Tài liệu lượng giác

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Lượng Giác A... GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác B.

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

Lượng Giác

A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1) Hệ thức cơ bản :

2 2 ;

sin α+cos α =1 tan sin cos α α α = ; cot cos sin α α α =

tan cot α α = 1

1 cot tan 1 tan cot α α α α ⎧ = ⎪⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ 12 1 tan2 cos α α = + ;

2 2 1 1 cot sin α α = + 2) Các cung liên kết : A/ Hai cung đối nhau : −x & x , ta có

cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x π − x x π π π B/ Hai cung bù nhau : x & π − , ta có x

x x x x = − = − − = − − = − C/ Hai cung phụ nhau : & 2 x π − : ……… x

D/ Hai cung hơn 2 π : & 2 x π + ……….……… x

……….………

……….………

……….………

Chú ý : ……….………

……….……….…………

……….……….………

Rút gọn các biểu thức sau :

A cos 21π x cos 1000π x( ) cos 2013π x( )

2

B 2cos 12π x( ) 3cos π x( ) 5sin 7π x cot 3π x

⎞

− ⎟

⎠

C 2sin π x sin 5π x( ) sin 3π x cot 5π x

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

B CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :

1/ CÔNG THỨC CỘNG :

………

HỆ QUẢ : sin cos 2 sin 4 cos sin 2 cos 4 a a a a a a π π ⎧ ⎛ ⎞ ± = ⎜ ± ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ± = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ m ………

………

………

………

………

2/ CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI :

3/ Tổng thành Tích : ………

………

………

cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − =

nhận xét : ………

VD : ………

………

………

………

4/ Tích Thành Tổng : 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 α β α β α β α β α β α α β α β α β α β α β α β = + + − = − + − − = + + − = + − − β nhận xét : ………

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

VD :

………

………

………

………

………

5/ Hạ Bậc : 2 1 cos2u sin u 2 = ; 2 1 cos2u cos u 2 = VD : ………

………

………

………

………

C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I/ Phương trình Lượng Giác cơ bản

2 ;

sin sin ( ) 2 u v k u v k u v k π π π = + ⎡ = ⇔ ⎢ = − + ⎣ ∈ Z cos cos 2 2 , ( Z ) u v k u v k u v k π π = + + ⎡ = ⇔ ⎢ = − + ⎣ ∈

tan tan ;( ) cot cot u v u v k k Z u = v ⎫ ⎬ ⇒ = + π ∈ = ⎭ khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp các dạng này v đưa về cos u = cos( v + π ) sin u = − sin v đưa về sin u = sin( ) − v cos u = − cos tan u = − tan v đưa về tan u = tan( ) − v cot u = − cot v đưa về cot u = cot( ) − v

Chú ý 1 : Chú ý 2 : ………

………

………

………

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

………

………

A.Phương trình cơ bản :

1) sin(2 ) 1

x π

− = 2) cos(2 ) 3

x π

− = 3) sin(2 ) 2

x π

− = − 4) sin 5x=sin 3x 5) sin( 20 ) 1

2

o

x+ = 6) 2 1

sin ( )

x−π =

7) tan 3 1

3

x= − 8) tan(3x+12 ) tan 60o = o 9) tan(4 ) 3 0

5

x π + + =

10) sin(2x− =1) sin(x+3) 11) sin3 1

5x = 12) cot 23 x= 1 13) 2sin 7x− 3 0= 14) cos 4x+cos 3x=0 15) sin(2 ) sin

3

x−π = − x

16) sin2x−cos 3x=0 17) cos4x= 18) 2sin 31 x− 3 0=

19) cos 2x=sinx 20) 3 tan 2x− = 21) 3 0 sin(2 ) 1

x π

22) cos 3x−s in4x=0 23) 4sin cos cos 2x x x=1 24) 16sin cos cos 2 cos 4x x x x= 2

25) 2 1

sin 2

4

x= 26) cos (2 x−30 ) 1o = 27) 2 3

cos ( )

x π

− = 28) 2sin( ) 3

3 4

x π

II/ Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :

Dạng : ,

2 2 2 2

.sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0

a x b x c

a x b x c

a x b x c

a x b x c

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

=

= Cách giải : đặt

sin ,( 1 1) cos ,( 1 1) tan ,( ) cot ,( )

⎧

⎪

⎪

⎩

Pt cho sẽ trở thành : a.t2 + b.t c 0 + = ⇒ ⇒ t x

Ví dụ . Giải phương trình: 2 x

cos2x 3cosx 4cos

2

Giải : phương trình đã cho 2

x

1 cos 2

2 2cos x 3cosx 4

2

⎛ ⎞

⎝ ⎠

⇔ − = ⇔2cos x 5cosx 3 02 − − = cosx 1 x 2π k2π (k Z)

B.Đặt ẩn phụ :

1) 2cos2x+3cosx− =5 0 2) 2cos2x+3cosx− = 5 0

3) 4sinx= −4 cos2 x 4) 2sin 22 x−5sin 2x− = 3 0

5) tan2x+2 tanx− =3 0 6) 2cos 2x+cosx=1

7) 2−6sinx.cosx cos 4x= 8) 2cos 52 x−3cos5x+ = 1 0

9) 4cos2x−2( 3 1) cos+ x+ 3 0= 10) tan2x+ −(1 3) tanx− 3 0=

11) 5cos 2sin 3 0

2

x

x− + = 12) cot2x−4cotx+ = 3 0

13) tan4x−4 tan2x+ =3 0 14) cos2x+9cosx+ =5 0

15) −cos2x−sinx− =1 0 16) cos2x sin x 2cos x 1 0+ 2 + + = (CĐ SPHN – 97)

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

sin 2 sin

2

cos x sin x cos 2x

4 + = 19) cos x cos2x4 + + =1 0 20) 4cos x3 +3 2sin x2 =8cos x

4

sin x cos x cos x+ − + sin x− = 0 22) 4(sin x cos x4 + 4 )+cos x sin x4 + 2 =0 (D1 – 2008)

III/ Phương trình đối xứng với sinx và cosx :

a.sinu ± b.cosu = c ; đk có nghiệm :a2 + b2 ≥ c2

Cách giải : chia 2 vế phương trình cho a2+b2

Phương trình cho trở thành : 2a 2 sinu 2b 2 cosu 2 2

Đặt 2a 2 cos 2b 2 sin

Công thức : sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

± = m sau đó giải bình thường tức là sin cos u cos sin u 2c 2 sin( u ) 2c 2

BT 3 : Giải các phương trình LG

1) sinx+ 3cosx 1= 2) cos2x− 3sin2x= 2

3) sin3x cos3x− = 2 4) 3sin3x cos3x 2− =

5)

2

sin cos 3cosx 2

6) 3 sin 2x+cos 2x= 2 (ĐH Huế - KD – 99)

7) cos x2 − 3sin2x 2cosx sin x= + 2

8) cos 7 cos5x x− 3 sin 2x= −1 sin 7 sin 5x x ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96)

9) sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x (CĐ – 2008 ) 10) sin 2 x+ 3 cos 2x=2sinx

x 12) sin 3x−cosx= 3 cos3( x+sin )

13) cos x4 + 3sin2x 2sin x sin x= + 4 14) 4 sin x cos x( 4 + 4 )+ 3sin4x 2= (ĐH Văn Lang – 98)

15) cos2x+ +(1 2cosx sinx cosx)( − )=0 (Dự Bị Khối B – 2006)

(soạn) cos2x− 3 sin 2x= +1 sin2x ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000)

(soạn) sinx− 3cosx 1=

Ví dụ Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0

Giải : 3 sinx+cosx+2cos3x = 0

⇔ cosx cos

3

π

+ sinx sin

3

π

= – cos3x

3

⎛ − ⎞= −

⎝ ⎠ ⇔ cos x 3 cos( 3 )x

3

k x

k

x k

⎡ = +

⎢

)

∈

⎢

⎢ = +

⎣

Z ⇔ x =

k

π + π (k∈Z)

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

IV/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx :

a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d2 + + 2 = (1)

Cần nhớ : 2

2

sin 2 2sin cos 1

1 tan cos

u u

=

⎧

⎪

⎪⎩

u

Cách giải :

TH 1 : Xét cos x = ⇒ 0 sin2 x = 1, nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm của pt, nếu ko thỏa thì cosx =

0 ko fải là nghiệm

TH 2 : Xét cos x ≠ 0 , chia 2 vế phương trình (1) cho cos x2 và nhớ 2 (1 tan2 )

cos

d

2 x+cos )2x

(sin

d =d , sau đó đưa về phương trình bậc 2 theo tanx và giải

Ví dụ 4 Giải phương trình: sin x 6sin x cosx cos x2 − + 2 =− (*) 2

Giải :

Thi 1 : xét cosx = 0 hay x π π

2

= + k thay vào phương trình (*) ta được : 1 = -2 (vô lý) nên

π

2

= + k không phải là nghiệm của phương trình (*)

Thi 2 : cosx≠0hay x π π

2

≠ + k , chia 2 vế của phương trình (*) cho cos x2 ta được :

sin x sinx.cosx cos x 2

cos x cos x cos x cos x

⇔tan x 6tanx 12 − + = −2 1 tan x( + 2 ) 2 π ( )

3tan x 6tanx 3 0 tanx 1 x kπ k Z

4

BT 4 : Giải các phương trình LG

1) sin x sin2x 3cos2 + + 2x=3 2) 6sin x 7 3sin2x 8cos x 62 + − 2 =

3) 2sin 22 x−5sin 2 cos 2x x−cos 22 x= −2 4) 2 2 1

sin sin 2 2cos

2

x+ x− x= 5) 2cos2x−3 3 sin 2x−4sin2 x= − 6) 4 4sin x 3sin2x 2cos x 42 + − 2 =

7) 2sin2 x+ +(3 3)sin cosx x+( 3 1) cos− 2x= −1

=

)

8) 3cos4 x−4sin2xcos2 x+sin4x 0

9) sin x cos x3 + 3 =2(cos x5 +sin x5 ĐHQG Hà Nội – 1998

10) cos3x+sinx−3sin cos2 x x=0 ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98)

11) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2 x− 3 sin2xcosx (ĐH Khối B – 2008)

F.Bài tập tổng hợp :

Bài 1 : giải các phương trình LG sau

1) 2cos 2x = ; 0 2) cos 2 tanx x=0

1 sin 2x−

3) sin3x−cos 5x=0 ; 4) 1 tan 2 1 sin 22

cos 2

x x

x

−

5)tan3x+tan2x−3tanx=3 ; 6) sin2x+2cos 2x− +3 7 cos2x= ; 0

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

7) cos 9x−2 cos 6x=2 8) cos3 cos2 4cos2 0

2

x

9) cos 3 2 sin( ).cos

3 2sin x−cos 2x−sinx= 0

Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây :

5) os 2 8cos 7 1

cos

2c

x

− + = ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) 6) sin2x+2 tanx=3 ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 )

sin sin 3 3cos 2

7) x+ x= x ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 )

10) tìm nghiệm [ ;3 ]

2

x∈ π π của phương trình : sin 2 5 3cos 7 1 2sin

⎛ + ⎞− ⎛ − ⎞= +

x

x

15) cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

16) sin2 tan2 cos2 0

x

x

π

⎝ ⎠ x = ( KD – 2003 )

17) 5sinx− =2 3(1 sin ).tan− x 2x ( KB – 2004 )

19) cos 3 cos 22 x x−cos2 x=0 ( KA – 2005 )

sinx cosx sin 2x cos 2x 0

x x ⎛x π ⎞ ⎛ x π ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ( KD – 2005 ) 22) 2(cos6 sin ) sin cos6 0

2 2sin

x

24) (1 sin+ 2x) cosx+ +(1 cos )sin2x x= +1 sin 2x ( KA – 2007 )

26) 1 1 4sin 7

3

2

x

π

⎞

− ⎟ ( KA – 2008 )

29) cos3x−sin3x=sinx−cosx ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 )

30) 2 tan cot 3 2

sin 2

x

+ = + ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) 31) tanx+cotx=4 ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97)

32) 5 3sin− 2 x−4 cosx = −1 2 cosx

=

( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96) 34) sin3x+2 cos 2x−2 0 ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97)

35) 3 sin cos 1

cos

x

+ = ( ĐH An Ninh – 98) 37) sin 3x+sin 2x=5sinx (ĐH Y Hải Phòng – 2000)

41) 3sin 3x− 3 cos9x= +1 4sin 33

in 2 cos 2 7sin 2 cos 4

x ( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95)

42) 2s x− x= x+ x−

2

1 2

cos sin4 4

x x

x sìn

x

Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm :

1) ( 2 x+ os2 x=0

− +

3)sin ( 3)sin cos c

m+ x+ m+ x

2 2) cos ( 1)sin 2 1

m− x− m+ x

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc :

1) cos cos 5x x=cos 2 cos 4x x 2) cos 5 sin 4x x=cos 3 sin 2x x

3) sin 2x+sin 4x=sin 6x 3) sinx+sin 2x=cosx+cos 2x

4) sin 42 x+sin 32 x=sin 22 x+sin2x

Bài 6 : Đề thi ĐH – CĐ năm 2009 và 2010

1) (1 2sin ).cos− x x = 3

(1 2sin )(1 sin )+ x − x ( Khối A – 2009 ) Đs :

2

18 k 3

2) +cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin )3x ( Khối B – 2009 ) Đs : 2 ; 2

6 k 42 k 7

x

sin

3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx=0

2 2sin ) cos 1 sin cos

( Khối D – 2009 )

3)

4) (1+ x x= + x+ x ( Cao Đẳng – 2009 ) Đs : 2 ; ;5

2 k 12 k 12 k

5) (1 sin cos 2 ).sin( 4) 1 cos

x x

π

= + ( Khối A – 2010 ) Đs :

7

6) (sin 2x+cos 2 ) cosx x+2cos 2x−sinx=0 ( Khối B – 2010 )

= 7) sin2x−cos 2x+3sinx−cosx−1 0 ( Khối D – 2010 ) Đs : 2 ; 5 2

8) 4cos5 cos3 2(8sin 1) cos 5

+ − = ( Cao Đẳng – 2010 ) Bài 8 : Giải phương trình

Câu 5:

2

sin x cos x

cot x

+

= − = Dự bị A2 - 2002 0

Câu 6:

2

sin x cos x

cot x

+

= − = Dự bị A2 – 2002 0

Câu 7: Tìm các nghiệm trên khoảng ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ 2

;

0 π

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ − +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

4

3 cos

2 1 2 2 sin 3 2 sin

x x

x

Bài 9 : phương trình lượng giác trong đề thi cao đẳng các năm trước

Câu 1 : CĐKTế Cần Thơ_2005 sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x

Câu 2 : CĐSP Vĩnh Long_2005 Giải phương trình: x

x x

x x

2 tan 2

1 sin

cos

sin cos

2 2

6 6

=

− +

Câu 3 : Giải phương trình: sin3x + sinx = sin2x.cosx – cos2x

Câu 4 : CĐSP Hà Nam_2005 Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin 2 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + 4 2

5x π

– 2cos 2 9x2

Câu 5 : CĐ Kinh tế-Tài chính_2005 Giải phương trình: 1+ sinx + cosx + tanx = 0

Câu 6 : CĐSP Hà Nội_2005 Cho phương trình: 4cos3x + (m-3)cosx – 1 = cos2x

Giải phhương trình khi m = 1

Câu 8 : CĐSP Quảng Nam_2005 3cosx + 2cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x – 1

Câu 9 : CĐYT Thanh Hoá_2005 tan 2 x + 8cos2x.cot2x = cot 2 x

Câu 10 : CĐSP Quảng Bình_2005 (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos 2 x

Các Ví Dụ có lời giải

Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1)

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0

5

10 5 2

cos5 0

cos 0

π kπ π

x

x

⎡

⎢

⎢

=

⎣

⎢

n

Ví dụ 3. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0

⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

2sin 2 cos 2sin cos 1 0 (*)

⎡

⎣

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | t ≤ 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 0 sin -cos ,( )

=

⎡

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

4

π

x= − +nπ; x k π= 2 , ( , n k∈ )

Ví dụ 4. Giải phương trình:8 2 cos6 x+2 2 sin3xsin 3x−6 2 cos4x− = (3) 1 0

2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos 2 cos cos 3 2sin 2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2 2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )

2

cos 2 cos 2 cos 2

x x x x x x x

π

=

Ví dụ 6.2sinx(1 + cos2x) + sin2x=1 + 2cosx

HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: 2 2 ( )

x= π +kπ ∨ x= ± π +k π k∈

Ví dụ 7.sin2x + cos2x = 1 + sin x– 3cosx (1).

(1) ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0

⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0

Đặt t = cosx, ĐK t ≤ 1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 Δ=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2

⇒

( )

1

1

2 sin - 2

t

x

⎡ =

⎢

=

…(biết giải)

Ví dụ 8. 2sinx + cot x= 2sin2 x+ 1 HD: 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0

Đặt t=sinx, ĐK t ≤ 1 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … Δ=(4cosx–1)2

Ví dụ 9 1 2 cos( sin )

tan cot 2 cot 1

x x

−

=

cos sin 2 sin tan cot 2 0 cot 1

x

⎧⎪

⎨

≠

⎪⎩

GV : Nguyễ n Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác

Từ (1) ta có: 1 2 cos( sin ) cos sin

2 sin

1 cos sin 2 sin

x x x 2x

x

−

2sin cosx x 2 sinx

2

2 4

⎡ = +

⎢

⎢ = − +

⎢⎣

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )

4

x= − +π k π k∈

Ví dụ 10 Giải phương trình: sin4 cos4 1(tan cot )

x

Giải sin4 cos4 1(tan cot

x

(1) Điều kiện: sin 2x≠0

2 1

1 sin 2 1 sin cos

2

(1)

sin 2 2 cos sin

2

2

1

x

−

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 11 Giải phương trình: cosx = 8.sin3

6

x π

⎟ +

⎜

⎝ ⎠ ⇔ cosx=8sin

3

6

x π

⎟ +

⎜

3 sinx+cosx

⇔ 3 3 sin3 x+9sin2 xcos 3 3 sin cosx + x 2 x+cos3x−cos x = 0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 3 tan3 x+8 tan2 x + 3 3 tan x = 0

⇔tan x = 0⇔ x = kπ

Ví dụ 12 Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos( sin )

tan cot 2 cot 1

x x

−

=

Giải

Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0

cot 1

x

⎧⎪

⎨

≠

⎪⎩

Từ (1) ta có: 1 2 cos( sin ) cos sin

2 sin

1 cos sin 2 sin

x x x 2x

x

−

2sin cosx x 2 sinx

2

2 4

x k loai

⎡ = +

⎢

⎢ = − +

⎢⎣

Ví dụ 13 Giải phương trình: cos 2x+ =5 2(2 cos )(sin− x x−cos )x

Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2– 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

− = −

⎡

2

x k

x k

Z

⎡ = +

⎢

⎢ = +

⎣

∈

Ví dụ 16. Giải phương trình: 4.sin2x + 1 = 8sin2x.cosx + 4cos22x

HD : 4sin2x + 1 = 8sin2xcosx + 4cos22x ⇔ 5 – 4cos2x = 8cosx – 8cos3x + 16cos4x – 16cos2x + 4

⇔ 16cos4x – 8cos3x − 12cos2x + 8cosx - 1 = 0

⇔ (2cosx – 1)(8cos3x – 6cosx + 1) = 0 ⇔ (2cosx – 1)(2cos3x + 1) = 0

Ví dụ 17 Giải phương trình: 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0