹ tích ñiểm I
3ñ
K H I M
x y
a
F 2
F 1
O
• Theo giả thiết ta có a=5 , b=4⇒c=3
Gọi M(x0;y0) là ñiểm di ñộng trên elip
I(x;y) là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác MF1F2
• Dựng IH ⊥Ox , MK ⊥Ox
Gọi p là nửa chu vi tam giác MF1F2 , ta có
2
1 2
1
2 1 2
p
(1)
Mà HF = x H −x F =x+c
1
1 (2)
• Từ (1) và (2)
3
5 0
0
x c
ax x x a
c c c
⇒
0.25
0.5
0.5
0.5
Trang 5• Ta có
3
8 2
0 0
2
y c
c a y c a
cy y p
MK F F p
S IH
+
=
⇒
=
=
=
16 3 8 25
3
5 1 16 25
2 2
2 0 2
+
⇒
= +
y x
y x
• Suy ra quỹ tích ñiểm I là elip có phương trình 1
9
4 9
2 2
= + y
x
0.5
0.5
0.25
-Hết -