Đáp án + Đề thi thử môn Toán khối B của ĐH Quốc gia Hà Nội

Chứng minh rằng với mọi gía trị của m ,đường thẳng y=m cắt C tại hai điểm phân biệt A ,B .Xác định giá trị của m để độ dài đoạn AB ngắn nhất.. Kẻ đường cao SH của hình chóp.. Chứng tỏ rằ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI –KHỐI B

CÂU I:

1 Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số :

2

1 1

y

x



Gọi đồ thị là (C)

2 Chứng minh rằng với mọi gía trị của m ,đường thẳng y=m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A ,B Xác định giá trị của

m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

CÂU II:

Giải các phương trình sau đây:

1 4x 1 4x2 1 1

2 sin 3 x  cos cos 2 ( x x tg x tg x2  2 )

3 P A x x2726(A x22 )P x

Trong đó Px là số hoán vị của x phần tử

A x2 Là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử ( x là số nguyên , dương)

CÂU III:

1 Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

P=x(1-x)(x-3)(4-x)

2 Tìm họ nguyên hàm : cot

I  tg x       g x       dx



CÂU IV:

Cho hình chóp S.ABC đỉnh S , đáy là tam giác cân AB=AC=3a , BC=2a Biết rằng các mặt bên (SAB) ,(SBC) ,(SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60

Kẻ đường cao SH của hình chóp

1 Chứng tỏ rằng H là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC và SABC

2 Tính thể tích hình chóp

CÂU V:

Cho các số a ,b ,c kháckhông thoả mãn 0

7 5 3

Chứng minh rằng đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c luôn cắt trục hoành Ox tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc khoảng (0 ,1)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI – Khối B

Câu I:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

2

x 1





 TXD: D = R\{1}

2 2

x 2 x 2

(x 1)



 Hàm số giảm trong từng khoảng xác định

 Tiệm cận đứng:

x = 1 vì

1

lim y

x  

Chia tử cho mẫu: y x 1

x 1

  



 Tiệm cận xiên:

Ta có: y = - x vì lim 1

x 1

x 

 BBT:

 Đồ thị:

2) Chứng minh rằng  đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Xác định m để độ dài đoạn

AB ngắn nhất

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2 2

2

x x 1

m

x 1

x x 1 m x m

x (m 1) x m 1 0 (m 1) 4(m 1) m 2 m 5 (m 1) 4 0, m

  





 Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B, m

Ta có:

A B (x x ) (y y ) (x x ) 0

x x 2 x x

S -2P-2P=S -4P

 Mà:

b

m 1 a

c

m 1 a

S P

2

Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1

Câu II:

1) Giải phương trình: 4x-1 4 x2 1 1

 Điều kiện:

2

1 x

4 x 1 0

1 x 2







 



 



 Xem hàm: f(x) 4 x 1  4 x21 (  1)

với x

2

2

   f(x) tăng khi 1

x 2

Mặt khác: ( ) f(x)=1=f 1

2

 

  Phương trình

Do đó phương trình có đúng một nghiệm x 1

2

 2) Giải phương trình: sin3x = cosxcos2x(tg2x + tg2x)

 Điều kiện

x

x

k

















 Khi đó:

Phương trình

2 2

sin x sin 2 x sin 3 x cos x cos 2 x

cos 2 x cos x

2

2

sin x sin 3 x cos 2 x cos x sin 2 x

cos x

sin 3 x cos x cos 2 x sin x sin 2 x cos x

2 sin 3 x cos x (2 cos 2 x sin x) sin x (2sin 2 x cos x) cos x

2 sin 3 x cos x (sin 3 x sin x) sin x (sin 3 x sin x) cos x sin 3 x cos x sin 3 x sin x sin x sin x cos x

sin

 3 x(cos x sin x) sin x(sin x cos x)

sin 3 x sin x sin 3 x sin x

4

k k k



















loại nhận loại

Đáp số: x  k  ( k  Z )

3) Giải: P Ax 2x726(A2x2P )x

Điều kiện: x  2, x  Z

Khi đó: Phương trình P Ax 2x726 A2x12Px

2 x x

(x 1) x 12 x!=6

 







 







Câu III:

1) Tìm x để P = x(1 – x)(x – 3)( 4 – x) nhỏ nhất

Ta có: P = x(4 – x)(1 – x)(x – 3)

=(4x – x2)(4x – x2- 3)

Cách 1:

Đặt t = 4x – x2 = 4 – (x – 2)2 ≤ 4

Khi đó P = t(t – 3)= t2 – 3t

P' = 2t 3, P' = 0 t =

2 Bảng biến thiên:

Vậy: MinP 9 t 3

   

2

2

3

4 x x

2

2 x 8 x 3 0

x 2



Cách 2:

2 2

(4 x x ) 3(4 x x )

4 x x

Vậy: MinP 9 4 x x2 3 0

x

2



Tìm họ nguyên hàm: I tg x cotg x d x



Ta có: I tg x cotg x d x

 Mặt khác:

tg a tg b tg(a b)

1 tg a tg b

tg a tg b

tg a tg b 1

tg(a b)









Vậy:

2 tg 3





3

3 cos x

3







 



Câu V:

S

A

B

M

C

H P

N

1) H là tâm đường tròn nội tiếp  ABC

SH BC

vẽ

ta có



 Góc của (SBC) và (ABC) là SMH = 600

Tương tự vẽ HNAB; HPAC thì góc   0

SNH=SPH=60

 SHM = SHN = SHP  HM = HN = HP

 H là tâm đường tròn nội tiếp ABC

ABC cân  HAM với MI là trung điểm BC

Ta có AM BC và SH  BC BC(SAM) BC  SA 2) VABC= S1 ABC.SH=1AM.BC.SH

Ta có: AM = 9a2  a2  2 a 2

2 ABC

S = AM.BC= 2a 2.2a=2a 2



Mà: SABC= p r  r  SABC

HM

r

SHM có SH (2HM) 3 a 6

Vậy VS.ABC 1 2 a 2.2 a a 6 2 a 3 3

Câu VI:

Cho a, b, c ≠ 0 và a b c 0

753 Chứng minh (C): y=ax4 + bx2 + c luôn cắt Ox tại ít nhất 1 điểm có hoành độ  (0, 1) Xem hàm số:

f(x)

 f liên tục trên [0, 1] và khả vi trên (0, 1) nên theo định lý Lagrange ta có:

x0  (0, 1) sao cho:

f(1)-f(0) f''(x)=

1 0

 Phương trình ax4 + bx2 + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm  (0, 1)

 (C) cắt (0x) tại ít nhất 1 điểm có hoành độ  (0, 1)