Đáp án Toán Chuyên Sư phạm lần 1, 2012

Cho hình chóp SABC có hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy nằm trong ABC , các mặt bên tạo với đáy góc bằng 60.. Tính thể tích khối chóp SABC Câu V.. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam g

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1, 2012

MÔN: TOÁN Ngày thi: 08-01-2012 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I Cho hàm số yx32(m1)x2(m24m1)x2(m21) (Cm)

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m  0

2) Tìm m để hàm số ( Cm có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với )

2

y x

Câu II

x x   x   x

2) Giải bất phương trình: 9x22 x  x  1 1

Câu III



2) Giải phương trình: 2

log xlog x.log ( 2x 1 1)

Câu IV Cho hình chóp SABC có hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên đáy nằm trong ABC , các mặt bên tạo với đáy góc bằng 60 Biết 0 ABC60 ;0 AB4 ;a AC2 7a Tính thể tích khối chóp SABC

Câu V Cho các số thực a b c , , (0;1) Chứng minh rằng: (1 )(12 ) 1

ab





Câu VI

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A các đỉnh A B, thuộc đường thẳng y 2, phương trình cạnh BC: 3x y 20 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác bằng 3

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm M(1;1),N(2; 4) và tiếp xúc với đường thẳng 2x  y 9 0

Hết

2 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I

(Tự giải)

Câu II.1 (can_hang2007)

Ta có

2

và

2

nên phương trình đã cho tương đương với

sin 7xsin 9xsin 2xsin 4 ,x

tức

2sin 8 cosx x2sin 3 cos x x

Đến đây thì dễ rồi.^^

Câu II.2 (can_hang2007)

+ Điều kiện: x  0

+ Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với:

2

1

1 3

x

x



x

+ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1;

3

S  

Câu III.1 (Dấu chấm)

Mặt khác ta lại có

tan

tan tan

1

3 3

1 3

 

Do đó ta có

d

I  x  x   xC

Câu III.2 (jet_nguyen)

Hướng dẫn: ĐK: x  1

Ta có:

2

2

Câu IV (iceage3) _

Theo định lý cosin trong tam giác ABC ta tính được:

AB BC  AB BCAC BC a

Do hình chiếu của S xuống mặt đáy tạo các góc bằng nhau nên hình chiếu của S xuống ( ABC là I tâm )

đường tròn nội tiếp ABC

2

1

2

o ABC

2

3

ABC ABC

S

p





Chiều cao hình chóp: hr tan 60o (5 7 )a

4 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/

3

Câu V (can_hang2007)

Ta có (1a)(1b) 1 (  a b )ab 1 2 abab1 ab2 nên

2

2

1



1 ab 4 ab và 0 ab nên ta có 1

1

4 1

ab ab



Đó chính là điều phải chứng minh

Câu VI.1. Cách 1 (F7T7)

Dễ dàng tìm được B(0, 2)

a



3 1

A 



Do AC vuông góc với y 2 nên A, C có cùng hoành độ

- Nếu ( 2 3 ; 2)

3 1

A

;

C  

3 1

A 

;

C   

Từ đây dễ dàng tìm được tọa độ G theo tọa độ 3 điểm A, B, C

Cách 2 (can_hang2007)

Từ giả thiết, ta suy ra tọa độ của B chính là nghiệm của hệ phương trình 2

y

x y







  



Giải hệ này, ta tìm được x0,y2 Do đó (0,2).B

Bây giờ, giả sử A có tọa độ ( ,2) A a (a 0). Thế thì, do tam giác ABC vuông tại A nên C phải nằm trên đường thẳng vuông góc với AB (tức đường thẳng y = 2) tại A, tức C thuộc phương trình xa Vậy tọa độ của

C chính là nghiệm của hệ phương trình

x y







  

 Giải ra, ta tìm được C a , 3a 2  Và như vậy, ta có

  2

ABC

S  AB AC a và (gọi p là nửa chu vi tam giác)

3 3 | |

a

Theo giả thiết, ta có r  3 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) và S ABC

r p

2

3

2

a a





hay tương đương | | 3a   3 Từ đây ta tìm được a  3 3 hoặc a   3 3

[*] Với a  3 3, ta có A3 3,2 , (0,2), B C3 3,3 3 5   Suy ra tọa độ trọng tâm G của tam giác là

[*] Với a   3 3, ta có A 3 3,2 , (0,2), B C 3 3, 3 3 2  Suy ra tọa độ trọng tâm G của tam giác

Bài toán được giải quyết xong

Câu VI.2. _ Cách 1 (iceage3)

Đặt tâm của đường tròn là ( ; )I a b

IM IN a  b  a  b a b

Do đường thẳng (d) 2x   tiếp xúc với đường tròn nên: y 9 0

d I d IM a b   a  b

Từ (1), (2) tìm được a3,b hay 2 a 357,b122

Cách 2 (lonelyplanet)

Trung điểm của MN là ( ;3 ,

2

5 ) 2

H MN  1;3

Tâm O của đường tròn thuộc đường trung trực d của MN

d đi qua H và nhận MN 1; 3



làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình : ( 3) 3 )

2

5

2

d x y Do đó (9 3O  y O;y O)

Lại có (O) tiếp xúc với d1: 2x   , nên y 9 0

6 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/

1

5

2

122

O

O

y

y









Ta tìm được hai điểm O thỏa mãn (3; 2) và ( 357;122)

Hướng dẫn giải được tổng hợp bởi https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia/

Từ lời giải của các thành viên diễn đàn Boxmath.vn, Onluyentoan.vn