n thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.. Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định t
Trang 1Dạng toán: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Phương pháp:
1 Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện:
Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một
số nhận xét quan trọng sau:
- Điểm M thuộc S(O;R) Û OM =R
- Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông
2 Điều kiện cần và đủ:
- Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại
tiếp
- Để một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng
và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp
3 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng:
Cho đoạn thẳng AB Mặt phẳng ( )a được gọi là
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp ( )a
đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB
I- Thuật toán 1: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông 1 2 n
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng D: trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( )a của một cạnh bên
Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: D Çmp( )a ={ }O
- Bán kính: R SA= (=SO) Tuỳ vào từng trường hợp
I
B
A
a
a
H
O I
D C B
A
S
Trang 2Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn
ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy
Tính chất: " Î DM : MA MB MC= =
Suy ra: MA MB MC = = Û M ÎD
2 Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
- Bước 2: Qua H dựng D vuông góc với mặt phẳng đáy
VD: M ột số trường hợp đặc biệt
a Tam giác vuông b Tam giác đều c Tam giác bất kì
3 Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
SMOD đồng dạng với SO SM
SIA
SA SI
4 Nhận xét quan trọng:
D
H
M
C B
A
H
A
C B
A H
B
A
C H
D
A
M
I
O
S
Trang 3II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC với SA^(ABC) và SA=2a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với BC a= 3
b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với AB a= 3
c) Tam giác ABC đều cạnh 3a
d) **Tam giác ABC có AB a AC= , =2a và BAC=300
Hướng dẫn:
a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với BC a= 3
b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với AB a= 3
K
O
DDDD
2a
A
B
C S
K
O
S
C
B A
2a
a 3
DDDD
d I
Trang 4c) Tam giác ABC đều cạnh 3a
d) **Tam giác ABC có AB a AC= , =2a và BAC =300
Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hướng dẫn:
I K
S
3a
M
K
G
S
C
B A
2a
3a 3a
DDDD
d I
K
a 2a
S
A
B
C
DDDD
2a
I d
Trang 5Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bàn tập sau:
Bài tập 2-1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên hợp
với đáy 1 góc 60 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 0
Bài tập 2-2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và mặt bên hợp với
đáy 1 góc 60 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 0
Chúng ta xem xét bài tập sau…
Bài tập 3: Hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC a= = = và có chiều cao bằng h Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu
Hướng dẫn:
Do SA SB SC a= = = nên S thuộc trục đường trònABC
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, suy ra SO là đường cao và SO h=
S
I K
N
h
M
a
C
B A
S
K
I O
h
a
K
I
O A
S
Trang 6Ta xem bài tập 3, là dạng tổng quát của các bài toán tương tự và đặc biệt sau:
Bài tập 3-1: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và
SA SB SC a= = = Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích
mặt cầu
Hướng dẫn:
Do SA SB SC a= = = nên S thuộc trục đường trònABC
Gọi G là trọng tâm của ABC, suy ra SG là đường cao
Bài tập 3-2: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB=2a và
SA SB SC a= = = Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích
mặt cầu
Hướng dẫn:
2a
G I K
S
A
B
C
a
M S
I
K
a
C
S
B
K
I
Trang 7Thuật toán 2: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông 1 2 n
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng D: trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy
Bước 2: Xác định trục d của một mặt bên ( dễ xác định ) của khối chóp
Lúc đó: - Tâm O của mặt cầu: D Ç =d { }O
- Bán kính: R SA= (=SO) Tuỳ vào từng trường hợp
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi H là trung điểm
AB và SH =a 3 là độ dài đường cao của hình chóp Xác định tâm và bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp đó
Hướng dẫn:
R I
DDDD
D
d S
A
B
C
H
G
O S
A
C
d I
DDDD
R
Trang 8III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành tứ diện SABC
với SA= a, SB= b, SC= c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông với cạnh huyền BC a= Các cạnh bên đều tạo với đáy 1góc a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có AB= 2a, AC= 3a, BACˆ =600, cạnh SA vuông góc với
(ABC) và SA a= Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài tập 4: Cho tứ diện SABC có SA^(ABC) và SA a AB b AC c= , = , = Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a Góc BAC vuông b Góc ABC bằng 600 c Góc ABC bằng 600 và b= c
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng b Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó
Bài tập 6: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a CMR: Hình chóp
đó có 1 mặt cầu ngoại tiếp Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại B với AB= 2a Từ trung điểm M của AB dựng
đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và chọn trên đó điểm S sao cho tam giác SAB đều Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
Bài tập 8: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB= AC a= ,
(SBC) (^ ABC)
mp và SA SB a= =
a Chứng minh: Tam giác SBC vuông
b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SC= x
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A và BC= a, các cạnh
bên SA= SB= SC= 2a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó
Bài tập 10: Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH Gọi O là trung
điểm AH Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD
Bài tập 11: Hình chóp S.ABCD có SA=a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và B có AB= BC= a và AD= 2a Gọi E là trung điểm của AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.CDE
Bài tập 12: (Khối D- 2003) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến
D Trên D lấy 2 điểm A, B với AB= a Trên (P) lấy C và trên (Q) lấy D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC= BD= AB Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài tập 13: (Dự bị A-2 2003) Cho tứ diện ABCD có AB= AC= a, BC= b Hai mặt phẳng
