tài liệu lượng giác 11

Các công thức lợng giác thờng gặp1.. Dạng 2: Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác1.. Ph ơng pháp : Đặt t=fx, đa về phơng trình bậc nhất hoặc bậc hai theo ẩn t - Ph

Các công thức lợng giác thờng gặp

1 Công thức cộng:

• cos(x+y)=cosx.cosy-sinx.siny ; c, cos(x-y)=cosx.cosy+sinx.siny

• sin(x+y)=sinx.cosy+cosx.siny ; d, sin(x-y)=sinx.cosy-cosx.siny

2 tan tan 2

1 tan

x x

x

=

− ; f, tan(x y− ) =1 tan tantanx−xtany y

+

2 Công thức nhân đôi:

• sin2x=2sinx.cosx

• cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

tan 2

1 tan

x x

x

=

−

3 Công thức nhân ba:

• sin3x=3sinx-4sin3x

• cos3x=4cos3x-3cosx

• tan 3 (3 tan2 ).tan2

1 3tan

x

x

−

=

−

4 Công thức biến đổi tích thành tổng:

• cos cos 1[cos( ) cos( )]

2

x y= x y+ + x y− ; sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

• sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

x y = x y− − x y+ ; cos sin 1[sin( ) sin( )]

2

5 Công thức biến đổi tổng thành tích:

• cos cos 2 cos cos

x y x y

; cos cos 2sin sin

x y x y

• sin sin 2sin cos

; sin sin 2 cos sin

6 Công thức hạ bậc:

Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c

D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n

1 NhËn d¹ng vµ ph ¬ng ph¸p gi¶i:

2

α π α

π α π

= +



2

α π α

α π

= +



= = ⇔  = − + ∈ − ≤ ≤

2

x m= = α ⇔ = +x α k xπ ≠ +π k k Zπ ∈

• cotx m= =cotα ⇔ = +x α kπ(x k≠ π,k∈Z)

* Häc thuéc lßng:

, sin 0 ,

, sin 1 2 ,

2

2

2 , cos 1 2 ,

π

π

+ =− ⇔ =− + ∈

2 C¸c vÝ dô:

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau:

1

1 sin ; 2 2sin 3

2

3 cos 2 ; 4 cos(3 1)

5 tan 1; 6 cot(2 1) 0

7 sin(2 ) sin( ); 8 cos(4 ) cos( )

9 sin 3 cos 2 ; 10 cos(2 ) sin( ) 0

11 cos 3 sin ; 12 cot( ) ; 13 sin 2

14 sin(2 ) sin(3

4

π

− + + ) 0; 15 tan( (cos sin )) 1

π

3 Bµi tËp:

3

1 sin

2

2 2 sin(5 3) 4

2

3 cos 2

2

4 2 cos(7 1) 1

5 tan 4 1

6 3 cot(2 3) 1

7 sin(4 ) sin( 2 )

1

8 cos( ) cos( )

3

9 sin cos(4 )

10 cos(3 ) sin( ) 0

11 3 cos sin

1

12 cot( ) 1

6 3

1

13 sin(3 6)

4 14

x x x

x x

x

x x

π

π

=

=−

=−

=

2 sin( ) sin(5 ) 0

15 cot( (cos sin )) 1

4

π

Dạng 2: Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác

1 Nhận dạng và ph ơng pháp giải:

Nhận dạng: af(x)+b=0

af2(x)+bf(x)+c=0 (a≠0)

trong đó f(x) là một trong 4 hàm số: sinx, cosx, tanx, cotx

Ph

ơng pháp : Đặt t=f(x), đa về phơng trình bậc nhất hoặc bậc hai theo ẩn t

- Phơng trình cơ bản có thể không cần đặt

- Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì phải có điều kiện |t|≤1

Các công thức cần nhớ trong phần này:

2

,sin cos 1 sin 1 cos ;cos 1 sin

, tan ;cot

,sin 2 2sin cos ;cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

x

−

−

cos 2 2

x

+

2 Các ví dụ:

Giải các phơng trình lợng giác sau:

2 2

2

2 2

2 2

1

cos

1

sin

19

3 cos

sin

x

x x

x

x

x

x x x

− =

+

Chú ý: Thử điều kiện loại nghiệm: Khi bài toán có điều kiện ban đầu, ta phải xét xem

nghiệm sau khi tìm đợc có thỏa mãn điều kiện đã cho hay không, bằng các cách:

Cách 1: Thay trực tiếp nghiệm vừa tìm đợc vào điều kiện rồi kết luận

Cách 2: Dùng đờng tròn lợng giác

- Biểu diễn các họ nghiệm trên đờng đờng tròn lợng giác

- Biểu diễn điều kiện trên đờng tròn lợng giác

- Loại bỏ những điểm trùng nhau, suy ra họ nghiệm của bài toán

3 Bài tập:

2 2

2

2

2

2

1 2 sin 3 0

2 6 cos 5 cos 4 0

3 3 tan 3 3 tan 3 6 0

4 2 sin cos 4 sin 2 0

4

cos 5

6 1 5sin( ) 2 cos ( ) 0

7 cos 2 sin 2 cos 1 0

8 3sin 2 4 sin 5 0

3

sin

9 cos 5sin 5 cos 4

1 2 cos

x

x x

x x

x

−

Dạng 3: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng và ph ơng pháp giải:

Nhận dạng: asinx+bcosx=c (1)

Ph ơng pháp giải:

B

ớc 1 : Kiểm tra

+, Nếu a2+b2<c2, khi đó (1) vô nghiệm

+, Nếu a2+b2≥c2, thực hiện bớc 2

B

ớc 2 : Chia hai vế của phơng trình (1) cho a2 +b2 , ta đợc:

2a 2 .sinx 2b 2 .cosx 2c 2

Vì:

2a 2 2b 2 1

    , nên tồn tại góc α sao cho:

2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b = α a b = α

(1) trở thành:

2 2

2 2

sin cos cos sin

sin( )

c

a b c

x

a b

α

+

+ Trở về phơng trình cơ bản đối với sin đã làm ở dạng 1

Ghi nhớ:

,sin cos 0 ,

4 ,sin cos 0 ,

4

2 Các ví dụ:

Giải các phơng trình lợng giác sau:

3

1 3 sin 3 cos3 2; 2 sin 2cos 5

3 sin (3 3 cos ); 4 3sin 4cos

5 sin 3 cos 3 cos 2 sin 2 ; 6 2cos (sin 1) 3 cos 2

7 2sin 3 sin 2 3 cos 2 0; 8 cos 3 sin 2 sin 1

9 3sin 3 cos3 4sin 1

10 2cos sin 2 3(cos 2 sin

3 Bµi tËp:

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau:

1 3 sin 2 cos 2 2

2 5sin 12cos 12

3 sin 3 2 cos cos( 3 )

5

4 3sin 4cos

2

5 3 sin 3 cos 2 3 sin 2 cos3

6 (1 3)sin (1 3) cos 2

7 3sin( ) 4cos( ) 5cos 2011 0

8 3 sin( ) sin( ) 2sin1972 0

9 2 cos( ) 6 sin(

5 12

x

π

π

10 3cos sin 2 3(cos 2 sin )

Dạng 4: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng và ph ơng pháp giải:

Nhận dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (1)

Ph

ơng pháp giải:

B

ớc 1 : Với cosx=0 ⇔ ,

2

x= +π k k Zπ ∈

Khi đó (1) có dạng: asin2x=d

+, Nếu a=d, thì (1) nhận ,

2

x= +π k k Zπ ∈

làm nghiệm

+, Nếu a≠d, thì (1) không nhận ,

2

x= +π k k Zπ ∈

làm nghiệm

B

ớc 2 : Với cosx≠0 ⇔ ,

2

x≠ +π k k Zπ ∈ ,

2

x≠ +π k k Zπ ∈

Chia hai vế của phơng trình (1) cho cos2x≠0, ta đợc:

2

2

2

sin sin cos

cos cos tan tan (1 tan ) 0 ( ) tan tan 0

Đặt t=tanx, suy ra phơng trình bậc hai đối với tanx

B

ớc 3 : Giải phơng trình theo ẩn t, rồi suy ra ẩn x

2 Các ví dụ:

Giải các phơng trình lợng giác sau:

2

1

cos

7 8 cos

x

x

3 Bµi tËp:

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau:

2

3

2 3

3

1 sin 6sin cos cos 2

4

2 2sin sin 2 5cos 2

3

3 3 sin 2 2 2sin

4 sin 5sin cos 7sin cos 2cos 0

5 sin sin cos

6 (tan 1)sin 3(cos sin )sin 3

7 sin ( ) 2 sin

4

8 sin 3 3cos

1 tan

9 1 si

1 tan

x x

π

+ =

− =

=

+

n 2

10 (sin 2 cos ) (sin 2cos )(5 7 sin 2 7 cos ) cos cos 0

x

Dạng 5 : Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng và ph ơng pháp giải:

* Nhận dạng: a.(sinx+cosx)+b.cosxsinx+c=0 (1)

* Phơng pháp giải:

B

ớc 1 : Đặt sinx+cosx=t, t ≤ 2 sin cos 2 1

2

t

2

t

at b+ − + = ⇔c bt + at+ c b− = (2)

B

ớc 2 : Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện: t ≤ 2

0

t

2 Các ví dụ:

Giải các phơng trình lợng giác sau:

2 2

2 (1 cos )(1 sin ) 0

4 6(sin cos ) sin cos 6 0

6 3(tan cot ) 4(tan cot ) 2 0

x

9 3(tan cot ) 2( 3 1)(tan cot ) 4 2 3 0

x

=

3 Bµi tËp:

2 (1 cos )(1 sin ) 2

x

π

5 sin3 x + cos3 x − 3sin cos x x + = 1 0

2 2

3

sin

9 (tan 7) tan (cot 7) cot 14 0

x

Dạng 6: áp dụng các công thức biển đổi tổng hợp: Công thức cộng, công thức nhân đôi,

công thức nhân ba, công thức biến tích thành tổng, công thức biến tổng thành tích

Bài tập tổng hợp:

Giải các phơng trình lợng giác sau:

3

sin 3 sin 5 4

=

2

0

10 3sin 3 3 cos 9 1 4(1 cos 3 ) sin 3

x

=

11 sin11 sin 7 sin 6 sin 2

3

2 1

14 cos sin 3 sin cos 3 sin 4

3

2

x

π

π π

=

−

2

2

2

19 cot tan 4 sin 2

sin 2

x x

x

x

x

+

− = + +

Một số đề luyện thi đại học phần lợng giác

Giải các ph ơng trình l ợng giác sau :

2

4 sin 2 6 sin 3 cos 2 9

cos

2 1 2 cos 3 sin 2 3(sin 3 cos )

3 cos ( ) sin ( )

1

4 3(sin ( ) cos ( )) 2 cos sin 2

5 sin 4 2 cos 3 4 sin cos

6 cos 3 sin 2 1 sin (2 cos 1)(2 sin cos )

sin 2 sin c

8

x

− 2

3

os (cos 1)

2(1 sin ) sin cos

9 sin 2 2 cos sin 1

cos

1 sin

1

12 (sin cos ) sin 4 1 sin

2

13 tan 3cot 4(sin 3 cos )

14 4 cos cos 2 4 cos 1 0

15 4(sin cos ) sin 4 2 0

x

x

x x

x

π

− = + +

= +

−

16 (2 cosx− 1)(2 sin x+ cos )x = sin 2x− sin x