Tài liệu lượng giác luyện thi ĐH cực hay

Thông thường phải thực hiện các việc sau: # Nếu phương trình chứa nhiều hμm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hμm lượng giác.. # Nếu phương trình

1cot

4 tgx.cotgx = 1

2 – Đường tròn lượng giác:

1 Định nghĩa: Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O bán kính R = 1

π

O

(I) (II)

(III) (IV)

+

0cot

0

0cos

0sin

)(:20

α

πα

g tg

Cách nhớ: cos đối

c Cung hơn kém π:

π

αα

π

αα

π

αα

π

tg g

g tg

cot2

sin2

cos

cos2

sin( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa

cos( a ± b ) = cosacosb m sina sinb

tgatgb

tgb tga

Cách nhớ: Sin tổng bằng tổng sin co

Cos tổng bằng hiệu đôi cô đôi chàng

Tg tổng tử đã rõ ràng Mẫu 1 trừ với tích tg đôi mình

7 – Công thức nhân đôi:

tgx x

1

22

−

=

8 – Công thức nhân ba:

sin3x = 3sinx – 4sin3x

cos3x = 4cos3x – 3cosx

9 – Công thức hạ bậc:

x

x x

x

x x

x x

3sinsin34

1sin

3coscos

34

1cos

2

2cos1sin

2

2cos1cos

B A tgB

tgA

B A B A B

A

B A B A B

A

B A B A B

A

B A B A B

A

coscos

)sin(

2

sin2cos2sinsin

2

cos2sin2sinsin

2

sin2sin2coscos

2

cos2cos2coscos

+

=+

−+

=

−

−+

=+

−+

=

−

−+

=+

11 – Công Thức biến đổi tích thành tổng:

21

21

12 – Công thức đổi biến:

Đặt t = tg(x/2)

2 2 2

1

1cos

1

2sin

t

t x t

t x

+

−

=+

=

Vấn đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN

Dạng 1.Phương Trình Lượng Giác cơ bản

Chú ý: cos(-u) = cosu; cos(π-u) = cosu;

sin(-u) = -sinu ; sin(π-u) = -sinu

tg(-u) = - tgu ; tg(π-u) = - tgu

cotg(-u) = -cotgu ; cotg(π-u) = -cotgu

Bμi 1 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau:

a) sin3x = - 3

0

) = 22 c) sin(

a) sin2

x = 1

π) = sin(5

a) cos(x + 3) = 1

0

) = 32c) cos(3x +

3

π) = - 1

Bμi 6 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

a) sin 3

0cos3 1

a) y = cos(2x -

3

π) vμ y = cos(

6

π)

c) y = tan(2x +

5

π) vμ y = tan(

3

π) = cos3x

c) sin(3x - 5

6

π) + cos(3x +

Bμi 9 T×m TX§ cđa hμm sè sau:

4

π + x) = sin(2x -

4

π)

Dạng 2 Phương Trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:

1 Loại: acos2x + bcosx + c = 0 ( hoặc a.sin2x + bsinx + c = 0 )

Đặt u = cosx ( u = sinx ) , điều kiện –1 ≤ u ≤ 1

2 Loại: atg2x + btgx + c = 0 ( hoặc a.cotg2x + bcotgx + c = 0 )

Đặt u = tgx ( u =cotgx ) , Không cần điều kiện cho u

Bμi 1 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

c) cos2x - 5sinx - 3 = 0 d) cos2x + cosx + 1 = 0

Bμi 4 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

a) cos4x - 3 2 cos2x + 3 2 - 1 = 0 b) 2 cos (22 ) sin(2 ) 0

Bμi 8: Giải phương trình : 5sinx− =2 3(1−sinx).tan2x

Bμi 9: Giải phương trình : 8 8 17 2

16

x cos x+ = cos x

Bμi 10: Tìm các nghiệm trên khoảng (0; 2π) của phương trình :

5 cos3 sin 3 3 cos 2

Bμi 11: Cho phương trình : cos 2x−(2m+1) cosx+ + =m 1 0 (*)

a) Giải phương trình khi m = 3/2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng ;3

Bμi 14: Giải phương trình : 3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot2 x

Bμi 15: Giải phương trình : sin6x cos x+ 6 =2cos x2 − 1

Bμi 16: Tìm các nghiệm trên khoảng ( )0;π của phương trình :

7 sin 3 cos3 4 cos 2

Bμi 17: Cho phương trình : cos 2x+(2m+1)sinx m− − =1 0 (*)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng (π π; 2 )

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin và cos của một cung:

) Có dạng: a.sinx + b.cosx = c (1)

) Phương pháp giải:

+ Tính a2 + b2

+ Chia 2 vế cho 2 2

a +b ⇒ … ⇒ cos(x - α ) = …

+ Ta giải phương trình trên dựa vào phương trình LG cơ bản

) Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm khi a 2 + b 2 ≥ c 2

Bài 1: Giải phương trình : 3sin 3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x

Bài 2: Giải phương trình : 8sinx 3 1

cosx sinx

Bài 3: Giải phương trình : sin 2x+2 cos 2x= +1 sinx−4cosx

Bài 4: Giải phương trình : 9sinx+6cosx−3sin 2x+cos 2x= 8

Bài 5: Giải phương trình : 2cos x3 +cos 2x+sinx= 0

Bài 6: Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3 + 3 = −

Bài 7: Giải phương trình : 4(sin4x+cos x4 )+ 3 sin 4x= 2

Bài 8: Giải phương trình : 4 s 2co 3 x+ 3 sin 6x= +2 3 s 2co x

Bài 9: Giải phương trình : 8 3 1

sin

cosx

x cosx

Bài 10: Giải phương trình : sin 2x+2sinx− =1 4sin xcosx cos x2 + 2 −2sin cos 2x x

Bài 11: Giải phương trình : sinx+4cosx−sin 2x+2cos 2x= 1

Bài 12: Giải phương trình : 2sin3x−cos 2x cosx+ = 0

Bài 13: Giải phương trình : sin x cos x sinx cosx3 − 3 = +

Bài 14: Giải phương trình : 6 6

8(sin x cos x+ ) 3 3 sin 8− x= 2

Bài 15: Giải các phương trình :

a) +cosx 3 sinx= −1 b) cosx+ 3sinx= 2

c) 4(sin4x+cos )4 x + 3 sin 4x= 2 d)

2

2sincos

x x

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp:

) Có dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (a,b,c ≠ 0 ) (1)

* Cách 1:

+ TH1 cosx = 0 ⇔ x =

2 k

π + π Thay vào pt (1) ⇒ KL + TH2 cosx ≠ 0 Chia 2 vế của pt (1) cho cos2x

pt (1) ⇒ … ⇒ m.tg2x + n.tgx + p = 0 (2)

Ta giải pt (2) dựa vào pt bậc 2 theo một hàm số LG

*Cách 2: Ta sử dụng công thức hạ bậc

Ta đưa pt (1) về pt bậc nhất theo sin và cos

Bài 1: Giải phương trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x

Bài 2: Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0

Bài 3: Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

Bài 4: Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0

Bài 5: Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0

Bài 6: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx + ( 3 4+ cos) 2x = 4

Bài 7: Giải phương trình: 3sin2 x+(1− 3)sinx.cosx−cos2 x+1− 3=0

Bài 8: Giải phương trình : sin2x +(1+ 3)sin cosx x+ 3cos x2 = 0

Bài 9: Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1

Bài 10: Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

Bài 11: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4

Bài 12: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3

E Phương Trình đối xứng:

) Có dạng: a( cosx ± sinx ) + b.sinx.cosx + c = 0 (1)

) Phương Pháp giải:

+ Đặt u = cosx ± sinx ( − 2≤ ≤u 2 )

Ta đưa pt (1) về pt bậc 2 theo u

Bài 1: Giải phương trình :

a) sin 2x−2 2(sinx+cos ) 5 0x − =

b) sin 2x+4(cosx−sin ) 4x =

Phaàn II – MOÄT SOÁ DAẽNG PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC KHAÙC

I Cơ sở lí luận

Chúng ta đưa ra một nguyên tắc chung thường dùng khi giải phương trình lượng giác Thông thường

phải thực hiện các việc sau:

# Nếu phương trình chứa nhiều hμm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ

chứa một hμm lượng giác

# Nếu phương trình chứa các hμm lượng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về

phương trình chỉ chứa các hμm lượng giác của một cung

Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai

hướng:

ê Hướng thứ nhất:

Biến đổi phương trình đã cho để đưa về việc giải phương trình đơn giản quen thuộc Các phương pháp

biến đổi theo hướng nμy gồm có:

Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm

II Vớ dụ minh họa:

a Phửụng phaựp 1:Bieỏn ủoồi pt ủaừ cho veà moọt trong caực daùng pt lửụùng giaực cụ baỷn ủaừ bieỏt

Vớ duù: Giaỷi phửụng trỡnh:

0

2

32sincos

sin4x+ 4x+ xư =

b Phửụng phaựp 2: Bieỏn ủoồi pt ủaừ cho veà daùng tớch soỏ

Cụ sụỷ cuỷa phửụng phaựp laứ dửùa vaứo caực ủũnh lyự sau ủaõy:

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :

a sin2x+sin 22 x+sin 32 x= b 2 sin 32 xưcos 42 x=sin 52 xưcos 62 x

c 2sin3x+cos2xưcosx= d 0 ) 3 0

4sin(

2cos222

x x

x

c Phửụng phaựp 3: Bieỏn ủoồi pt veà daùng coự theồ ủaởt aồn soỏ phuù

Moọt soỏ daỏu hieọu nhaọn bieỏt :

* Phửụng trỡnh chửựa cuứng moọt moọt haứm soỏ lửụùng giaực ( cuứng cung khaực luừy thửứa)

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :

a cos3x+cos2xưcosxư1=0

b 4cos3xưcos2xư4cosx+1=0

* Phửụng trỡnh coự chửựa (cosx±sin ) vaứ sinx.cosxx

Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh : a +1 sin3 +cos3 =3sin 2x

6

π) + cos3x (1)

Giải:

Đặt t = x -

6

π ⇒ 2x -

3

π = 2t vμ 3x = 3t +

2π

Khi đó (1) ⇔ sin2t = 5sint + cos(3t +

2

π ) ⇔ sin2t = 5 sint - sin3t

⇔ sin3t + sin2t = 5sint ⇔ 3sint - 4sin3

3cos

2

t t t

⇔ x =

6

π + kπ, k ∈  Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

Khi đó (2) ⇔ sint = 1sin( 3 )

2 πư t ⇔ 2sint = sin3t ⇔ 2sint = 3sint - 4sin3

⇔

sin 0

1cos 2

2

t t

3

x k x

k x

325421514

215

4

π) (3)

Giải

Đặt t = x +

4

π suy ra

Khi đó (4) ⇔ 2cost = sin(3t -

2

π) - cos(3t -

2

π)

⇔ 2cost = - cos3t - sin3t ⇔ 2cost = - (4cos3

t - 3cost) - (3sint - 4sin3

π)

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

x

+ 1 = 3cos8

5

x

Bμi toán 3: Giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc

Để giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa

Bước 2: Thực hiện hạ bậc của phương trình bằng việc sử dụng các công thức:

+

ưChú ý: sinx.cosx = 1

2sin2x

Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức có dạng:

= sinx.cos3x + cosx.sin3x - (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx

x x

⇔ (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0

⇔ - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = 0 ⇔ - 2sin9x(sin3x + sinx) = 0

ππ

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) Thông thường ta không đi

hạ bậc tất cả các nhân tử đó mμ chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: Giải phương trình

= sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos2

2x.sin2x.cos6x - sin6x.cos2x.sin2

2x = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x)

= sin8x - 1

2sin4x.cos4x =

3

4sin8x Cách 2: Ta có:

VT = 1

4(3sin2x - sin6x)cos6x +

1

4(3cos2x + cos6x).sin6x = 3

4(sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) =

3

4sin8x Phương trình được biến đổi về dạng:

k k x

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Việc hạ bậc trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng ta đánh giá đúng đắn mối liên hệ giữa các cung

2 + cos3t = 3cos2t ⇔ 2 + 4cos3

4

1 21cos

4

t t

5

25

x

x k k

B×nh luËn: Víi c¸c ph−¬ng tr×nh chøa c¸c nh©n tö bËc cao h¬n 3 ta tiªn hμnh h¹ bËc dÇn tõng b−íc mét

VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin4x + sin4(

4

x+ ) + sinπ 4

(4

x− ) = π 9

8Gîi ý: H¹ bËc ®−a ®−îc ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2cos22x + cos2x - 1 = 0

b sin4

x + cos4

(x + 4

π) = 14

π) = 1

Bμi toán 4: Biến đổi phương trình lượng giác thμnh phương trình tích

Việc biến đổi phương trình lượng giác về phương trình tích phụ thuộc vμo các phép biến đổi dạng:

1 Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thμnh tích

7 Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp

Ta đưa phương trình cần giải về phương trình dạng tích: A.B = 0 ⇔ 0

0

A B

=

⎡

⎢ =

⎣trong đó các phương trình A = 0, B = 0 lμ các phương trình có dạng chuẩn

Với các bμi toán có tham số, để xác định điều kiện sao cho phương trình có đúng k nghiệm trên miền

D, ta cần chú ý tới số nghiệm của mỗi phương trình thμnh phần

Dạng 1: Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích

Ví dụ 1 Giải phương trình: 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 (1)

x

.cosx = 0

⇔

23

Vậy phương trình có hai nghiệm

Cách 2: Biến đổi về phương trình chứa một hμm lượng giác

(1) ⇔ 1 + cosx + 2cos2

x - 1 + 4cos3

x - 3cosx = 0 ⇔ 4cos3

x + 2cos2x - 2cosx = 0 ⇔ (2cos2

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Cách giải 1 lμ đơn giản hơn Nhưng nếu VP của phương trình lμ hằng số khác không hoặc chứa

tham số thì cách 2 lμ sự lựa chọn tối ưu

Ví dụ 2: Giải phương trình:

cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 (2)

Giải

Ta có (2) ⇔ (cosx + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0

⇔ 2cos2x.cosx + 2cos3x.cosx = 0 ⇔ 2cosx(cos2x + cos3x) = 0

⇔ 2.cosx.cos5

2

x

.cos2

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách nhóm theo hiệu hai góc bằng nhau do đó đương nhiên có thể

nhóm theo (cosx + cos2x) + (cos3x + cos4x) = 0 Ngoμi ra còn có thể nhóm theo tổng hai góc bằng nhau

(cosx + cos4x) + (cos2x + cos3x) = 0

Dạng 2: Phương pháp biến đổi tích thành tổng

Ví dụ: Giải phương trình:

cos2

⇔ cos2x cosx + cos2

x + cos2x.sinx - cosx.sinx = 1

⇔ cos2x.cosx + 1 - sin2

x + cos2x.sinx - cosx.sinx = 1

⇔ cos2x(cosx + sinx) - sinx(cosx + sinx) = 0

⇔ (cosx + sinx)(cos2x - sinx) = 0

22

Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn phép biến đổi: cos2x = 2cos2

x - 1 bởi hai nhân tử còn lại lμ 2cos3

x (cos hệ số 2) vμ sinx (sin hệ số 1)

Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi:

Vậy phương trình có hai nghiệm

Bình luận: Như vậy chúng ta đã có được phương pháo suy luận trong việc lựa chọn hai hướng biến đổi cho

cos2x Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn phép biến đổi: cos2x = cos2x - sin2x

x + cos3x = cos2x - sin2x

⇔ (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx + sinx - cosx) = 0

π + π ∈

Giải (2): Ta được 2

,2

Bình luận: Đôi khi việc nhóm các toán tử trong đầu bμi lại lμm tăng độ phức tạp của bμi toán Khi đó để tiện

cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi học sinh nên chú ý chuyển phương trình về dạng đơn

8

x x

Biến đổi phương trình về dạng:

5sin3x = 3sin5x ⇔ 2sin3x = 3(sin5x - sin3x)

⇔ 2(3sinx - 4sin3x) = 6.cos4x.sinx ⇔ (3 - 4sin2

1 2arccos( )

B×nh luËn: Bμi to¸n trªn häc sinh còng cã thÓ gi¶i theo ph−¬ng ph¸p t¸ch dÇn:

sin3x = 3sinx - 4sin3x

sin5x = sin(4x + x) = sinx.cos4x + cosx.sin4x

= sinx.cos4x + 2cosx.sin2x.cos2x = sinx.cos4x + 4cos2

⇔ (1 - sinx)[(1 + cosx)(1 + sinx) - 2] = 0

⇔ (1 - sinx)(cosx + sinx + sinx.cosx - 1) = 0

π + π ∈

Gi¶i (2): Ta ®−îc

2,22

a) 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2

b) 2sinx + cotx = 2sin2x + 1

= 5cos3

x.sin2

Nh©n c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi 2 cos

x ⇔ sin3x + sin2x = 5cos3

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn, ph−¬ng tr×nh cã 5 nghiÖm

x k

πππ

- 2t - 1 = 0 ⇔ 1 2

t t

−

⇔

42

Gi¶i (2): §Æt sinx + cosx = t,

⇔ sin(x +

4

π) = 1 2

9sinx + 6cosx - 6sinx.cosx + cos2x = 9 - 1

⇔ 9(sinx - 1) - 6cosx(sinx - 1) + cos2x + 1 = 0

⇔ 3(sinx - 1)(3 - 2cosx) + 2cos2

x = 0

⇔ 3(sinx - 1)(3 - 2cosx) + 2(1 - sin2

x) = 0

⇔ (sinx - 1)(9 - 6cosx - 2sinx - 2) = 0

⇔ (sinx - 1)(2sinx + 6cosx - 7) = 0

cos10x + 1 + cos8x = cosx + 2(4cos33x - 3cos3x)cosx

⇔ (cos10x + cos8x) + 1 = cosx + 2(4cos3

(2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) - 3 + 4(1 - sin2x) = 0

⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 1 - 4sin2

2 ,2

6cos 4 1

2(sinx + cosx)sin2x = sin2x

⇔ sin2x( sinx + cosx + 2) = 0 ⇔ sin2x = 0 (v× sinx + cosx ≤ 2)

⇔ cos4

x(sinx + cosx) + sin6

x(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0

sinx = 0 sin x = 1

cosx = 0 sin x = -2

Vậy phương trình có hai nghiệm

x + cos2x - sinx = 0 c) sin3x - sinx + sin2x = 0

Bμi tập 2: Giải các phương trình sau

a) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

b) sin3x - 2

3sin

2

x = 2cos2x.sinx Bμi tập 3: Giải các phương trình sau

a) 3tan3x + cot2x = 2tanx + 2

sin 4x

b) cotx - tanx = sinx + cosx

Bμi tập 4: Giải các phương trình sau

a) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin3

3x b) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0

c) 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1

Bμi tập 5: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + cos3x = sinx - cosx

b) sin2

x.cosx - cos2x + sinx - cos2

x.sinx - cosx = 0 c) sin3

x - cos3

x = sinx + cosx d) 2cos2x - sin2x = 2(sinx + cosx)

Bμi tập 6: Giải các phương trình sau:

a) sinx(1+ cosx) = 1 + cosx + cos2x

a) sin3x.sin6x = sin9x

b) 1 + tanx = 1 sin 22

cos 2

x x

ư

Bμi tập 8: Cho phương trình

(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2

x a) Giải phương trình khi m = 1

b) Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0; π]

Bμi toán 5: Biến đổi phương trình lượng giác thμnh tổng các đại lượng không âm

Phương pháp:

Các đại lượng không âm trong lượng giác bao gồm:

A2

, A , 1 ± cosx, 1 ± sinx

Do đó để sử dụng phương pháp nμy giải phương trình lượng giác ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta biến đổi phương trình ban đầu vê dạng:

00

0

n

A A

21tanx = - (2)

3Giải (1): x = 2 ,