tuoitre
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
CHƯƠNGV
a(sinx +cosx)+bsinxcosx=c (1)
Cách giải
Đặt t=sinx+cosx với điều kiện t| < J2
Thi t = 8sin|x rã) = Beos| x- 2
Tac6é: t? =1+2sinxcosx nên (1) thanh
at +2 (t? -1]=e
2
© btŸ + 2at - b— 2e = 0
Giải (2) tìm được t, rồi so với diéu kién |t| < V2
giải phương trình V2 sin [x + =| =t ta tim dudc x
Bài 106 : Giải phương trình sinx + sin” x + cos” x = 0(*)
(*) © sinx(1 + sinx) + cos x(1 ~sin? =0
© (1+sinx)=0 hay sin x + cos x (1 - sin x) = 0
S|
sin x + cos x — Sin x cOSx = 0(2)
«(1)x= _s+k2n(k cZ)
eXét(2): đặt t = sinx + cosx = V8 cos|x= 2]
điều kiện |t| < V2 thì t = 1+ 2sinxecosx
t?—1
Vay (2) thành t— =0
© t?-2t-1=0
t=1- 2
>
t = 1+ V2 (loai)
Do đó (2) > WBeos| x-4)=1- V2
Trang 2Ja
<> 008{x- 2) = -1=cosg véi 0< o<2n
©œx=T= ‡ọ + hân, h c với cos 0= SÃ —1
x= Fo +h2nhell,véicosg=~=-1
Bài 107 : Giải phương trình -1 + sin® x + cos’ x = ssin 2x (*)
(*) = -1+ (sin x + cos x)(1- sin xcosx) = ssin 2x
Đặt t = sinx + œosx = V8sin [xe 2]
Với điều kiện |t| < V2
Thi t? =1+2sinxcosx
vay ©) tans a e{ 5 J-št =1]
= -2+t(3-+t?) = 3(t? -1)
> t? + 3t? —3t-1=0
= (t-1)(t? +4t+1)=0
©t=1vt=-2+3vt=-2- v3 (loại)
⁄“4* ` ° 7U e TU
vớit= Í thì sin| x+—|= = SIn—
+ /2
©x+ ~=~=k2nvx+ ~ 3" honk ed
©x=k2mvx= + k2m,k eLÌ
V3 -2 V2
oxtT=o+menvx+7 =n—p+men,m il, vol
v6i t = V3 -2 thisin{ x +=) - = sing
a — 2
= sin @
& ° ĐI
@x=0—E + mðy vx = TC — g + m3, m €1, với = sing
Bai 108 :Gidi phudng trinh J2 (sin x + cosx) = tgx + cot gx( %
.¬ , |sinx #0
Diéu kién <> sin 2x # 0
cosx # 0
sinx COSX
+
Lúc đó (*) © V2(sinx + cosx) =
cosx sinx
Trang 3
sin? x + cos” x _ 1
sin Xe€os x sin X COS X Dat t = sinx + coOsx = VB sin{ x +)
Thi t? -1+2sinxcosx v6i|t| < V2 va t? 41
(*) thanh J2t = 2
t
> Jat? — J2t-2=0
(Hiển nhiên t = +1 khéng 1a nghiém)
= (t -V2)(J2t? + 2t + V2) = 0
sọ
&
t?+x2t+1= 0(vô nghiệm)
Vậy (*)© V2sin{ x +4) = /2
<© sn[x+ 5] =]
4
"
=> xt = “+ k2m,k e[
4 2
© x= 7 + kên, k c Í
Bài 109 : Giải phương trình 3(cot gx - cosx) — ð(tgx - sinx) = 2(*)
Với điều kién sin 2x # 0, nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx # Ô thi:
(*) © 3cos” x(1— sin x) - ðsin” x(1 - eos x) = 2sin x cos x
© 3cos” x(1 - sin x) - ðsin” x(1— cos x) = 5sin x cosx - 3 sin x cos x
© 3cosx| cos x (1 — sỉn x) + sin x |— ð sin x| sin x (1 — cos x) + cos x | = 0
© 3cosx(cos x — sin x cos x + sỉn x) — ð sin x (sin x — sỉn x eos x + cos x) = Ô sin x + cos x — sin xcos x = 0(1)
(Ghỉichú: AB+AC=A.D co A=0 hayB+C=D)
Gidi (1) Dat t = sinx + cosx = V2sin{x+4)
Thì t? =1+2sinxeosx với điểu kiện : |t|< V2 và t z +1
2
vt go oe -2t-1=0
t =1+ V2 (loai do t| < V2)
oS
t=1- 42 (nhận so với điều kiện)
(1) thành : t—
Trang 41-42
Vậy sin( x+ 4) = =sina (0<a< 2z)
OT x+T=m~ 0+ k?m,k €Ï x= -œ+kẩn,k €l
(2) @ tex = = tgỗ © x = + hạ, he (với 0< B < m)
Bài 110 : Giải phương trình
3(1+sI
cos” X
Điều kiện : cosx #0 <>sinx # +l
Lúc đó : (*) ©et(Sg'x71)+3(11ainx)(L+t)S4) 13es| 5x |
= 4(1+sinx)
© tgx(3tg’x —1)+ (1+sinx) )| 3(1 + te? x)- 4|= 0
© (3tg”x—1)(tgx + 1+sinx) =0
© (3tg”x— 1)(sin x + cosx + sin xcosx) = 0
3tg’x =1 (1)
sinx+cosx+sinxcosx=0 (2)
elo tg x= 2 tex tê ©ex= b+ ke
eGiải (2) đặt t= sinx +cosx = 2sn| x+ 2]
V6i diéu kién |t|< V2 và t# +1
Thi t? =1+2sinxcosx
t?-1
(2) thành : t+ =0<>t+2t-I=0
t==I—A2 (loại dođiều kiện || < V2)
t=-1+42 (nhận so với điều kiện)
Vậy sin[ x +4) = v2 - Ì —sino
4) v2
Trang 5
Bài 111 : Giải phương trình 2sin°x— sinx = 2cos”XT— cosx + eos2x(*)
(*“)©= 2(sin X—coS” x) —(sinx —cosx)+sin’ x—cos’ x =0
<> sinx —cosx=0 hay 2(1+sinxcosx)—1+(sinx + cosx) =0
sin X — COSX = 0(1)
= sinx + cosx +sin2x+1= 0(2)
e(1) > tgx =1
oxaTrknkes
exét(2) đặt t=sinx+cosx = Jicosx{ x-4)
Với điều kiện : |t|<xJ2
t =l+sin2x
Vậy (2) thanh t+(t?-1)+1=0
©t(t+1)=0<©t=0vt=-I
Khi t = 0 thi cos( x") =0
<©>x-—=(2k+l)-,ke
3T
<©Sx=—+krn,kce£
4 Khi t=-I thì cos( x4) = ——= = cos —
4 4
&x=7+k2z hay x==-+k2n,k cứ
Bài 112 : Giải phương trình
sinX +sin” x +sinÌ x+sin” x = cosx + cos’ x +cos’ x + cosf x(*)
Ta có : (*)
© (sinx— cosx)+ (sin? X —cos’ x) + (sin' x-cos” x) + (sin* xX —cos* x) =0
& (sin x —cosx) = 0 hay 1+ (sin x +cosx)+ (1+sinx.cosx)+(sinx + cosx) =0 sin x — cosx = 0(1)
=
2(sinx + cosx)+sinxcosx +2 =0(2)
Ta có : (l) ©tgx=l
ox=Ttknkeg
Trang 6
Xét(2): đặt t=sinx-+608x = eos{ x4]
Với điều kién |t|< J2
Thi t? =1+2sinxcosx
t?-1
(2) thanh 2t+ +2=0
>t? +4t+3=0
©t=-Ivt=-3(loại)
x eae kon keg
4 4
4 4 fx=n+k2n,ke¢
x==s.+k2m,k cứ
Bài 113 : Giải phương trình tg”x(I —sin” x) +cos°x—l= 0(*)
Điều kiện : cosx #0 ©sinx # +]
sin” X COS” X
& (1 — cos? x)(1 —sin” x) — (1 —cos° x)(1 — sin’ x) =0
<> (L— cosx)(1— sinx)=0
Lúc đó (*) © (1-sin’ x)+cos*x-1=0
hay (1+cosx)(1+sinx+sin’ x)—(1+cosx +cos’ x)(1+sinx) =0
COSX= 1(nhận do điều kiện)
©|sinx= 1(loại do điều kiện)
sin’ X +sin° xX cosx —cos’ X—sinx cos’ x =0
| cosx=l
sin” X — cos x + sinx cos x(sinx — cos x) = Ö
/cosx =1
| sinx —cosx=0 hay sinx +cosx +sinxcosx = 0
[ceosx=lvtgx =l
| SI1X +€OSX +Sin Xcos x = 0
Ix=k2mn,ke#
& x= sinx +cosx +sinxcosx =0 +kmke¢
Trang 7xét pt sinx +cosx+sinxcosx =0
dat
t=sinx+cosx = Deosx{ x2) (điều kiện It] < V2 va tz +1)
=> t? =14+2sinxcosx
t?-1
Ta được phương trình t+ =0<>t+2t-I=0
o ị =-Ïl— 2 (loại)
t= ~1+2(nhan SO VỚI đk)
SX~T=*0 + k2n,k€ é a@x=Ttotkinkeg
Bai 114 : Cho phuong trinh m/(sinx + cosx +1) =1+sin2x(*)
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0ã
Đặt t=sinx-+eosx=V3sin{ x-4 diéu kién It] < v2
Thì t =l+sin2x
Vậy (*) thành : m(t+1)=
3T
Nếu 0<x<“th“<x+“<=”
Do đó V2 <n x+—= <1
ol<t< V2
ta có m(t+1)=
2
Sm= i (do t = -1 không là nghiệm của phương trình)
+
t?
Xét y=— trên |L42
— , t+2t
Thì y'=——— >0 vte| Lv? |
(t+1)
Vay y tang trén [1/2 |
Vậy (*) có nghiệm trên BH y(1)<m <y(v2)
<5 <ms2(y2-1)
Trang 8
Bài 115 : Cho phương trình cos’ x +sin’ x = msinxcosx(*)
a/ Giải phương trình khi m= v2
b/ Tìm m để (*) có nghiệm
Ta có : (*) © (cosx +sinx)(1—sinx cosx) = msinxcosx
Đặt LcinXepsx= V2cosx| x5)
Với điều kiện ([t|<2}
Thì tˆ =l+2sinXcosx
Vậ y (*) thành { : 5 :]=mÍ" 5 2
©t(3-)= m(É -1)
a/ Khi m= V2 ta c6 phương trình
t(3~)=+x2((# -1)])
©t# +42 -3t-42 =0
=©(t-2)( +2⁄2t+1)=0
et= 2 hay t=—J2 +1 hay t=—V2 —1(loai)
Vậy e cosx{ x4) -1e>x-Zokimke oxi tkinke¢
4) x2
©X~T= +0 + k2n,k € 6 ox=—tat+k2z7,ke¢
b/ Xét phương trình t(3-t?)= k(t? - a
n
Do t=+1 khéng la nghiém cua (**)
3t—t
—1 Xéty= (c ) trén | - v2,x2 |\ {+1}
(**)o m=
4
=Ẻ <0Vt=+l
(1)
Ta có y'=
Suy ra y giảm mea bị 1) và
lim y=+o, jim y=-
x_l"
Do đó trên(—], L)c | V2.2 |\ {+ 1} ta co
3
¬ với VmeR
(d) y=meat(C) y=—;
Vậy (*) có nghiệm VmeR
Trang 9
Bài 116 : Cho phương trình
SIAX COSX
m(sin x + cosx)+1+ tex rcotex | + J=99
a/ Giải phương trình khi m =
b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên (0.5
Với điều kiện sin2x + Ota co
(*) <> m(sinx +cosx)+1+— +——— + —_ + =0
2\cosx sinx sinx cosx
© msin2x(sin x + cos x)+ sin2x + (+ cosx + sin x) = 0
© msin2x(sin x + cos x)+ sin2x + Í + cosx + sin x = Ö
& msin 2x (sinx +cosx)+(sinx +cosx) +sinx +cosx =0
sin X +COSxX = 0(1)
>
msin2x+sinx+cosx+l = 0(2)
Xét (2) dat t=sinx+cosx = Peos{ x2)
Thì tˆ =l+sin2x
Do sin2x z0 nên lt|< 2 và t=+l
(=0
Vậy ©) thành: lsie-)eed-6
t=0 (nhận so điều kiện)
a/ Khi = thì ta được :
t=0
t=— 1(loại do điều kiện)
Vay sinx + cosx = 0
> tgx =—-1
©X==7 +km,k€
b/ Ta có : 0<x<<@-T<x=T<T
Lúc đó
Š <en[x-7]s1z>1<t</8
Do t=0z(1A2|
Trang 10
Nên ta xét phương trình : m(t—1)+1=0(**)
(**)< mt=m-1
ot -;-4 (do m = 0 thi (**) v6 nghiém)
m
Do đó : yêu cầu bài toán cl<I-L<w2
m
œ4 1m <> 1
n
c©m<-42-I
Bai 117 : Cho f(x) = cos’ 2x+ 2(sinx + cosx) —3sin2x+m
a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3
b/ Tinh theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
Tìm m cho f(x) ] <36 VxeR
Dat t=sinx+cosx= Jicos{ x4 (điều kiện || < v2)
Thì tˆ =l+sin2x
Va cos’ 2x =1-sin* 2x =1-(t?-1) =- +2
Vay f(x) thanh g(t) =-t* +20? +20 -3(t -1)+m
a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0
<> -t’(t?-2t+1)=0
ot=O0vt=l
vay khi m = -3 thi f(x) =0
00s{ x-4) =0ha cos( x4 L
<x=—=(2k+l)~ hay xX- ==+~+k2n, ke¢
eo x=Bekn hay x= +k2nvx=k2n, keg
b/ Ta có g'(t)=—4t’ +60? ~2t=~21(2É —3t+1)
te| 2,2
Ta có : g(0)=3+m =g(1) c|z]~ „em
g(V2)=4V2-3+m, s(ý2)}=m-3-442
Trang 11Vậy : Maxt (x) = Max, elt) =m+3
Minf (x) = Min 20 =m-3-442
xER
Do đó : [f(x) ƒ < 36, VxeR&-6<f(x) <6, VxeR
Marte
Min f(x) 2-6
m+3<6
“ng >~6
©442-3<m<3
Cách khác : Ta có g(t)=-t?(t?-2t+1)+3+m-=—-[t(t-1)[ +3+m
Dat u=t’-t
Khi te _J2,/2 thi ue _+* 2:2 =D
4 Vay g(t) =h(u) =-u+3+m
Maxf(x) = es 8) = Max h(u) =m+3
MinF(x)=, Mãn e(1)= Minh(u)=m—3—4v2
Chú ý 1: Phương trình giả đối xứng
a(sinx—cosx) + b(sinxcos x) =0
dat t = sinx — cosx
thi t=VEsin{ x4) = V3 eos +]
với điều kiện || <42 thì ? =1—2sinxcosx
Bài 118 : Giải phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1(*)
Điều kiện : sinx # Ö © cosx = +1
Lúc đó (*) 2sinx + = 4sIn xcosx + Ì
sin X
© 2sinŸ x + cos x = 4sin” xcos x + sin x
© 2sin” x ~ sỉn x — cos x (4 sin” x ~ 1) = 0
© sin x(2sin x — 1) - eos x(2sin x — 1)(2sin x + 1) = 0
© 2sinx—1=0 hay sin x - cosx(2sin x + 1) = 0
o
sin x— eosx— sin2x= 0 (2)
Trang 12e Ta có (1) ©sinx = „(nhận do sinx + 0)
©x=E + kim V = ` + kê, ke |
s« Xét (2) Dat t =sinx ~cosx = vsin[x~ 4
Với điểu kiện |t|< x2 và ©# + 1
Thì t? = 1-sin2x
Vậy (2) thành : t-(1-t?)=0
©t?+t-1=0
Vt=
Do đó : i sin[ x2 = 1+N8 (nhận do || <2 và tz +1)
o&t= (loai)
x-7 = 04+ k2n, kell
Ko 7 =m o4+k2n, kell
K=O +7 +k2n, kell
x= ST + kOe, kell
Bài 119 : Giải phương trình
cos2x + ð = 2(2 — cosx) (sin x — cosx)(*)
Ta có : (*)<© (cos” x — sin? x) + 5 = 2(2-cosx)(sin x — cos x)
<> (sin x — cos x)| 2(2-cosx) + (sin x + cos x) | — ð = 0
© (sin x - cosx)|sin x — cos x + 4| — ð = 0
Đặt t= sinx ~cosx = VBsin| x-4]
Với điều kiện |t| < V2
(*) thành : t(t+4)— 5ð =0
© t?+4t-5=0
©t=1vt=-ð(loại)
Vậy (*)© sin| x — =| = 6Ì”
Trang 13ox ean onyx eas kon, kell
xs > +k2nvx=n+k2n, kel
Bài 120 : Giải phương trình cos” x + sin” x = cos2x(*)
Ta có (*) © (cosx + sinx)(1—sinxcosx) = cos” x - sin” x
<> cosx+sinx=0 hay 1-sin xcos x =cosx — sin x
S|
sin x — cosx —sinxcosx+1=0 (2)
Ta có : (1) © tgx = -1
©x=— =+kn, kel
4 Xét (2) đặt t= sinx ~cosx = VBsin| x-4]
Với điều kiện |t| < V2
Thì tŸ = 1- 2sinxcosx
_- (2) thành t-2 t +1=0<>t2+9t+1=0
ot=-l
vậ 2) sIn|Xx-—|=-—-—-sin|-—
yO in(x ñ v3 in
7 7 x-—=-—4+k2n, kel x= k2z, kell
Bài 121 : Cho phương trình cos”x-sin°x=m_ (1)
a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ È = eosx - sinx
b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x e 4,2
Ta có (1) © (eosx — sinx)(1 + sin xeosx) = m
Đặt t = cosSx —sinx = Beos| x + 4
Với điều kiện |t| < x2
Thì tŸ = 1- 2sinxcosx
Vay (1) thành : t|1+ 5 =m
©t(3-t?]=2m (2)
Trang 14
a/ Khi m = I1 thì (2) thành tỶ - 3t+ 2= 0
= (t-1)(t? +t-2)=0
©t=1vt=-2(loại)
Vậy cos x+— 2 oe Bia kon kell
ox =k2nvx=—5 + k2a,k ef
TU
bí Nếu xe|- |i osx
a
4
nén 0 < cos x+4) <1
nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên L0, 12
ta tìm duy nhất một xe -5]
xét f(t) =—t* + 3t trén | 0, V2 |
=> f'(t)=-3t7 +3
tả 4’
© (d) y = 2m cắt (C) y = -t* + 3t trén | 0,V2 | tai 2 diém phan bit
© V2 <2m <2
vậy (1) có đúng hai nghiệm xe -
2
<© —<1mm<]Ï
2
Bài 122 : Cho phương trình
2cos2x + sin xeosx + sin xeosỂ x =m (sin x + cos x) (*) a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên Ũ 4
Ta có : (*)<© 2(cos” x — sin” x) + sin x cos x(sin x + cosx) = m(sinx + cosx)
<&cosx+sinx =0 (1) hay 2(cos x -sinx)+sinxcosx =m (2)
Trang 15Dat t = cosx —sinx = 2cos{ x+ 4] (diéu kién |t| < V2)
Thi t? = 1—2sinxcosx
Ta có : (1) <©> sin xX = —cosx
© tạx =~1 € x=— + km, ke
Ta có : (2) thành 2t + =m
= -t* +4t+1=2m(**)
a/ Khi m = 2 thi(**) thanh t? -4t+3=0
©t=1vt=3 (loại)
oo x=k2nvx=- 5+ ke, kel
Do do:
(È) x=~2 + km vx= km vx=— 2+ kân, kell
b/ Ta có xe 0^ c>x+~elT r 3x
vay ——— <cos| X+— |S——
>-l<t<l
Do nghiém x=-7 + kn ¢ 0 Sv kell
Nên yêu cầu bài toán © (* *) )có nghiệm trên [- 1 1]
Xét y =-t* +4t+1 thi y'=-2t+4>0 Vte[-1]1]
=> y tăng trén [-1,1]
Do đó : yêu cầu bài toán
© -4= y(-1) < 2m < y(1) = 4
©-2<m<2
* Chú ý 2: Phương trình lượng giác dạng
a(tgx + cot gx) + b(tg”x + cot g”x) =0
ta đặt t = tgx + cotgx thì t” = tg’x + cotg’x +2
thì
khi t = tgx + cot gx = Gn de (do lsin 2x| < 1)
Bài 123 : Giải phương trình
3tg”x + 4tgx + 4cot gx + 3cotg”x + 2 = 0(*)