ĐÈ & ĐÁP ÁN TOÁN CHUYÊN ĐĂK LĂK 2010-2011

Điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD M không trung C.Trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho AN vuông góc với AM.. a Chứng minh MAN vuông cân.. b Xác định vị trí điểm M trên tia đối

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 THPT

TỈNH ĐĂKLĂK Năm Học 2010- 2011

Đề Chính Thức Môn: Toán –Chuyên

Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1:

1) Giải phương trình: (x2−4x)2+9x2−36x+20=0

2) Giải hệ phương trình: ( )( )







= + + +

−

= + +

1 2 3

6 2 3

2

2 y x y x

y x xy

Bài 2:

1) Cho a là số thực dương thỏa mãn a2 ≥a+2 Chứng minh phương trình:

x2+2ax+2a2−4=0

2) Cho phương trình: x2 + x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2

2 1

3 2

3

1 x x x x

A= + − −

Bài 3:

1) Cho a,b,c là các số thực.Chứng minh rằng:

a2010+b2010+c2010 ≥a1005b1005+b1005c1005 +c1005a1005 , với mọi a,b,c

Dấu bằng xảy ra khi nào?

2) Chứng minh biểu thức: P=x3(x2−5)+4x chia hết cho 5, với mọi x nguyên

3) Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình:

x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0

Bài 4:

1) Cho hình vuông ABCD Điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD ( M không

trung C).Trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho AN vuông góc với AM

a) Chứng minh MAN vuông cân

b) Xác định vị trí điểm M trên tia đối của tia CD sao cho tam giác AEC là tam giác đều, trong đó E là trung điểm của MN

2) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = 6 cm, BC = 5 cm và

CD = 3 cm Tính thể tích hình được tạo thành khi quay hình thang ABCD

quanh AD đúng một vòng

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐăkLăk Năm Học 2010-2011

Đáp Án Đề Thi Toán – Chuyên ( Năm 2010 -2011 )

Bài 1

1 + Đặt t = x2 -4x = (x-2)2- 4≥-4

+ Phương trình cho trở thành

t2 +9t +20 = 0 t= -5 ; t = -4 + Đối chiếu điều kiện t= -4 + Giải p/t t= - 4 tức x2 - 4x +4 = 0  x= 2

0,25 0,25 0,25 0,25 2

+ Viết lại hệ phương trình { ( ) ( )

1 2 3

6 2

3

2 2

2 2

= + + +

−

= + +

y y x x

y y x x

+ Đặt u = x2 +3x =

2

2

3











 −x -

4

9 ≥ -4 9

Và v = y2 +2y = (y+1)2 -1 ≥ -1

Ta được hệ p/t :







= +

−

= 1

6

v u uv

Lúc này u và v là hai nghiệm của p/t : X2 –X -6 = 0 X=-2 ;X=3

Đối chiếu điều kiện









−

≥

−

≥ 1 4 9

v

u

ta có hệ









= +

−

= +

3 2

2 3

2

2

y y

x x

+ Giải hệ ta được 4 nghiệm :







−

=

−

=







=

−

=







−

=

−

=







=

−

=

3

2

; 1

2

; 3

1

; 1

1

y

x y

x y

x y

x

0,25 0,25 0,25

0,25

Bài2

(2đ)

1 = Tính '∆ =a2 –(2a2-4) = 4-a2

+ Từ giải thiết a > 0 ; a2 ≥2+a ta có a2 ≥2 2 =>aa 4 ≥8 => a≥2 + Lúc này ∆' ≤0

+Kết luận : phương trình đã cho không có hai nghiệm phân biệt

0,25 0,25 0,25

2 x2 +x +m =- 0 (1)

P/T (1) có hai nghiệm phân biệt khi x1 ,x2 khi ∆= 1- 4m≥0  m

4

1

≤

+Theo định lí Vi Et ta có :









=

−

= +

m x x

x x

2 1

2

+ A=(x1 +x2 )[ ( ) 1 2]

2 2

1 x 3 x x

x + − -[ ( ) 1 2]

2 2

1 x 2 x x

0,25

0,25

0,25

2

Vì m

4

1

≤ nên A

4

3

−

≤ do đó giá trị lớn nhất của A là

-4

3 khi m =

4

Bài 3

( 3đ)

1

Đặt x =a1005, y = b1005 ; z = c1005.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

x2 +y2 + +z2 ≥xy+yz+zx 2(x2 +y2 +x2)≥2(xy+yz+zx) ( x- y)2 + (y-z)2 +(z-x)2 ≥ 0 ,∀x, y, z ∈R và dấu “ =” xảy ra khi x= y= z hay a =b = c

0,25 0,25 0,25 0,25

2 + Phân tích P =x(x4-5x2+4) = x(x2-1)(x2-4)

= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)

- Vì x∈Z thì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp do đó P5 với ∀x∈Z

0,25 0,25 0,5

+Viết lại p/t đã cho về dạng (x+y)2 + 7(x+y) +y2 +10 = 0 Đặt t = x+y ta có t2 +7t +y2 +10 = 0 (1)

Phương trình (1) có nghiệm theo t khi ∆= 49 – 4(10+y)2 > 0 , y2 ≤

4 9

 y ≤

2

3 mà y∈Z => y = -1; 0;1 +Với y = -1 thì phương trình x2 +5x+5 = 0 ( vô nghiệm) + Với y = 0 x2 +7x +10 = 0  x =-5 ; x= -2

+ Với y = 1 giải tương tự không tồn tại số nguyên x thỏa đề bài + kết luận : p/t đã cho có nghiệm x , y nguyên là







=

−

=







=

−

=

0

2

; 0

5

y

x y

x

0,25 0,25

0,25

0,25

Bài 4:

( 3đ)

D

M C

N

E

Tứ giác MCAN nội tiếp ( vì góc MAN = góc MCN =900 )

Ta có góc AMN = góc CAN ( vì góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà góc ACN=450 nên góc AMN = 450 do đó ∆AMN vuông cân tại A

∆MAN và ∆MCN là các tam giác vuông cân nên AE = CE =

2

MN

Để∆AEC đều thì chỉ cần AC= CE

Đặt cạnh hình vuông bằng a ta có AB = a (a> 0) => AC = a 2 => CE = a 2

 MN = 2a 2 => AM = 2a

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của tia đối của tia CD với đường tròn tâm

A, bán kính bằng 2AB

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

2

3cm

3cm

3cm

A

C D

B E

Từ C dựng đường thẳng song song với AD cắt AB tại E => EB = 3(cm) 0,25

4

Ta có ∆CEB vuông tại E nên CE = BC2 −EB2 =4(cm)

Khi quay hình thang ABCD quanh AD đúng một vòng hình thu được là hình

nón cụt có bán kính đáy lớn R = 6 (cm) và bán kính đáy nhỏ R’= 3(cm)

và chiều cao h= 4 (cm)

Thể tích hình nón cụt là V = [ ( )' ']

3

1Πh R2 + R 2 +RR

= 4[6 3 6.3]

3

1Π 2 + 2 + = 84 Π(cm3)

0,25 0,25

0,25

B HƯỚNG DẪN CHẤM

1) Điểm bài thi đánh giá theo thang điểm từ 0 đến 10 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn

2) Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó

3 ) Đáp án và biểu điểm gồm 04 trang

***Hết **