Chuyên đề Sự tương giao giữa 2 đồ thị

Khi đó, ta có kết luận quan trọng sau đây: Số nghiệm của phương trình * lĩnh vực giải tích đúng bằng số điểm chung giữa C và C’ lĩnh vực hình học.. Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập t

Chuyê n đê 4 SỰ TỰƠNG GIAO GIỰ A HAI ĐO THI HA M SO

I Tóm tắt lí thuyết

Cho hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Khi đó, ta có kết luận quan trọng sau đây: Số nghiệm của phương trình (*) (lĩnh vực giải tích) đúng bằng số điểm chung giữa (C) và (C’) (lĩnh vực hình học)

Trong thực hành giải toán, hai lĩnh vực này thường bổ sung cho nhau Cụ thể: để giải quyết lĩnh vực giải tích, ta sử dụng công cụ hình học; còn để giải quyết lĩnh vực hình học, ta sử dụng công cụ giải tích

II Bài tập

Phần I Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị

Phương pháp giải

- B1 Viết phương trình hoành độ giao điểm

- B2 Dựa vào giả thiết để đặt điều kiện cho pt hđgđ

- B3 Giải điều kiện ở B2

Bài 1 Cho (C): y = x3 – 3x + 2 Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và

có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 2 Cho (C): y = x3 – 3x2 + 4 Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có

hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB

Bài 3 Cho (Cm): y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2

Bài 4 Cho ( ) : 1

2 1

x

C y

x

 



 Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m – 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C)

Bài 5 Cho ( ) : 2x+1

1

C y

x



 Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho SOAB  3

Bài 6 Cho hàm số (C):y  x3 3mx2 mx và đường thẳng d: y = x + 2 Tìm m để (C) cắt đường thẳng d:

a Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

b Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 2x – 12 cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

Bài 8 Cho (Cm): y = x4 + 2mx2 – 2m – 1 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng

Bài 9 Cho (Cm): 4   2

y  x  m x  m

a Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

b Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

Bài 10 Cho (C m ): y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 thỏa x12 + x22 + x32 < 4

Phần II Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Bài 11 Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x Biện luận số nghiệm của pt: x3 – 6x2 + 9x + m = 0

Bài 12 Cho (C): 1 3 3 2 5

y  x  x  Tìm m để phương trình x3 – 6x +

m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 13 Cho hàm số y = – x3 +3x2 Tìm m để phường trình – x3 +3x2 +

m3 –3m2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

III Bài giải

Phần I Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị

Bài 1 Cho (C): y = x3 – 3x + 2 Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và

có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài giải

 d có dạng: y = m(x – 3) + 20 y = mx – 3m + 20

 Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và d:

x3 – 3x + 2 = mx – 3m + 20 x3 – (3 + m)x + 3m – 18 = 0

(x – 3)(x2 + 3x – m + 6) = 0 3 2

x







 d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt pt(*) có 2 nghiệm phân biệt khác 3

15

4

25

m



    

Kết luận: 15 25

4  m

Bài 2 Cho (C): y = x3 – 3x2 + 4 Cmr mọi đường thẳng qua I(1;2) có

hệ số góc k (k > -3) đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB

Bài giải

 Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k d: y = k(x – 1) +

2 y = kx – k + 2

 Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

x3 – 3x2 + 4 = kx – k + 2 (1) x3 – 3x2 – kx + k + 2 = 0

(x – 1)(x2 – 2x – 2 – k) = 0

2

1

x







 Xét f(x) = x2 – 2x – 2 – k với k > -3, có:

f(1) = - 3 – k 0

’ = 1 + 2 + k = 3 + k > 0

Suy ra pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 (1) có 3 nghiệm phân biệt Do đó d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

 Ta có A(x1;y1), B(x2;y2) với x1, x2 là các nghiệm của (2)

y1 = kx1 – k + 2

y2 = kx2 – k + 2

1 2

1 2

1

2

I

I

x

y

Vậy I là trung điểm AB

Bài 3 Cho (Cm): y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = -1 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2

Bài giải

 Phương trình hoành độ giao điểm: x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 (1)

2

t2 – (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 (2) 1

t

t m





   

 (Cm) cắt d tại 4 điểm có hoành độ < 2 (1) có 4 nghiệm < 2

(2) có 2 nghiệm phân biệt dương, và < 4

1

1

0

m m

m

m

  



 

 Kết luận: Giá trị m cần tìm:

1

1 3

0

m m

  





 



Bài 4 Cho ( ) : 1

2 1

x

C y

x

 



 Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m – 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh của (C)

Bài giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

1

2x 1

2

x

x

  

2

( ) 2 (5 1) 2 2 0 (*)

1 2

x



 

 



Yêu cầu bài toán tương đương pt(*) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

0

x    x x  x  

1 2 1 2

x x x x

0 1

0 3

0

m

m













Bài 5 Cho ( ) : 2x+1

1

C y

x



 Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho SOAB  3

Bài giải

Phương trình đường thẳng d được viết lại: 2x + y – m = 0

| | ( , )

5

m

d O d

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):

2

2x 1

2x

m

  

  

Điều kiện để A, B tồn tại là tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

2 2

Khi đó A(x1;-2x1 + m), B(x2;-2x2 + m) (x1, x2 là các nghiệm của f(x))

AB2 = (x2 – x1)2 + 4(x2 – x1)2 = 5[(x1 + x2)2 – 4x1x2]

2

2

m

Theo giả thiết

1

4

2

4 5 4

m

Bài 6 Cho hàm số (C):y  x3 3mx2 mx và đường thẳng d: y = x + 2 Tìm m để (C) cắt đường thẳng d:

a Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

b Tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân

Bài giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):

x3 – 3mx2 – mx = x + 2 f(x) = x3 – 3mx2 – (m + 1)x – 2 = 0 (1)

a Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC

Gọi xB = x0 thì xA = x0 – a, xC = x0 + a (a 0) (Chú ý: x A , x B , x C lập thành cấp số cộng) Do xA, xB, xC là các nghiệm của (1) nên:

3 2







Lấy (1) + (3) và chú ý (2), ta được

Thay vào (2) ta được

2m m    m 2 0 (m1)(2m  m 2)   0 m 1

Thử lại với m = -1, pt(1) trở thành

x3 + 3x2 – 2 = 0 (x + 1)(x2 + 2x – 2) = 0

1

x

x

 





   



thỏa mãn

Kết luận: m = -1

Cách 2

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C):

x3 – 3mx2 – mx = x + 2 f(x) = x3 – 3mx2 – (m + 1)x – 2 = 0 (1) Theo giả thiết suy ra B là trung điểm của AC

Gọi xA = x1, xB = x2, xC = x3 thì 2x2 = x1 + x3 Do xA, xB, xC là các nghiệm của (1) nên:

f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

Đồng nhất thức (1) và (2) ta được

1 2 2 3 3 1

1 2 3

3 (*)

1 (**)

2 (***)

x x x







(*) 3x2 = 3m x2 = m

Thay vào (1), giải tìm được m = -1

b Gọi 3 hoành độ lập thành CSN theo thứ tự là x1, x2, x3 thì x22 =

x1x3 Do x1, x2, x3 là các nghiệm của (1) nên:

f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1)x – x1x2x3 (2)

Đồng nhất thức (1) và (2) ta được

1 2 2 3 3 1

1 2 3

3 (*)

1 (**)

2 (***)

x x x







(***) x23 = 2 3

x  (**) x1x2 + x2x3 + x22 = - m – 1 x2(x1 + x2 + x3) = - m – 1

3

3

1

3 2 1

 Thử lại, thay giá trị m vào (1) tính nghiệm thấy thỏa mãn

Vậy

3

1

3 2 1

m 



Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 2x – 12 cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

Bài giải

Giải tương tự câu a) bài 6

Bài 8 Cho (Cm): y = x4 + 2mx2 – 2m – 1 Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng

Bài giải

Phương trình hoành độ giao điểm x4 + 2mx2 – 2m – 1 = 0 (1)

Đặt t = x2, (1) trở thành: t2 + 2mt – 2m – 1 = 0 (2)

(Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm pb pt (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < t2

2

1

2

2

m

m











(*)

Khi đó, (1) có 4 nghiệm là  t1, t2 4 nghiệm này lập thành CSC

t  t  t  t  t  t  t t

Ta có

1

2

2

 



  

1 2

2

   





    



Kết luận: có 2 giá trị m thỏa mãn là -5 và -5/9

Bài 9 Cho (Cm): 4   2

y  x  m x  m

a Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

b Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

Bài giải

a Giải tương tự bài 8

b Phương trình hoành độ giao điểm giữa (Cm) và trục hoành:

x  m x  m 

Đặt t = x2 (1) trở thành f(t) = t2 – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)

(t – 1)(t – 2m – 1) = 0

1

t

t m





   

Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 thì pt (2) phải có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn:

1 2

t t

  



   



+) Nhận thấy (*) không thể xảy ra

+) (**) 2m + 1 9 m 4

Bài 10 Cho (C m ): y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 thỏa x12 + x22 + x32 < 4

Bài giải

Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C m ) và Ox:

x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = 0 (1) (x – 1)(x2 – x – m) = 0

2

1

x







Điều kiện x1, x2, x3 tồn tại là (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

1

0 (*) 4

0

m

m



  

Kí hiệu x1 = 1 thì x2, x3 là các nghiệm của (2) Suy ra

x12 + x22 + x32 < 4 x22 + x32 < 3 (x2 + x3)2 – 2x2x3 < 3

1 + 2m < 3 m < 1 (**)

Kết hợp (*) và (**), ta được giá trị cần tìm là

1

1 2

0

m m

  





 



Phần II Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Bài 11 Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x Biện luận số nghiệm của pt: x3 – 6x2 + 9x + m = 0

Bài giải

Ta có x3 – 6x2 + 9x + m = 0 x3 – 6x2 + 9x = - m (*)

(*) chính là pt hoành độ giao điểm giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -m

Căn cứ vào đồ thị ta thấy:

+) 0 0



  : pt có 1 nghiệm



  : pt có 2 nghiệm

+) 0 < -m < 4 -4 < m < 0: pt có 3 nghiệm

Bài 12 Cho (C): 1 3 3 2 5

y  x  x  Tìm m để phương trình x3 – 6x +

m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài giải

Biến đổi phương trình đã cho như sau:

x3 – 6x + m = 0 x3 – 6x = -m 1 3 3 2

m

x  x  

m

(*) là phương trình hoành độ giao điểm giữa

đồ thị (C) và đường thẳng d: 5

4

m

y   

Căn cứ vào đồ thị, suy ra phương trình đã

cho có 3 nghiệm phân biệt khi:

Bài 13 Cho hàm số y = – x3 +3x2 Tìm m để phường trình – x3 +3x2 +

m3 –3m2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài giải

Ta có: – x3 +3x2 + m3 –3m2 = 0 – x3 +3x2 = - m3 + 3m2

Đây là phương trình hoành độ giao điểm

giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - m3 +

3m2 Căn cứ vào đồ thị suy ra giá trị m cần

tìm là: 0 < -m3 + 3m2 < 4

0 2

m m

m

  



 



 

