HINH HOC GIAI TICH TRAN PHUONG

Giải Nhận xét: Do A2; −7 có tọa độ không thỏa mãn phương trình một trong hai đường thẳng đã cho nên các đường cao và trung tuyến không đi qua A2; −7.. Phương trình đường thẳng AB là: x+

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG:

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số: PT đt (∆) đi qua M0(x0, y0) và có VTCP v=(a a1; 2)

5 Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với hệ số góc k là: y=k x( −x0)+y0

6 Phương trình đt (∆) đi qua M0(x0, y0) với VTPT n=(A B; )

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG

1 Dạng tham số: (∆1) đi qua M1(x1; y1): 1 1 ( )

V KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẦN GIÁC

VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;−2) Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua điểm M(3;1) và cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho tam giác ABC cân

Với b= − : ( )c 1 ⇔b= ⇒ = − (loại, do trùng với 2 c 2 (∆2))

Bài 2 Cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; –3)

a Giả sử hai đường cao (BH): 5x+3y−25= , (CK): 30 x+8y−12=0 Hãy viết phương trình cạnh BC

b Giả sử đường trung trực của AB là (∆): 3x+2y−4= và G(4; – 2) là 0trọng tâm của tam giác ABC Xác định tọa độ các đỉnh B và C

Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù

Bài 3 Cho (d1) : x+ y+ =5 0; (d2) : x+2y−7= và điểm 0 A(2; 3)

Tìm B∈(d1) và C∈(d2) sao cho ∆ABC có trọng tâm G(2; 0)

Bài 4 Cho (∆1) :x−y+ =1 0 ; (∆2) : 2x+y+ = và điểm M(2;1) 1 0

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt (∆1), (∆2) lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài 5 Cho (∆1) : 2x−y+ =5 0 ; (∆2) :x+ y− = và điểm M(–2; 0) 3 0

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt (∆1), (∆2) lần lượt tại A và B sao cho MA=2 MB

Bài 6 Cho ∆ABC có đỉnh A(2;−7) phương trình một đường cao và một trung

tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là: 3x+y+11 0,= x+2y+7= 0Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Giải Nhận xét: Do A(2; −7) có tọa độ không thỏa mãn phương trình một trong hai

đường thẳng đã cho nên các đường cao và trung tuyến không đi qua A(2; −7) Đặt (BH): 3x+ y+11 0= và (CM): x+2y+7= 0

Ta có: B∈(BH)⇒B ; 3(t − t−11) Gọi M là trung điểm AB khi đó tọa độ M là

 Tam giác ACK cân tại C nên

I là trung điểm của AK ⇒ Tọa độ của K: 2 1 ( 1; 0)

Bài 8 Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M(4; 1) và cắt các tia Ox, Oy

lần lượt tại A và B theo các trường hợp sau:

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là (∆1) : 5x+y−11 0 ; (= ∆2) :x−5y+ = 3 0

Bài 10 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1; 0), B(0; 2)

và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y=x Tìm tọa độ đỉnh C và D

Giải

Suy ra hai điểm A và B nằm cùng phía

đối với đường thẳng (d)

1 Gọi A′ là đối xứng của A qua (d)

⇔ = ∩ Phương trình đường thẳng (AB) là: x+2y−12= 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

a Chứng minh khi k thay đổi (D1) luôn luôn qua một điểm cố định

b Tìm giao điểm của (D1) và (D2) suy ra quỹ tích giao điểm này khi k thay đổi

 Vậy (D1) luôn qua điểm A(–1, 0)

b Tọa độ giao điểm của (D1) và (D2) là nghiệm của hệ phương trình

Do đó quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính R = 1

Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(0; 1), B(2; 1) và các đường thẳng

a Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau

b Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao cho PA + PB lớn nhất

nên d1⊥d2tại điểm P

Để ý rằngA∈d B1, ∈d2 và AB =2 2nên theo bất đẳng thức Bunhiacôpski thì

A XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC

1 VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, −1); B(3, 5)

2 VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C(−1, 2)

3 VPT đường tròn đi qua A(2, 3); B(−1, 1) và tâm ∈ x−3y−11 0=

4 VPT đường tròn tâm I(1, 2) và tiếp xúc ( )D :x−2y−2= 0

5 VPT đường tròn đi qua A(1, 2) và tiếp xúc ( )D : 3x−4y+2= tại (−2, −1) 0

6 VPT đường tròn đi qua A(6, 3); B(3, 2) và tiếp xúc ( )D :x+2y−2= 0

7 VPT đường tròn tâm ∈( )∆ :x+ − = ;y 5 0 R = 10 và tiếp xúc ( )D :3x+ − = y 3 0

8 VPT đường tròn tâm I(3, 1) và cắt ( )∆ :x−2y+4=0 một đoạn có độ dài = 4

9 Viết phương trình đường tròn tâm ∈( )∆ : 4x+3y−2=0 và tiếp xúc với (D1):x+ y+4= và 0 (D2): 7x−y+4= 0

10 Viết phương trình đường tròn đi qua O(0, 0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng

:::

tiÕp xóc trong ngoµi nhau trong nhau

D QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN

1 (C m):x2 +y2 +4mx−2my+2m+ =3 0

2 (C m):x2 +y2 −2 e−m x+4 em y− +1 e−2m = 0

3 (Cα):x2 + y2 −2 cos( α−2)x−(2 sinα)y + = 1 0

4 (Cα):x2 + y2 −2 1( +cosα)x+2 1 sin( − α)y+sinα −2=0

E ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH

1 Dα :(x−1 cos) α+(y−1 sin) α −4= 0

2 Dα : cosx α +ysinα +2 cosα + = 1 0

3 Dα : sinx α −ycosα +3sinα +2 cosα −6= 0

4 Dα : cosx α +ysinα −2 cosα −sinα − =9 0

5 Dα : cos 2x α −ysin 2α +cos2α − =3 0

F TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN

1 VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2

C x + y − x− y − = với Ox

2 VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( )C :x2 + y2 −x−7y= với 30 x+4y− = 3 0

3 VPT tiếp tuyến của ( )C :x2 +y2 −2x+8y+ = // với 51 0 x+12y−6= 0

4 VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2

C x +y − x+ y+ = // với 2x+y+4= 0

5 VPT tiếp tuyến của ( )C :x2 +y2 −6x−2y+ = ⊥ với 25 0 x− y− =1 0

6 VPT tiếp tuyến của ( )C :x2 +y2 −6x+2y= ⊥ với 30 x−y+6= 0

7 VPT tiếp tuyến của ( )C :x2 +y2 +2x−8y−19= (45°) với 20 x−y+ = 1 0

8 VPT tiếp tuyến a Đi qua A(1, −1) đến: ( ) 2 2

C x +y − x+ y+ =

b Đi qua A(−3, 3) đến: ( )C :x2 + y2 −x−7y= 0

c Đi qua A(1, 3) đến: ( ) 2 2

C x +y − x+ y+ =

d đi qua A(3, 4) đến: ( )C :x2 +y2 −4x−2y= 0

e Đi qua A(5, 7) đến: ( )C :x2 +y2 −4x−4y− = 5 0

g đi qua A(4, 7) đến: ( )C :x2 + y2 +2x−4y= 0

f Đi qua A(−3, −1) đến: ( ) 2 2

C x + y − x− y=

a Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn (C m)

b CMR: Có 2 đường tròn của họ (C m) tiếp xúc với (C) Viết PTTT chung khi đó

G ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐƯỜNG TRÒN TRÒN CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

1 Cho 8a+6b a= 2 +b2+16 Tìm Max, Min S=4a+3b

VI MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường

thẳng (∆):x−2y+4= một dây cung có độ dài bằng 4 0

Giải

Giả sử (C) chắn trên ∆ một dây cung có độ dài bằng 4

Từ I kẻ IH ⊥ AB tại H thì H là trung điểm của AB

Bài 2 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(–1, 1) và

có tâm nằm trên đường thẳng ∆:x−3y−11 0=

Giải Cách 1: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C) Ta có:

Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương trình

đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10

Bài 4 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :∆ x+ y− = ; 5 0

bán kính R = 10 và tiếp xúc với đường thẳng ( )d :3x+ y− = 3 0

= − ⇒ −

Vậy có hai đường tròn cần tìm là:

Bài 5 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :2∆ x+y= 0

và tiếp xúc với đường thẳng ( )d :x−7y+10= tại điểm A(4; 2) 0

Giải Cách 1: Ta có tâm I∈ ∆ ⇒( ) I t( ; 2− t) 2

Cách 2: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C)

Gọi (d′) là đường thẳng vuông góc với (d) tại A ⇒(d′):7x+ y+ = c 0

A∈ d′ ⇒ = −c ⇒ d′ x+ y− =

Do (C) tiếp xúc với (d) tại A nên I∈(d ′)

Mặt khác I ∈ ∆( ) nên tọa độ I thỏa mãn hệ

Bài 6 Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 5 và tiếp xúc với

đường thẳng ( ) :3∆ x−4y−31 0= tại điểm A(1; –7)

Bài 7 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với

đường thẳng ( ) :∆ x+2y− = tại điểm B(3; 1) 5 0

Bài 8 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :4∆ x+3y−2= ; 0

tiếp xúc với hai đường thẳng ( )d1 :x+ y+4=0 và ( )d2 :7x− y+4=0

Bài 9 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(2; 0) và

khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5

Giải

Gọi I(a; b) và R lần lượt là tâm và bán kính của (C)

Do (C) tiếp xúc với trục Ox tại A nên ta có: x I =x A = ⇒2 I(2;b) và R= b

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(6; 2), bán kính R = 2

Gọi I1(a b; ), R1 lần lượt là tâm và bán kính của ( )C1

( )C1 tiếp xúc với hai trục Ox, Oy nên ta có: d I Oy( 1, )=d I Ox( 1, )=R1

1 1

1

,,

Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 7), B(4; –3), C(–4; 1) Hãy

viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC

Giải

Gọi I(a; b), R lần lượt là tâm và bán kính của (C)

Gọi M(x; y) là chân đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC

21

Phương trình đường tròn (C) là: ( )2 ( )2

Bài 13 Lập phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C): ( )2 ( )2

x− + y+ = theo một dây cung có độ dài bằng 8

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5

Phương trình đường thẳng qua O là: ( 2 2 )

ax+by= a +b >

Giả sử ( )∆ cắt (C) theo dây cung AB có độ dài bằng 8

Kẻ IH ⊥ ( )∆ tại H thì H là trung điểm của đoạn AB 4

2

AB HA

Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn

(C) có phương trình: x2 + y2 +2x−4y−20= và điểm A(3; 0) Viết phương 0trình đường thẳng ( )∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung

MN sao cho a MN có độ dài lớn nhất b MN có độ dài nhỏ nhất

Giải

a Đường tròn (C) có tâm I(–1,2), bán kính R = 5

Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của (C)

Do đó ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, I

Kẻ IH ⊥ MN tại H Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất

Ta có: IH ≤IA=2 5⇒IHmax =2 5 khi H≡A⇒ ∆ ⊥( ) IA tại A

( )∆ qua A và nhận IA

 làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:

Giả sử ( )∆ chia hai đường tròn (C)

thành hai cung
AmB và
AnB sao cho:

sđ
AmB = 2 sđ
AnB ⇒ sđ
AnB =120° ⇒ AIB =120o

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3

Phương trình đường thẳng (d) qua M có dạng:

VII TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT:

(C1) có tâm I1(a b1; 1) bán kính R1 và (C2) có tâm I2(a b2; 2) bán kính R2 Xét (∆): Ax+By+C=0 ( 2 2 )

2 PHƯƠNG PHÁP TIẾP ĐIỂM:

Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại M x( 0,y0)∈( )C1 , khi đó

Giải: (C1) có tâm I1 ≡O(0; 0) bán kính R1 = 2;

( ) ( )2 ( )2

C x− + y− = có tâm I2(1;1) bán kính R2 = 1

Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại M x( 0,y0), khi đó x02 +y02 =4 (1)

và phương trình tiếp tuyến có dạng: (∆): x x0 + y y0 −4= 0

Đường thẳng (∆) tiếp xúc với (C2) ⇔ ( ) 0 0

3 PHƯƠNG PHÁP XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒN:

TH1: I I1 2 >R1+R2 ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung

Nếu R1=R2 thì 2 tiếp tuyến chung ngoài // I I1 2, 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K là trung điểm của I I1 2

Nếu R1≠R2 thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J và 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K

TH2: I I1 2 =R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài ⇒ có 3 tiếp tuyến chung

Nếu R1 =R2 thì 2 tiếp tuyến chung ngoài song song với I I1 2, tiếp tuyến chung trong đi qua tiếp điểm K là trung điểm của I I1 2 và vuông góc với I I1 2

Nếu R1 ≠R2 thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, tiếp tuyến chung trong

đi qua tiếp điểm K của (C1), (C2)

TH3: R1−R2 <I I1 2 <R1+R2 ⇒ (C1) và (C2) cắt nhau ⇒ có 2 tiếp tuyến chung

Nếu R1 =R2 thì 2 tiếp tuyến chung song song với I I1 2 Nếu R1 ≠R2 thì 2 tiếp tuyến chung cắt nhau tại J

TH4: I I1 2 = R1−R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc trong ⇒ có 1 tiếp tuyến chung

Nếu R1 ≠R2 thì (C1) và (C2) có 1 tiếp tuyến

chung tại tiếp điểm K của 2 đường tròn

Nếu R1 =R2 thì 2 đường tròn trung nhau

⇒ vô số tiếp tuyến chung

TH5: I I1 2< R1−R2 ⇒⇒ (C 1 ) và (C 2 ) nằm trong nhau ⇒⇒⇒ không có tiếp tuyến chung

Sau khi tìm được tọa độ của J và K, ta viết phương trình tiếp tuyến chung theo phương pháp sau:

Cách 1: Đường thẳng đi qua J là (∆): A x( −x J)+B y( −y J)= 0 (A2 +B2 >0)

⇒ Tính B theo A hoặc tính A theo B, rút gọn ⇒ (∆)

Cách 2: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại M x( 0,y0), khi đó

Giải: (C1) tâm I1(−2; 0) , R1 = 1; (C2) tâm I2(4; 0), R2 = 2

Ta có: I I1 2 =6>R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K

Đường thẳng đi qua J có phương trình (∆): A x( +8)+By= 0 (A2 +B2 >0)

Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Giải: (C1) tâm I1(1;1), bán kính R1 = 1; (C2) tâm I2(− −2; 3), bán kính R2 = 4

Ta có: I I1 2 = =5 R1+R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài tại K

⇒ có 3 tiếp tuyến chung Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J

II XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ELIP THEO CÁC YẾU TỐ

Bài 1 Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F1(−8; 0); F2(8; 0) và e = 4/5

Bài 2 Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F1(0; −4); F2(0; 4) và e = 4/5

Bài 3 Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F1(−6; 0); F2(6; 0) và 5

Bài 5 Viết PT elip (E) biết 2 tiêu điểm F1(−7; 0); F2(7; 0) và đi qua M(−2; 12)

Bài 6 Viết PT elip (E) biết 4 đỉnh là: A1(−6; 0), A2(6; 0), B1(0; −3), B2(0; 3)

Bài 7 Viết phương trình của elip (E) biết 2 đỉnh của (E) là: (−4; 0), (0; 15)

Bài 8 Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên trục Ox,

đi qua điểm M(8, 12) và MF =1 20

Bài 9 Viết PT chính tắc của elip (E) biết độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách

hai đỉnh liên tiếp A1B1 = 5

Bài 10 Viết PT chính tắc của elip (E) biết một cạnh của hình chữ nhật cơ sở là

x − 2 = 0 với độ dài đường chéo bằng 6

Bài 11 Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên Oy,

e 1= 2 và khoảng cách 2 đường chuẩn là 8 2

Bài 12 Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên Ox,

M − 5; 2 ∈ E và khoảng cách 2 đường chuẩn là 10

Bài 13 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M1(2; 1), M2( 5;1 2)

Bài 14 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M 3 3; 2 , M1( ) 2(3;2 3 )

Bài 15 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M(5; 2 2 và e) 4

Bài 17 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M 4 2 1;

III MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1 ( )

2 2

y x

E + = Tìm điểm M ∈(E) thoả mãn: 1 Có tọa độ nguyên

2 Có tổng 2 tọa độ đạt: a Giá trị lớn nhất b Giá trị nhỏ nhất

x + = Tìm điểm M ∈ (E) thoả mãn:

a Bán kính qua tiêu điểm này bằng 2 lần bán kính qua tiêu kia ứng với M∈(E)

b M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 60°

c M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc 90°

Giải

M(x, y)∈(E) ⇔

2 2

a +b = > > Tiêu điểm F1(−c; 0) Tìm M∈(E):

a Đoạn F M1 ngắn nhất b Đoạn F M1 dài nhất

Giải

M(x, y) ∈ (E) ⇔

2 2

a Xét F M1 =a− ⇔c x = − ⇔ M(−a; 0) Vậy a F M1 ngắn nhất khi M(−a; 0)

b Xét F M1 =a+ ⇔c x = ⇔ M(a; 0) Vậy a F M1 dài nhất khi M(a; 0)

2 2

a +b = > > TÌm tọa độ M∈(E) sao cho tiếp tuyến

của (E) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất

x + = sao cho B, C đối xứng qua Ox

đồng thời thoả mãn ∆ABC đều

Do A∈Ox và B, C đối xứng qua Ox ⇒ ∆ABC cân tại A

suy ra ∆ABC đều ⇔ ( ,( )) 3

Với x0 = ⇒3 y0 =0(lo¹i) Với x0 = 0 ⇒ y =0 3 ⇒ B(0; 3 ,) (C 0;− 3)

Bài 7 Cho (E):

2 2

Bài 8 Cho elip (E): 2 2

1 x x

b y

2 0

2 1

2 2

/ 2

y x

Các điểm A, B di động trên (C1), (C2) sao cho Ox là phân giác của góc AOB

Gọi M là trung điểm AB, khi đó M ∈ (E):

2 2

Vậy quĩ tích M là elip (E) nhận A, B làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng 6

Vì A, B ∈ Ox và đối xứng nhau qua O nên (E) có dạng ( )

2 2

y x

Bài 13 Cho ( ) ( )2 2 ( ) ( )2 2

C x+ +y = C x− +y = Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C1), (C2) Tìm quĩ tích M biết:

a (C) tiếp xúc trong với (C1) và tiếp xúc ngoài với (C2)

b (C) tiếp xúc trong với (C1) và (C2)

169 144

y x

b M(x; y) là tâm: R1−R=MO R1; −R2 =MO2⇒MO1 +MO2 =R1 −R2 =16

Từ đó suy ra tập hợp các điểm ( )

2 2

64 39

y x

2 2

a + b = > > với các tiêu điểm F F1, 2

Chứng minh: Với mọi điểm M∈(E) ta luôn có: OM2 +MF MF1 2 =a2 +b2