chuyen de tiep tuyen _luyện Thi ĐH

tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số C tại hai điểm A, B.. trong tất cả các tiếp tuyến của C tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất http://chuyentoan.wordpress.com Nha Tran

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp

Ví dụ 1:

Cho hàm số y x= −3 3x2+2x−5 ( )C viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

Bài giải :

Với x = 1 ⇒ =y - 4 ⇒M(1, 5)− ( )∈ C

y = x − x+ ⇒ y = − ; vậy tiếp tuyến tại M có dạng : y= −1(x− − ⇔ = − −1) 5 y x 4

Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)

cho hàm số 3 ( )

1

x

x

+

=

− cho m M x y( , ) ( )0 0 ∈ C tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại hai điểm A, B chứng minh rằng M là trung điểm AB

bài giải:

0

0 0

0

3 ( , ) ( )

1

o

x

x

+

− ,

'

0

− − , tiếp tuyến tại M có dạng (d) :

2

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

2

0 0

1

4

7

1 1

1

x

A

x x

=

+



Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :

2

0

0

4

(2 1,1)

1 1

B x

y y



 =



Nhận xét :

0

0

0

0

1

M

M

x

y x

+



⇒



(đpcm)

Ví dụ 3 : (D2005)

Cho hàm số 1 3 2 1 ( )

m

y= x − x + C cho M (∈ C m) , biết rằng x M = −1 , tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 5x - y = 0

Bài giải :

' 2

y =x −mx⇒hệ số góc tiếp tuyến tại M '

( 1) 1

= 0 ⇔ = + = ⇒ =k 1 m 5 m 4

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm M( , ) ( ) :x y0 0 ∈ C y= f x( )

Cách giải :

* tính y'= f x'( ) ; tính k = f x'( )0 ( hệ số góc của tiếp tuyến )

* tiếp tuyến tại M có dạng : y k x x= ( − 0)+y0

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)

Cho hàm số 3

3 1 ( )

y x= − +x C , và điểm A x y( , )0 0 ∈ (C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A tìm hoành độ điểm B theo x0

Bài giải :

Vi điểm A x y( , )0 0 ∈ (C) 3

y = x − ⇒y x = x −

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :

hoành độ giao điểm của (d) và (C) :

2

0 0

0 0 0

( 0) 2

x x

x x

x

=

Vậy điểm B có hoành độ x B = −2x0

Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho tiếp tuyến song với đường thẳng : y k x m= 1 + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến k k= 1 Nếu bài toán cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y k x m= 2 + ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến 2

2

1

k

−

= = − Nếu bài

toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) : y k x m= ' + một góc là α , các em có thể dùng công thức sau để

tìm k :

'

' tan

1

k k kk

+ ( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí nhớ Toán

học , Nguyễn Dương 2008)

Một số ví Dụ Điển Hình

Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)

cho hàm số 1 3 2

y= x − +x , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

( )

y= − x+ d

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y= f x( ) (C) khi biết trước hệ số góc của nó

Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau

Cách 1 :

Tiếp tuyến (d) có dạng y kx m= + ( k đã biết )

(d) tiếp xúc (C ) ( )' (1)

( ) (2)

f x kx m

f x k

= +



Từ phương trình 2 ta giải ra được x x= 0 ( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k ⇒ tiếp

tuyến

Cách 2 :

Gọi M x y là tiếp điểm , giải phương trình ( , )0 0 '

( )

f x = ⇒ =k x x , y0 = f x( )0 Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi : y k x x= ( − 0)+y0

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Bài giải :

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) ⇒ tiếp tuyến có dạng : y=3x m+

Điều kiện tiếp xúc :

3

2

1 3 (2)

x





 − =



có nghiệm

3 3

2

4

2,

2, 6 4

2

x

x

x

3

m= − tiếp tuyến có dạng 3 14

3

y= x− Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6

Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)

Cho hàm số

2

y

x

= + ; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :

y = -3x +2

Bài giải :

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2 ⇒ tiếp tuyến có dạng y = -3x + m

Điều kiện tiếp xúc

2

2

2

2

3 (2) ( 2)

x m x

x

 + + = − +



 + +



có nghiệm x≠ −2 (2) 2

3 2

5 2

x

x

 = −



 = −



2

x= − ⇒ = −m tiếp tuyến có dạng : y= − −3x 3

2

x= − ⇒ = −m tiếp tuyến có dạng : y= − −3x 11

Ví dụ 3 :

Cho hàm số 3

y= x + viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :

3y x− + =6 0 một góc 30 0

Hướng dẫn giải:

3

⇔ = − có hệ số góc 1

1 3

k = ; tiếp tuyến có hệ số góc k 2

Áp dụng công thức (*) : 0 1 2

1 2

tan 30

1

k k

k k

−

= + dễ dàng tính được k2 Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của bài toán đó là :

Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)

Cho hàm số y x= +3 3x2−9x+5 ( )C trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Bài giải : TXĐ: D R= Ta có : y, =3x2+6x−9 ; gọi M x y( , ) ( )0 0 ∈ C ⇒ hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :

2 0 0 0 ' ' 0 0 0 0 ( ) 3 6 9 ( ) 6 6 ; ( ) 0 1 k f x x x f x x f x x = = + − = + = ⇔ = − ⇒ − =f( 1) -12 Bảng biến thiên : x0 −∞ -1 +∞

f’(x0) - 0 +

f(x)

-12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min ( )f x0 = − ⇔12 x0 = −1 ,y0 =16 Vậy tại điểm có M( 1,16)− thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị ) Cach khác : Ta có : 2 2 0 0 0 0 ( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12, k= f x = x + x − = x + − ≥ − ⇒ k= − đạt được khi 0 1 0 12 x = − ⇒ y = − Vậy tại điểm có M( 1,16)− thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị) Một số ví Dụ Điển Hình Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999) Cho hàm số 2 2 x y x + = − ; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm ( 6,5)A − Bài giải :

Tiếp tuyến đi qua ( 6,5)A − có dạng : y k x= ( + +6) 5

Điều kiện tiếp xúc :

2

2 ( 6) 5 (1) 2

4

(2) ( 2)

x

k x x

k x

+

 −



 −

−



có nghiệm x≠2

Thế (2) vào (1) ta được : 2 4 2 ( 6) 5 2 6 0 0

6

x x

x

=



Với x = 0 → = −k 1 tiếp tuyến có dạng : y= − −x 1

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

+∞

+∞

Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước

Bài toán : cho hàm số : y= f x( ) và điểm A x y( , )0 0 viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A

Cách giải :

bước 1 : tiếp tuyến đi qua A x y( , )0 0 có dạng : y k x x= ( − 0)+y0

bước 2: điều kiện tiếp xúc '( ) ( 0) 0 (1) ó

( ) (2)

f x k x x y

c

f x k



bước 3: giải hệ này ta tìm được k ⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Với x = 6 1

4

k

y= − x+

Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)

Cho hàm số : 1 3 2 2 3

3

y= x − x + x viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua ( , )4 4

9 3

A

Bài giải :

Tiếp tuyến đi qua A có dạng : ( 4) 4

y k x= − + Điều kiện tiếp xúc :

2

ó

c





 − + =



nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được :

0

1

x

x

=









 =



Với x = 0 → =k 3 tiếp tuyến có dạng : y=3x

Với x = 8 5

y= − x+

Với x = 1 → =k 0 tiếp tuyến có dạng : y = 4

3 Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)

Cho hàm số :

( ) 1

x

= + , chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I của

hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )

Bài giải:

2

1

+ + tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 gọi I là giao điểm của hai

đường tiệm cận trên ⇒ −I( 1,0)

Đường thẳng (d) qua I có dạng : y k x= ( +1)

(d) là tiếp tuyến của (C )

2

2

2

( 1) (1) 1

2

(2) ( 1)

k x x

k x



 +



có nghiệm x≠ −1

Thay (2) vào (1) ta được :

2

x

+ + (vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp

tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Một số ví dụ điển hình :

Ví dụ 1 : (D2007)

Cho hàm số 2 ( )

1

x

x

= + tìm điểm M ( )∈ C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ

tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài giải :

0

0

2 ( , ) ( )

1

x

x

+ , 2

2 ' ( 1)

y x

= +

Tiếp tuyến tại M có dạng :

2

Gọi A=( )d ∩ox ⇒ tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

2

2 0

0

2 2

( , 0)

0 0

x

A x

y y

 = −



 =



Gọi B=( )d ∩oy ⇒ tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :

2

2 2

0

x

B

x



 =



Tam giác OAB vuông tại O ; OA = −x02 =x02 ; OB =

Diện tích tam giác OAB : S = 1

2 OA.OB

=

4

0

1

2

x





Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : 1( 1; 2) ; 2(1,1)

2

Vi Dụ 2 : (A2009)

Cho hàm số 2 (1)

x y x

+

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt

tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Dạng 4 : Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại

Học

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Ng Dương 093 252 8949

………

Ví dụ 3 : (dự bị D 2007)

Cho hàm số

1

x y

x

=

− (C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận của

(C) tạo thành một tam giác cân

Ví dụ 4: (dự bị B2007)

m

x

= − + +

− tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của (C tại A cắt m)

trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân

Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)

Cho hàm số y x= −3 12x+12 ( )C tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đò thị ( C)

Bài giải :

Điểm M nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)

Tiếp tuyến qua M có dạng : y k x m= ( − ) 4−

Điều kiện tiếp xúc :

3

2

12 12 ( ) 4 (1)





− =

Thế (2) vào (1) ta được :

2

2

x

=





Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt 2≠

4

2

m

m

m

 < −



 ≠



#

Vậy M (m , -4) với ( , 4) ( ,4 ) & 2

3

Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199)

Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 ( )C Tìm cá điểm thuộc đò thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C )

Do thời gian có hạn , tôi chưa thể giới thiệu hết với các bạn hết các dạng toán hay về tiếp tuyến , trong tháng này tôi sẽ tiếp tục hoàn thành và giới thiệu đến các bạn , phần còn lại của tiếp tuyến , và tiếp tục giới thiệu với các bạn chuyên đề : Tương Giao giữa hai đồ thị theo tôi

có khả năng rất cao sẽ thi ĐH năm 2010

Nha trang 2009

Gv -ths Nguyễn Văn Dương

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009

Bài tập về tiếp tuyến

Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị

bài 1: cho hàm số

2( 1)

y

x

=

− viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1.

bài 2 : cho hàm số 2 2 2

1

y

x

= + viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox

bài 3: cho hàm số 3

1

x y x

+

=

− (C) , cho điểm M x y0( , ) ( )0 0 ∈ C tiếp tuyến của ( )C tại M cắt các tiệm cận của (C) 0

tại A và B chứng minh rằng M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí của 0

điểm M (Dự Bị D 2006)0

bài 4: cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− (C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận tìm điểm M∈( )C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự Bị B2003)

bài 5 : cho hàm số 2

3

x y x

+

= + ( )C viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm cận

của ( )C tại hai điêm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( Khối A 2009)

Bài 6: cho hàm số y=2x3−3x2+5 viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua

19

( , 4)

12

A ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001)

Bài 7: cho hàm số 2

2

x y x

+

=

− ( )C viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua điểm

A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995)

Bài 8 : cho hàm số y = 1

1

x x

+ + , CMR có thể kẻ từ A( 1,-1) tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (ĐH Bách

Khoa 1996)

Bài 9: cho hàm số sau : 1 4 2 3

3

y= x − x + viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua (0, )3

2

A

Bai10: cho hàm số : 1 3 2 2 3

3

y= x − x + x qua điểm ( , )4 4

9 3

A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (ĐH Ngoại Ngữ 1998)

Bài 11 : cho hàm số

( 1)

y

x

= + chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được tiếp

tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)

2

x

= + Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

(d) : 3y x− + =6 0 (ĐH Cảnh Sát 1998)

Bài 13 : cho hàm số y= 3x3+4 ( )C viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :

3y x− + =6 0 một góc 300

Bài 14 : cho hàm số : y x= +3 3x2−9x+5 ( )C trong các tiếp tuyến với đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( ĐH Ngoại Thương 1998)

Bài 15 : cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− , gọi I là tâm đối xứng của đồ thị tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho tiếp tuyến tại

M vuông góc với đường thẳng IM ( Dự bị B2003)

Bài 16: cho hàm số : 1 3 2

( )

y= x − +x C tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2

y= − x+ (ĐH Ngoại Ngữ 2001) Bài 17: cho hàm số 1 ( )

1

x

x

+

=

− Tìm m để đường thẳng ( ) :d y=2x m+ cắt đồ thị hàm số ( )C tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau (CĐSP 2005)

Bài 18: cho hàm số 2 ( )

1

x

x

= + , tìm điểm M∈( )C , biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M tại hai diểm A, B và

tam giác OAB có diện tích bằng 1

2 (D2007)

1

x

x

=

− , Viết phương trình tiếp tuyến ( )d của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A,B sao

cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị)

Bài 20: cho hàm số y x= −3 12x+12 ( )C tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998)

Bài 21: cho hàm số y= − +x3 3x2−2 ( )C Tìm trên ( )C những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với

đồ thị hàm số ( )C ( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999)

Bài 22: cho hàm số 2 ( )

1

x

x

+

=

− và điểm A(0, a ) tìm a để từ điểm A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến ( )C sao

cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục ox (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001)

Bài 23 : cho hàm số y x= −3 3x2+2 ( )C tìm trên đường thẳng y= −2 các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm

số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 24 cho hàm số y x= −3 3x C2 ( ) Tìm trên đường thẳng x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Bài 25: cho hàm số y= − +x4 2x2−1 ( )C tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị ( )C (ĐH Y Dược TP HCM 1998)

http://chuyentoan.wordpress.com Nha Trang 8/2009