chuyên đề: TIẾP TUYẾN ( Bản 2.0 )

Hay hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: k = f x/ Rõ ràng, tiếp tuyến của C hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc hoành độ tiếp điểm... a Viết phương trìn

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Chủ đề 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I- LÝ THUYẾT:

Cho hàm số y= f x( ), có đồ thị (C)

1 Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y0( 0; 0)Î( )C :

/

y y- = f x( )(x x- ) (*)

Lưu ý:

+ Điểm M x y0( 0; 0)Î( )C được gọi là tiếp điểm

+ Đường thẳng bất kỳ đi qua M x y0( 0; 0) có hệ số

góc k , có phương trình: y y- 0 =k x x( - 0)

+ Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M x y0( 0; 0)Î( )C

có hệ số góc /( )

0

k = f x Hay hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: k = f x/( )

Rõ ràng, tiếp tuyến của (C) hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc hoành độ tiếp

điểm

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y= f x( ), (C) và y g x= ( ), (C')

(C) và (C’) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( ) ( ) ( )

= ì

í

= î

Đặc biệt: Đường thẳng y kx m= + là tiếp tuyến với y= f x( ), (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

/

( ) ( )

= + ì

í

= î

II- LUYỆN TẬP:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y= f x( ) tại tiếp điểm

Phương pháp: Bước 1: Xác định tiếp điểm M x y0( 0; 0)Î( )C Tính hệ số góc /( )

0

k = f x

Bước 2: Áp dụng: /

y y- = f x( )(x x- )

Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): =

-+

1 2

x y

x tại giao điểm của (C) và trục tung

Bài giải:

TXĐ: D R= \ 2{ }-

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

Giải phương trình: - = Û =

+

1

0 1

2

x

x x

VËy giao ®iÓm cña (C) vµ Oy lµ: M(1;0)

Ta có:

/ /

2

x y

-æ ö

=ç ÷ =

+

Lúc đó, hệ số góc của tiếp tuyến là / 1

(1) 3

k =y =

x

y

O

(C)

MO

( )

D = - Û =

-Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) :C y= - -x4 x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

6

y x

D = -

Bài giải:

TXĐ: D R=

Ta có: y/ = -4x3-2x

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

6

y x

D = - nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 6

-Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

3 3

2

2

1 ( 1)(2 2 3) 0

1

v« nghiÖm

x

x

- - =

-Û + - =

= é

ë

Þ = Suy ra tiếp điểm (1;4)

Vậy phương trình tiếp tuyến: y= -6(x- +1) 4 hay y= - +6x 10

Bài tập 1: Cho hàm số 2 2

1

x y x

+

=

- (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

d y= - x+

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác cho chu vi nhỏ nhất

d) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua tâm đối xứng

Bài giải:

TXĐ: D R= \ 1{ } Ta có:

( )

/

2

4 1

y x

-= -Tiệm cận đứng: x =1 Tiệm cận ngang: y=2 Suy ra tâm đối xứng I(1;2)

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): o( 0; 0)

( )2( 0) 0

0 0

4

:

1 1

x

x x

+

-a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: = -4x+1 nên hệ số góc tiếp tuyến bằng -4

Xét phương trình:

2

0

1

x

= Þ = é

-= - Û ê = Þ =

* Với M( )0;2 : Tiếp tuyến có phương trình D:y= -4x+2

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

* Với M( )2;6 : Tiếp tuyến có phương trình D:y= -4x+14

b)

Cách 1:

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tạo độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng

1 hoặc -1. ( Do tiếp tuyến vuông góc với 2 đường thẳng y= ±x )

Xét phương trình:

( )2 0

1

x

- vô nghiệm

2

0

1

x

= - Þ = é

-= - Û ê = Þ =

* Với M(-1;0): Tiếp tuyến có phương trình D:y= - -x 1

* Với M( )3;4 : Tiếp tuyến có phương trình D:y= - +x 7

Cách 2:

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): o( 0; 0)

( )2( 0) 0

0 0

4

:

1 1

x

x x

+

-Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm của D và Ox, Oy lần lượt tại A, B ( Tọa độ phụ thuộc x ) 0

Bước 2: Để ý DOAB vuông tại O nên điều kiện cần tìm là: OA OB  =0

Nhận xét: Cách 1 hiệu quả và sáng tạo hơn Cách 2 dài dòng nhưng lại rõ ràng và dễ hiểu

c) Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A:

0 0

0

0 0

1

4

1 1

1

x

x x

x x

x

=

ì

æ + ö

-î

Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B:

0 0

2

4

1 1

y

x

x x

=

ì

-î

0

1

x

Ta có, chu vi tam giác IAB: CDIAB =IA IB AB IA IB+ + = + + IA2+IB2

Mà IA IB+ ³2 IA IB =8, IA2+IB2 ³2 IA IB=32

nên CDIAB =IA IB+ + IA2+IB2 ³ +8 32 8 4 2.= +

0

1

x

= - Þ = é

ë

* Với M(-1;0): Tiếp tuyến có phương trình D:y= - -x 1

* Với M( )3;4 : Tiếp tuyến có phương trình D:y= - +x 7

(1;2)

I

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): o( 0; 0)

( )2( 0) 0

0 0

4

:

1 1

x

x x

+

-Giả sử IÎ D Û

0

1

x

-phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại tiếp tuyến nào đi qua I

Bài tập 2:Chứng minh rằng trên (C): y=4x3-6x2+4x-1 không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài giải:

TXĐ: D R=

Ta có: y/ =12x2-12x+4

Gọi x là hoành độ tiếp điểm bất kì thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó: 0

( )

0 12 0 12 0 4 0 0 ( Do k 0 )

k = y x = x - x + > "x D <

Suy ra, không tồn tại các tiếp điểm với hoành độ x x sao cho: 1, 2 /( ) ( )/

k k = y x y x = - < Nghĩa là, trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài tập 2: ( Khối D- 2005) Gọi ( )C là đồ thị của hàm số: m 1 3 2 1

m

y= x - x + Gọi điểm M thuộc đồ thị ( )C có hoành độ bằng 1 m - Tìm m để tiếp tuyến của ( )C tại M song song với m

đường thẳng : 5D x y- =0

Bài giải:

TXĐ: D R=

Ta có: y/ =x2 -mx

Điểm thuộc (C có hoành độ 1 m) - là 1;

2

m

Mæ- - ö

Tiếp tuyến của (C tại M có phương trình: m)

Để d song song với : 5D x y- =0 (Hay D: y=5x ) khi và chỉ khi:

1 5

4

2 0

m

m m

+ = ì

í + ¹ î

Vậy m=4

Bài tập 2: Cho hàm sốy x= 3+3x2-9x+5(C) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Bài giải:

TXĐ: D R= Ta có: y/ =3x2+6x-9

GọiM x y( ; ) ( )0 0 Î C 3 2

0 0 3 0 9 0 5

Û y =x + x - x +

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: / 2 2

( )

Þ k = - , đạt được khi: x0 = - Þ1 y0 =16

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M ( 1;16- ) (điểm uốn) có hệ số

góc nhỏ nhất Phương trình tiếp tuyến:y= -12x+4

Bài tập 1: Cho hàm số

1

y

x

-=

- có đồ thị (C) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với nhau

Bài giải:

TXĐ: D R= \ 1{ }

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

( )

1

x

Để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệtÛ g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt 1¹

(2) 0

2 ( 1) 0 (1) 0

m

m m g

ìD > ì - > ì- < <

ï

Ûíïî ¹ Û íî + ¹ Ûí ¹î Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình (1) Áp dụng định lí Vi-et: 1, 2 1 2 2

1 2

2 (*)

+ = -ì

í

-î

( )

/

2

1

y

x

-=

-Vì A, B thuộc (C) nên hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B là:

1 1

1 1

f x

x x

-Tương tự: /( ) 2

2

2

1

x

+

=

-Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau nên ta có:

( ) ( )

2

4 4 4 1 (**)

æ + öæ + ö

= - Ûç ÷ç ÷=

-Thay (*) vào (**) ta được:

1

3

m

m

= -é ê

ê = ë

( lo¹i ) ( nhËn )

Kết luận: Vậy 2

3

m= là yêu cầu bài toán

Bài tập 1: ( Khối A -2011) Cho hàm số =- +

-1

x y

x Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì

đường thẳng d y x m: = + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k k lần lượt là hệ số góc 1, 2 của các tiếp tuyến tại A và B Tìm m để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất

Bài giải:

2

D R= ì ü

í ý

î þ Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :

2

( ) 2 2 1 0 (*)

x

x

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệtÛ g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt 1

2

¹

1 1

1 0 0

2 2

g

ìD > ì + + > "

Ûí æ ö Û í

+ - - ¹ "

¹

ï ç ÷è ø ïî

î Suy ra d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt

Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình (*) Áp dụng định lí Vi-et: 1, 2

1 2

1 2

(*) 1

2

m

x x

+ = -ì

ï

í = -ïî

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại x là: 1 ( )

/

1

1 1

x

-Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại x là: 2 ( )

/

2

1 1

x

-Cách 1: CHUẨN_ ĐƠN GIẢN_ DỄ HIỂU

Ta có:

2

Thay (*) vào (**) ta được: 2 ( )2

k +k = - m - m- = - m+ - £ - Suy ra k1+k2 lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi m= -1

Cách 2: ĐẶC SẮC

Ta có:

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có:

( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2 1 2 1

2x 1 + 2x 1 ³ 2x 1 2x 1 = x x

-nên (1) trở thành:

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

2 1

2

m

Suy ra k1+k2 lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi

é

= Û ê - = - + Û + = Û =

( lo¹i do )

Cách 3: CẦN CÙ VÀ CHÍNH XÁC

Theo trên, d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt.

Lúc đó:

2 1

2

2 2

2

2

x

x

= ê ê + - - = Û

ê = ë

Ta có:

2

é + + - + ù +é + + + + ù

=

-é + + - + ù é + + + + ù

+ + +

2

2 2

2 2

2 2

m

+ +

= - - - = - + £

Suy ra k1+k2 lớn nhất bằng 2- , đạt được khi chỉ khi m= -1

DẠNG TOÁN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM BẤT KÌ

Phương pháp:

Bước 1: Đường thẳng bất kỳ qua M0có hệ số góc k: y y- 0 =k x x( - 0)

Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng y kx m= + là tiếp tuyến với y= f x( ), (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

/

( ) ( )

= + ì

í

= î

Bài tập 1: Cho đường cong ( ) :C y=3x-4x3 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp

tuyến đi qua (1;3)A

Bài giải:

TXĐ: D R=

Gọi đường thẳng d bất kì có hệ số góc k qua (1;3) A :

d: y- =k x- Û =y k x- +

Khi đó, d là tiếp tuyến của (C)Û Hệ phương trình sau có nghiệm :

3 2

3 12

(1) (2)

ï

í

ïî

Thay (2) vào (1), ta có phương trình : 3 2

0

2

x

x

= é ê

ê = ë

* Nếu x= Þ =0 k 3 Ta có tiếp tuyến : T y1: =3x

* Nếu x= Þ = -0 k 24 Ta có tiếp tuyến : T2: y= -24x+27

LƯU Ý: DẠNG TOÁN SỐ LƯỢNG VÀ TÍNH CHẤT TIẾP TUYẾN

Bài tập 1: Cho đường cong ( ) :C y= - +x3 3x+2 Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ

đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài giải:

TXĐ: D R= Xét điểm M m( ;0)ÎOx

Gọi đường thẳng d bất kì có hệ số góc k qua M :

d: y=k x m

-Khi đó, d là tiếp tuyến của (C)Û Hệ phương trình sau có nghiệm :

3

2

(1) (2)

ì- + + =

-ï

í

- + =

ïî

Thay (2) vào (1), ta có phương trình: 3(x2-1) (x m- )-(x3-3x-2) =0

2

1

x

= -é

ë

Để từ M có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyếnÛ g x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt ¹ -1

3

m

D > ì + - >

Gọi x x là nghiệm của ( ) 01, 2 g x = , lúc đó:

Để 2 trong 3 tiếp tiếp tuyến này vuông góc ( 2 )( 2 )

Û = - Û - + - + = -( )2

2 2

9x x 9 x x 18x x 10 0 (*)

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Áp dụng định lí Vi-et đối với ( ) 0g x = :

1 2

1 2

2 (**)

2

m

m

x x

+

ì + = ïï

ïî Thay (**) vào (*), ta được phương trình: 9 3( 2) 10 0 28

27

m+ + = Û = -m

Kết luận: Vậy điểm 28;0

27

è ø là điểm cần tìm

DẠNG TOÁN: GÓC CỦA HAI TIẾP TUYẾN

Phương pháp :

Bước 1: Gọi k1 , k2 theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến (d1) và (d2)

Bước 2: Gọi a là góc giữa (d1) và (d2) thì tana

1 1 2

2

+

-k k

k k

Nhận xét rằng : (d 1 )^(d 2 )Û k k1 2 = -1

* Bài toán: Cho hàm số y=f(x) (C) Tìm điều kiện để từ M 0 (x 0 ,y 0 ) có thể kẻ

đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Kĩ thuật để giải quyết loại bài toán “ khó chịu “ này được thể hiện thông qua cách giải cụ thể một số ví dụ sau

Ví dụ 1:( Đề 44) Cho hàm số:

1

1 1

+

-+ +

=

x

m x

Tìm điều kiện cần và đủ đối với m , để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho

từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Giải :

Gọi M(a,b) là điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau Ta có :

Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k, có dạng:

y-b= k(x-a )Û(d): y= k(x-a)+b

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

ï

ï

î

ïï

í

ì

= +

-+

-= +

-+

-k x

b a x k x

m x

2

) 1 (

1 1

) ( 1

1 1

Û

ï

ï î

ïï í

ì

= +

-+ -+

= +

-+

-k x

b ka k x

k x

m x

2

) 1 (

1 1

) 1 ( 1

1 1

Û

ï

ï

î

ïï

í

ì

= +

-+ + -+ -+

= +

-+

-k x

b k a x

x x

m

x

2

) 1 (

1

1

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

1 1

Û

ï

ï î

ïï í

ì

= + + +

-+ + +

-= +

k m

b k a

m

b k a x

2

) 2 )

1 ( ( 1

2 )

1 ( 1 1

Phương trình ( * ) Û f(k)=Ak 2 +2Bk+C (1)

Trong đó A=(a+1) 2 ; B=2m-ab-2a-b-4; C=(b+2) 2 -4m+4

Để từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) Û (1) có hai nghiệm phân biệt k1, k2 khác

1

2 +

+

a

b

thoả mãn k1 k2= -1

Û

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

¹ + +

-= +

+ -+

¹ +

0 ) 1

2 (

1 )

1 (

4 4 ) 2 (

0 1

2 2

a

b f

a

m b

a

Þ(a+1) 2 +(b+2) 2 =4m-4Þ4m-4>0Ûm>1

Kết luận : Vậy m>1 thoả mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 2(Đại Học Kinh Tế-98):

Cho hàm số

1

1

2 2

+

+ +

=

x

x x

y Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số và hai tiếp đó vuông góc với nhau

( * )

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012

Xét A(0,b)ÎOy Đường thẳng (d) qua A với hệ số góc k có dạng: y = kx+b

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

ï

ï

î

ïï

í

ì

= +

-+

= + +

-k x

b kx x

x

2

) 1 (

2 2

1

2 1

2

Û

ï

ï î

ïï í

ì

= +

-+ -+

= + +

-k x

b k x

k x

x

2

) 1 (

2 2

) 1 ( 1

2 1 2

Û

ï

ï

î

ïï

í

ì

= +

-+ -+ -+

= + +

-k x

b k x

x x

x

2

) 1 (

2 2

1

2 ) 1 ( 2 1

2 1 2

Û

ï

ï î

ïï í

ì

= -+

-+

= +

k k b

k b x

2

) 4

3 ( 2

4

3 1 1

Phương trình ( * ) Û f(k)=k 2 -2(b-1)k+b 2 +6b-7=0 (1)

Để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị khi chỉ khi (1) có 2

nghiệm phân biệt k1 , k2 khác b+3 thoả mãn k1.k2= -1

Û

î

í

ì

¹ +

-= -+

0 ) 3 (

1 7 6

2

b

f

b b

Û b =-3± 15

Kết luận : Vậy tồn tại hai điểm A1(0,-3- 15)và A2(0,-3+ 15)

Ví dụ 3:( ĐHQG TPHCM Khối A-98):

Cho hàm số

1

2

-=

x

x

y Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số

Giải:

Gọi A(a,b) là điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp vuông góc với nhau tới đồ thị và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Đường thẳng qua A có dạng (d): y-b=k(x-a) Û (d): y=k(x-a)+b

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

ï

ï

î

ïï

í

ì

=

-+

-= -+

+

k x

b a x k x

x

2

) 1 (

1

1

) ( 1

1 1

Û

ï

ï î

ïï í

ì

=

-+ -+

-= -+ +

k x

b ka k x

k x

x

2

) 1 (

1 1

) 1 ( 1

1 1

Û

ï

ï

î

ïï

í

ì

=

-+ -+

-= -+

-k x

b k a x

x x

x

2

) 1 (

1 1

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

1 1

Û

ï

ï î

ïï í

ì

= -+

-+

-=

-k b

k a

b k a x

2

) 2

2 )

1 ( ( 1

2

2 )

1 ( 1 1

Phương trình ( * ) Û f(k)=(a-1) 2 k 2 -2(ab-2a-b)k+b 2 -4b=0 (1)

Để từ A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị khi chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt k1 , k2 khác

1

2

-a

b

, thoả k1.k2= -1

( * )

( * )

ï

ï

ï

î

ï

ï

ï

í

ì

¹

-=

-¹

-0 ) 1

2 (

1 )

1

(

4

0 1

2 2

a

b

f

a

b b

a

Û

ï î

ï í ì

¹ -+

= -+

-¹

0 ) 1 (

4 ) 2 ( ) 1 ( 1

2

2 2

b a

b a

a

Û

ï î

ï í ì

= -+

-+

¹

¹

4 ) 2 ( ) 1 (

1 1

2

a

a b a

Vậy A thuộc đường tròn (S) tâm I(1,2) , bán kính R=2, bỏ đi bốn giao điểm của 2 đường thẳng x=1 và y=x+1 với (S) (là các giao điểm của các đường tiệm cận của (C) với (S) là:

B(1,4),C(1,0),D( 1 - 2 , 2 - 2 ), E ( 1 + 2 , 2 + 2 )

Ví dụ 4:( Đề 17): Cho hàm số

1

1

2 2

-+

-=

x

x x

Chứng tỏ rằng trên đường thẳng y=7 có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị

(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc

4

p

Hướng dẫn: Tiến hành các kĩ thuật tương tự như các ví dụ trên Sử dụ ng hệ thức:

4

1 1 2

2

tg k k

k

+

Ví dụ 5 :( Đề 65): Cho hàm số y=x3+3x2+mx+1 (Cm)

Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1),D,E Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=1 và đồ thị là:

x3+3x2+mx+1=1Ûx(x2+3x+m)=0 Û ê

ë

é

= + +

=

0 3

0

x

x

Đồ thị (Cm) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1), D, E khi chỉ khi phương trình ( * ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Û

î

í

ì

¹

>

D

0 )

0

(

0

'

g

g

Û0≠ m<9/4 (**)

Khi đó phương trình (*) có nghiệm thoả mãn:

î

í

ì

=

-=

+

m

x

x

x

x

E

D

E

D

3

( * )