Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự luận văn thạc sĩ

LỜI NÓI ĐẦU Năm 1990, N.Kehayopulu đã đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố yếu trong các nửa nhóm được sắp thứ tự và đã tìm được một số đặc trưng của chúng.. Ông cũng đã chứng minh được rằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN XUYÊN

VỀ MỞ RỘNG IĐÊAN TRONG NỬA

NHÓM SẮP THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 12.2011

MỤC LỤC

Trang MỤC LỤC ………1

LỜI NÓI ĐẦU .……….2

Chương 1 Các khái niệm và tính chất cơ bản về dàn và nửa dàn……… 4

1.1 Nửa dàn và dàn ……… …4

1.2 Cấu xạ và iđêan ……… ……… 12

1.3 Các quan hệ tương đẳng ………15

Chương 2 Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự ………… ….20

2.1 Sự mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự……… …20

2.2 Các iđêan n – nguyên tố ……… …25

KẾT LUẬN……….31

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….32

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1990, N.Kehayopulu đã đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố yếu trong các nửa nhóm được sắp thứ tự và đã tìm được một số đặc trưng của chúng Giả sử (S, ≤) là một nửa nhóm sắp thứ tự Khi đó S được gọi là ∧ - nửa dàn dưới quan hệ ≤ nếu S là một ∧ – nửa dàn (nghĩa là với mọi cặp phần tử a,b∈S có một cận dưới lớn nhất a∧b ∈ S, và thỏa mãn điều kiện: với mọi a,b,c ∈ S có c(a∧ b) = ca∧ cb và (a∧ b)c = ac∧ bc)

Năm 1995, K.P Schum đã mở rộng khái niệm iđêan nguyên tố thành khái niệm iđêan n - nguyên tố cho các ∧- nửa dàn như sau: Một iđêan I của S được gọi là n - nguyên tố (n≥ 2, n là số tự nhiên) nếu đối với mọi xi∈S, i = 1,2,…,

n sao cho x1x2x3… xn-2xn-1xn ∈ I, ít nhất n – 1phần tử của tập hợp {x2x3… xn-2xn-1xn , x1x3… xn-2xn-1xn , x1x2x4… xn-2xn-1xn , x1x2x3… xn-2xn , x1x2x3… xn-2xn-1} thuộc I , và đã chứng minh được rằng mọi iđêan nguyên tố của một nửa dàn được biểu diễn dưới dạng giao của các iđêan (n - 1) - nguyên tố Ông cũng đã chứng minh được rằng một ∧ - nửa dàn S là nguyên tố nếu và chỉ nếu mỗi iđêan của S là giao của các iđêan nguyên tố chứa nó, điều kiện đó tương đương với điều kiện: mỗi iđêan của S là một iđêan 3 – nguyên tố

Nội dung của luận văn này là dựa trên bài báo On the ideal extentions in

ordered semigroups của hai tác giả Xie Xiang – Yun và Wu Ming – Fen,

đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 54 năm 1996 (xem [7]) để tìm hiểu về

mở rộng của các iđêan nguyên tố và các iđêan n - nguyên tố trong các nửa nhóm được sắp thứ tự giao hoán

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Các khái niệm và tính chất cơ bản về dàn và nửa dàn

Trong chương này chúng tôi trình bày về nửa dàn và dàn, cấu xạ và iđêan trên nửa dàn, các quan hệ trên nửa dàn

Chương 2 Về mở rộng iđêan trong nửa nhóm sắp thứ tự

Trong chương này chúng tôi trình bày về sự mở rộng iđêan của các nửa nhóm được sắp thứ tự và các iđêan n – nguyên tố

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết

và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo,

cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 02 năm 2012

Tác giả

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ DÀN VÀ NỬA DÀN 1.1 Nửa dàn và dàn.

1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng Khi đó quan hệ

hai ngôi ≤ trên X được gọi là một quan hệ thứ tự bộ phận nếu với mọi x,y z∈

X, các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

P1.x ≤ x (phản xạ)

P2 Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y (phản xứng)

P3 Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z (bắc cầu)

(ii) Tập hợp X cùng với một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên nó được gọi là

một tập được sắp thứ tự bộ phận (partly ordered set) hay một « poset ».

(iii) Giả sử (X, ≤) là một poset và x, y ∈ X Nếu x ≤ y và x≠ y thì ta viết x < y và nói rằng x nhỏ hơn y hoặc x được thực sự chứa trong y Quan hệ

x ≤ y cũng được viết y ≥ x và đọc là « y chứa x » Tương tự, x < y cũng được viết là y > x…

1.1.2 Định nghĩa Giả sử (P, ≤) là một poset và X là một tập con của P Khi

đó phần tử a∈P được gọi là một cận trên (upper bound) của X nếu a chứa mỗi

x ∈ X Cận trên nhỏ nhất (least upper bound) của X là một cận trên của X

được chứa trong mỗi cận trên khác của X, được ký hiệu bởi l u b X hay sup

X Theo P2, sup X là duy nhất nếu nó tồn tại

Các khái niệm cận dưới (lower bound) của X – ký hiệu là g 1 b X hay

infX – được định nghĩa đối ngẫu Lại theo P2, infX là duy nhất nếu nó tồn tại

1.1.3 Định nghĩa Giả sử L là một poset Khi đó L được gọi là một dàn

(lattice) nếu thỏa mãn điều kiện: với cặp phần tử a,b thuộc L, cận trên nhỏ

nhất của chúng (ký hiệu a∧ b) và cận dưới lớn nhất của chúng (ký hiệu a∨ b) tồn tại và thuộc L.

Dàn L được gọi là dàn đầy đủ (complete) nếu mỗi tập con X của nó có một

cận trên nhỏ nhất và một cận dưới lớn nhất thuộc L

1.1.4 Định nghĩa (i) Quan hệ ≤ trên tập hợp S được gọi là một tựa – thứ tự

(quasi- ordering) nếu nó thỏa mãn các tiên đề P1 và P3 nhưng không thỏa mãn P2

(ii) Cặp (S, ≤) lúc đó sẽ được gọi là tập được sắp tựa thứ tự (quasi -

ordered set)

Các tập hợp tựa – thứ tự có thể được xây dựng từ các đồ thị định hướng Đó

là các tập hợp của các điểm liên thông được nối bằng các đoạn thẳng định hướng Hình 1a mô tả một đồ thị định hướng như vậy

Cho trước một đồ thị định hướng với các đỉnh x, y,…khi đó x < y được định nghĩa x = y hoặc tồn tại một quỹ đạo từ x đến y bằng hướng của các mũi tên Như vậy trong hình 1a có b ≤ e bởi vì quỹ đạo b → d, d → e Các quan hệ này rõ ràng bắc cầu Mặt khác, trong hình 1a có b ≤ e và e ≤ b nên luật phản xứng không đúng

(b, d, e)

(a) (c) (b)

Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ một poset được xây dựng từ một tựa thứ tự đã cho như thế nào.

1.1.5 Bổ đề Trong một tập tựa – thứ tự Q = (S, ≤), định nghĩa x ~ y khi và chỉ khi x ≤ y và y ≤ x Thế thì:

(i) ~ là một quan hệ tương đương trên S.

(ii) Nếu E và F là hai lớp tương đương đối với ~, thế thì x ≤ y hoặc không tồn tại x ∈ E, y ∈ F hoặc đối với mọi x ∈ E, y ∈ F.

(iii) Tập thương S/~ là một poset nếu E ≤ F được định nghĩa bởi x ≤ y đối với x ∈ E, y ∈ F nào đó.

Chứng minh.

(i) Vì x ≤ x đối với tất cả x ∈ S, nên ~ phản xạ Hơn nữa x ~ y và y ~ z kéo theo x ≤ y và y ≤ z nên x ≤ z theo P3 Tương tự, z ≤ x nên x ~ z và do đó

~ bắt cầu Quan hệ ~ đối xứng theo định nghĩa

(ii) Nếu x ≤ y đối với x ∈ E, y ∈ F nào đó, thế thì x x≤ ≤ ≤ 1 y y1 đối với tất

Trong đồ thị định hướng của hình 1a, các lớp tương đương là các tập { }a ,

{b,d,e}, { }c và poset tương ứng có biểu đồ phác họa trong hình 1b

Vì có Bổ đề 1.1.5 nên một tựa – thứ tự thường được gọi là một tiền thứ tự (pre-order)

Bổ đề 1.1.5 có nhiều ứng dụng, chẳng hạn được thể hiện trong ví dụ sau

1.1.6 Ví dụ Giả sử S là một nửa nhóm với đơn vị Ta định nghĩa một quan

hệ \ trên S như sau: a \ b nếu và chỉ nếu ac = b đối với c ∈ S nào đó Thế thì \

là một tựa - thứ tự trong S; các phần tử của S là “tương đương” theo ý nghĩa của Bổ đề 1.1.5 nếu và chỉ nếu chúng là “liên kết” theo nghĩa lý thuyết số Bây giờ ta hãy xét sâu hơn các tiên đề dàn

1.1.7 Mệnh đề Trong một poset tùy ý, các toán tử hợp và giao thỏa mãn các

tính chất sau đây.

L1 x ∧ x = x, x ∨ x = x (lũy đẳng) L2 x ∧ y = y∧ x, x ∨ y =y ∨ x (giao hoán) L3 x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) = (x∨ y) ∨ z (kết hợp)

∨ y =x được kiểm tra trực tiếp và suy ra L4 □

1.1.8 Mệnh đề Nếu một poset P có O thì O ∧ x = O và O ∨ x = x đối với mọi x ∈ P

Đối ngẫu, nếu P có một cận trên phổ dụng I, thế thì x ∧ I = x và x ∨ I = I đối với mọi x ∈ P

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ các định nghĩa □

1.1.9 Mệnh đề Trong một dàn tùy ý, các toán tử hợp và giao được bảo toàn

thứ tự nghĩa là

Nếu y ≤ z, thì x ∧ y ≤ x ∧ z và x ∨ y ≤ x ∨ z.

Chứng minh Theo L1 – L4 và luật phi mâu thuẫn có x ∧ y = (x ∧ x) ∧ (y

∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z), dó đó x ∧ y ≤ x ∧ z theo luật phi mâu thuẫn Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu □

Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ nguyên lý đối ngẫu □

1.1.11 Mệnh đề Các phần tử của một dàn tùy ý thỏa mãn bất đẳng thức

1.1.12 Định nghĩa Một hệ với một phép toán hai ngôi đơn, lũy đẳng, giao

hoán và kết hợp được gọi là một nửa dàn (semilattice).

Mệnh đề 1.1.6 có một hệ quả trực tiếp sau đây và một hệ quả đối ngẫu đối với các hợp cũng đúng.

Hệ quả Giả sử P là một poset trong đó hai phần tử tùy ý có giao Thế thì P

là một nửa dàn với phép toán ∧ Các nửa dàn như vậy được gọi là nửa dàn với giao (meet – semilattice).

Đảo lại ta có

1.1.13 Mệnh đề Dưới quan hệ được xác định bởi.

(*) x ≤y nếu và chỉ nếu xoy = x nửa dàn tùy ý với phép toán hai ngôi o là một poset mà trong đó xoy = g.l.b.{x, y}.

Chứng minh Luật lũy đẳng xox = x kéo theo luật phản xạ x ≤ x Luật giao hoán xoy = you làm x ≤ y (nghĩa là xoy = x) và y ≤ x (nghĩa là yox = y) kéo theo x = xoy = yox = y, luật phản xứng P2 Luật kết hợp làm x ≤ y và y ≤ z kéo theo x = xoy = xo (yoz) = (xoy) oz = xoz, từ đó x ≤ z, chứng minh luật bắc cầu P Lại có (xoy) ox = xo (xoy) = (xox) oy = xoy nên xoy ≤ x

Tương tự xoy ≤ y Cuối cùng, nếu z ≤ x và z ≤ y, thế thì zo (xoy) = (zox) oy = zoy = z, từ đó z ≤ xoy, chứng tỏ rằng xoy = g.l.b.{x, y} □

1.1.14 Định lý Một hệ L bất kì với hai phép toán hai ngôi ∧ và ∨ thỏa L1 – L4 là một dàn và ngược lại.

Chứng minh Trước hết, theo Mệnh đề 1.1.13., L tùy ý thỏa L1 – L4 là một

poset và trong nó x ∧ y = g.l.b.{x, y}, do đó x ≤ y nghĩa là x ∧ y = x Tiếp

đó do L4, x ∧ y = x kéo theo x ∨ y = (x ∨ y) ∨ y = y và (theo đối ngẫu) đảo lại cũng đúng Do đó x ≤ y cũng tương đương với x ∨ y Bằng đối ngẫu, suy

ra rằng x ∨ y = l.u.b {x, y}, từ L là một dàn Khẳng định ngược lại đã được chứng minh trong phép chứng minh Mệnh đề 1.1.6 □

Như vậy, các tiên đề L1 – L4 đối với một dàn không độc lập Luật lũy đẳng suy ra từ L4 Do đó x ∨ x = x ∨ [x ∧ (x ∨ x)] = x, trong đó đẳng thức đầu tiên suy ra từ luật tương phản thứ nhất x = x ∧ (x ∨ y) với y = x, và luật tương phản thứ hai do tính đối ngẫu với y = x ∨ x Đối ngẫu, ta chứng minh được x ∧ x = x.

Sáu đẳng thức còn lại của L2 – L4 phụ thuộc Nghĩa là, không một đẳng thức nào trong chúng có thể được chứng minh từ năm đẳng thức còn lại khác

Để chứng tỏ điều đó, chỉ cần bằng đối ngẫu đưa ra các tập thích hợp và các toán tử trên chúng thỏa mãn năm trong sáu đẳng thức của L2 -L4 nhưng không thỏa mãn đẳng thức còn lại Ta thực hiện điều đó qua việc xét các ví dụ sau

1.1.15 Ví dụ (i) Giả sử N+ là tập hợp các số nguyên dương Định nghĩa x ∨

y = max(x, y) và x ∧ y = x Thế thì tất cả các đẳng thức của L2 – L4 (trừ đẳng thức x∧ y = y ∧ x) là đúng

(ii) Xét biểu đồ ở hình 2

Giả sử hợp được định nghĩa theo nghĩa thông thường và giao cũng vậy trừ

a ∧ b là phần tử cuối cùng nhưng không phải c Thế thì hệ đại số thu được

a ∧ b

thỏa L2, L4 và x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, nhưng x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z không thỏa mãn đối với bộ ba a, b, c.

(iii) Giả sử N+, là tập hợp các số nguyên dương

Đặt x ∨ y = max(x, y), x ∧ y = 1 Thế thì luật phi mâu thuẫn x ∧ (x ∨ y)

= x không đúng, nhưng năm đẳng thức khác của L2 – L4 được thỏa mãn

Như vậy chúng ta đã chứng minh được định lý

1.1.16 Định lý Các tiên đề L2 – L4 đối với dàn suy ra L1, còn sáu đẳng thức

L2 – L4 phụ thuộc nhau.

Bây giờ ta trở lại xét nửa dàn S với phép toán hai ngôi không thỏa mãn các luật lũy đẳng, giao hoán và kết hợp

1.1.17 Mệnh đề Nửa dàn S là một poset theo quan hệ chia hết a\b, nghĩa là

aox = b đối với x ∈ S nào đó Hơn nữa, trong X poset đó, cod = c ∨ d đối với

c, d tùy ý.

Chứng minh Như trong Ví dụ 1.1.5, S là tựa – thứ tự theo quan hệ chia hết

vì o là lũy đẳng Hơn nữa, aox = b kéo theo aob = ao(aox) = (aoa) ox = aox =

b trong khi đó điều ngược lại là hiển nhiên; từ đó a\b nếu và chỉ nếu aob Suy

ra a\b và b\a kéo theo a = boa = aob = b; tựa – thứ tự là một thứ tự bộ phận Cuối cùng c\cod vì cod = doc; tương tự có d\cod; trong khi đó c\x và d\x kéo theo x = cod = cod ox, từ đó (cod)\x, do đó cod = c ∧ d □

1.1.18 Định nghĩa Poset được xây dựng trong Mệnh đề 1.1.17 được gọi là

nửa dàn – hợp (join – semilatice) được xác định bởi S; đối ngẫu của nó là nửa dàn – giao (meet – semilatice) được xác định bởi S

Rõ ràng một dàn bất kì đồng thời là nửa dàn – hợp vừa là nửa dàn – giao,

từ đó thuật ngữ được định nghĩa trên là phù hợp

1.1.19 (i) Nhiều nửa dàn cũng là dàn Chẳng hạn, điều đó đúng với nửa dàn –

giao L có cận trên phổ dụng I và độ dài của nó là hữu hạn Để thấy điều đó, giả sử v = v(a, b) là tập hợp con của L gồm tất cả các cận trên của hai phần tử

đã cho a và b Tập hợp v chứa I và nó chứa cùng với hai phần tử tùy ý x, y là giao x ∧ y của chúng, vì x ≥ a và y ≥ a kéo theo x ∧ y ≥ a và tương tự với

b Bây giờ ta xây dựng một chuỗi trong v theo phương pháp đệ quy như sau: Giả sử x0 = I Nếu xn không phải là phần tử nhỏ nhất của v, lấy y ∈ v bất kỳ không thỏa mãn y ≥ xn và giả sử xn+1 = xn ∧ y < xn Như đã chứng tỏ ở trên, chuỗi xo > x1 > x2…nằm trong v Vì mỗi chuỗi trong L hữu hạn, nó phải có phần tử nhỏ nhất xn ∈ v Như vậy xn là phần tử nhỏ nhất của v, từ đó xn = a

1.2.1 Định nghĩa Giả sử θ: L → M là một ánh xạ từ dàn L đến dàn M Thế thì

(i) θ được gọi là bảo toàn thứ tự ( isotone) khi x ≤ y kéo theo θ(x) ≤

θ(y)

(ii) θ được gọi là một cấu xạ hợp ( join – mophism) khi (x ∨ y) = θ

(x) ∨ θ(y) đối với mọi x, y ∈ L

(iii) θ được gọi là một cấu xạ giao (meet – mophism) nên θ(x ∧ y) =

θ(x) ∧ θ(y) đối với mọi x, y ∈ L

(iv) θ được gọi là một cấu xạ (mophism) nếu nó vừa là cấu xạ giao vừa là

1.2.2 Bổ đề Cấu xạ hợp tùy ý giữa các nửa dàn hợp là bảo toàn thứ tự; kết

luận này cũng đúng cho cấu xạ - giao giữa các dàn giao.

1.2.3 Bổ đề Song ánh bảo toàn thứ tự tùy ý với ánh xạ ngược bảo toàn thứ tự

1.2.4 Định nghĩa Một tập con khác rỗng J của một dàn (hay nửa dàn – hợp)

L được gọi là một iđêan (ideal) nếu thỏa mãn hai điều kiện:

(i) a ∈ J, x ∈ L, x ≤ y kéo theo y ∈ L ;

(ii) a ∈ J, b ∈ J, kéo theo a ∨ b ∈ J

Khái niệm đối ngẫu (trong một dàn hay nửa dàn) được gọi là iđêan đối

ngẫu (dual ideal) hay iđêan giao (meet – ideal).

1.2.5 Ví dụ Trong “Tập hợp lực lượng” (power set) P (E) tất cả các tập hợp

con của E, một iđêan đối ngẫu (không phải P(E) tự đối ngẫu) được gọi là cái

1.2.7 Định nghĩa Cho trước một phần tử a ∈ L

Tập con L(a) = {x∈L/x≤a}là một iđêan của L và được gọi là iđêan chính

(principal ideal) của L sinh bởi a

Trong một dàn tùy ý với độ dài hữu hạn, mỗi iđêan (khác rỗng) là một iđêan chính Tổng quát hơn, kết luận đó cũng đúng nếu mỗi chuỗi tăng trong dàn L là hữu hạn

Nếu J = L(a) là một iđêan chính của L được sinh bởi a thì ánh xạ x → θ(x)

= x ∨ a là một tự đồng cấu – hợp với hạt nhân J, vì θ(x ∨ y) = (x ∨ y) ∨ a.Lại có, nếu z ∈ J thì z ≤ a và z ∨ a = a, do đó θ(z) = a Đối với x ≤ L tùy

ý, θ(z) = x ∨ a ≥ a, như vậy z ∈ J kéo theo θ(z) ≤ θ(a)

1.2.8 Định lý Tập hợp tất cả các iđêan của một dàn tùy ý được sắp theo thứ

tự bao hàm tạo thành một dàn L Tập hợp tất cả các iđêan chính của L tạo thành một dàn con của dàn L, đẳng cấu với L

Chứng minh Cho trước hai iđêan J và K của L, chúng có một phần tử chung

vì nếu a ∈ J và b ∈ K, thì a ∧ b ∈ J ∧ K Như vậy ta có thể làm cho J ∧ K như giao (theo lý thuyết tập hợp) của J và K, rõ ràng nó là một iđêan

Ta lại có, iđêan tùy ý chứa cả J và K, phải chứa tập hợp M tất cả các phần

tử x sao cho x ≤ a ∨ b đối với a ∈ J, b ∈ K nào đó Nhưng tập hợp M là một iđêan nếu x ∈ M và y ≤ x ∨ b, thế thì vì x ≤ a b∨ và y ≤ a1 ∨b1 đối với a, a1

∈ J và b, b1 ∈ K nào đó; x ∨ y ≤ (a ∨ b) ∨ (a1 ∨b1) = (a ∨ a1) ∨ (b ∨ b1), trong đó a ∨ a1 ∈ J và b ∨ b1 ∈ K vì J và K là những iđêan Từ đó M = sup(J, K) trong tập hợp tất cả các iđêan của L

Nếu J và K là các iđêan chính được sinh bởi các phần tử a và b, thế thì J ∨

K và J ∧ K là các iđêan chính được sinh bởi a ∨ b và a ∧ b tương ứng Các iđêan như vậy tạo thành một dàn con của dàn L đẳng cấu với dàn L □

1.3 Các quan hệ tương đẳng

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa dàn – hợp (tương ứng, nửa dàn – giao)

và θ là một quan hệ tương đương trên S Khi đó, θ được gọi là một quan hệ

tương đẳng (congruence relation) nếu a ≡ b (mod θ) kéo theo a ∨ x ≡ b ∨

x (tương ứng a ∧ x ≡ b ∧ x) với mọi x ∈ S

1.3.2 Bổ đề Giả sử J là một iđêan trong nửa dàn – hợp S Thế thì quan hệ

* a ≡ b (mod J) nếu và chỉ nếu a ∨ d ≡ b ∨ d (mod J) đối với d ∈ J nào đó là một quan hệ tương đẳng trên S.