skkn bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức.

Đa phần các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi ở học sinh tưduy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải.. Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức,

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức (BĐT) là chuyên đềchứa đựng lượng kiến thức rất rộng, phong phú và cũng được coi là rất khó đốivới học sinh Bất đằng thức là một trong những bài toán được quan tâm đếnnhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học- Cao đẳng Vì vậy dạy chohọc sinh giải toán bất đẳng thức đòi hỏi phải dạy cho các em cách tìm tòi lời giải

là việc làm cần thiết Đa phần các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi ở học sinh tưduy rất cao, suy luận rộng và phải linh hoạt khi đi tìm cách giải

Một số học sinh rất ngại khi gặp bài toán về bất đẳng thức, cái ngại ở đâykhông phải do khối lượng kiến thức nhiều mà thông thường học sinh không nắmđược phương pháp và kỹ thuật khi chứng minh bất đẳng thức vì các bài toán bấtđẳng thức khó định hướng cách giải, nhiều bài toán phải sử dụng các bất đẳngthức trung gian rất khó nghĩ tới nên phần lớn học sinh gặp rất nhiều khó khăn khigiải quyết các bài toán bất đẳng thức Học sinh chỉ quen dùng phương pháp biếnđổi tương đương khi gặp bài toán bất đẳng thức, khi điều này không khả thi thìlúng túng không biết nên bắt đầu từ đâu, đặc biệt là đối với những bài toán có sửdụng bất đẳng thức trung gian

Trong những bài toán đơn giản việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc, cácphương pháp thường gặp trong giải bài toán bất đẳng thức thì học sinh dễ tiếpcận Song đối với những bài toán phức tạp thì vấn đề không đơn giản chút nào.Như vậy để có thể giải các bài toán về bất đẳng thức phức tạp, người giải toáncần có một phương pháp, một kỹ thuật sử dụng để chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức được coi là rất khó nhưng cũng là phần quyến rũ nhiều học

hứng thú tìm tòi lời giải trong các bài toán bất đẳng thức, tôi xin trình bày một số

bài toán minh họa trong việc Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức.

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

2 Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm

Dấu “=” xảy ra khi ay – bx = 0

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA

Một số BĐT trung gian thường gặp:

 (a-b)(a 2 – b 2 )  0

 (a-b) 2 (a+b)  0

BĐT sau cùng này luôn đúng với mọi a  0 và b 0 nên BĐT đã cho đúng với mọi a  0 và b 0 Dấu bằng xảy ra khi a = b.

2 Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 4 .

b a b

b

a

2 1

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương là a và b, ta có: a b 2 ab

3 Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:

( ) 2

4 1

b a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4 Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 1, ta nghĩ ngay đến BĐT (1)

Bài giải: Ta sẽ sử dụng BĐT (1) như sau:

) (

1 1

3

c c

b a ab abc b

b c abc abc a b c  c a abc abc a b c 

Cộng các BĐT này lại với nhau theo từng vế ta được BĐT cần chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài toán 3: Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng:

2

1 2

1 2

1 2

1 ( 4 1 1 1 1

b a d a d c d c b c b a d

c b

a              

Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 3, ta nghĩ ngay đến BĐT (2)

Bài giải: Ta áp dụng BĐT (2) như sau:

Cộng các BĐT trên lại với nhau và rút gọn ta được BĐT cần chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

c b a c b a c b a a c c b b

a           2  

1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

a

b

a                2 

2 2

1 3

1 2

3

4 2

1

3

1

Tương tự ta cũng có:

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Cộng theo từng vế các BĐT trên lại ta có BĐT cần chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài toán 5: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

2

) (

3 )

2 )(

2 (

1 )

2 )(

2 (

1 )

2 )(

2 (

1

c b a a c a b c a c b b c b

a          

Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3)

Bài giải: Ta vận dụng BĐT (3) cho 2 số dương là 2a+b và 2c+b ta có:

2

2 2

) (

1 )

4 )

2 )(

2 (

1 )

2 2

(

4 )

b

a

c b a b

c b a b

c b a b

1 )

1 )

a

b

c b a c a

Cộng theo từng vế các BĐT trên lại với nhau ta được BĐT cần chứng minh

Bài toán 6: Cho a, b, c ,d là các số dương Chứng minh rằng:

d c b a c b d a

d b d

c b a

c a

( ) )(

Phân tích: nhìn vào BĐT trong bài toán 5, ta nghĩ ngay đến BĐT (3)

Bài giải: Ta áp dụng BĐT (3) cho 2 số dương là a+b và c+d, ta có:

2

) ( 4 )

)(

( ) (

4 )

)(

(

1

d c b a

c a d

c b a

c a d

c b a d

) ( 4 )

)(

d b c

Bài toán 7: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:

1 )

3 3 2 2 ( ) )(

(

1 )

( 3 2

2

3

d c b a d c b a d

c b a d c b a d

(

1 )

3 3 2 2 ( ) (

4 )

)(

(

1

d c b a

d c b a d

c b a d c b a d

c b a d

d c b a

d c b a d c b

)(

b a d

b c a

b a

Bài toán 8: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

c b a a c c b b

a       

3 2

1 2

1 2

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Vậy ta phải chứng minh: S =a c b a c b25 25 25 1 1 1

c b a a c c b b a c b

a        

Bài giải:

Ta viết lại BĐT cần chứng minh như sau:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

4

c b a a c c b b a a c c b b a c

ca bc ab a

c c

b b

1 4

4

1

b a ab b

p       

Với p là nửa chu vi của tam giác

6 Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

b c b

a

8 Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a+b+c 3 Chứng minh rằng:

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

2

3 1

1 1

1 1

1 2

1

2 2

a c c b b a ca bc

ab       

B.KỸ THUẬT CHỌN “ĐIỂM RƠI”

Các bất đẳng thức thông thường là đối xứng với các biến, từ đó ta dự đoándấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại điểm biên

Ví dụ : Cho a ≥ 3 chứng minh 1 10

3

a a

được vì dấu bằng không xẩy ra

Vậy phải sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số ma và a1 , ta chọn m sao cho:

1

193

1

a a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = 3

Phân tích tìm lời giải:

1 Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra của BĐT hay các biến bằng nhau mà tại đó biểu

thức đạt GTLN, GTNN

2 Từ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra, kết hợp với các BĐT quen thuộc ta tìm tham

số sao cho dấu đẳng thức xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu đẳng thứcxảy ra ở bước dự đoán ban đầu

3 Với tham số tìm được ta bắt tay vào giải bài toán

Sau đây là một số bài toán minh hoạ:

Bài toán 1: Cho , ,a b c  thỏa mãn 0 a b c  1

1

91

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Phân tích: Do vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức là như nhau nên dấu bằng

xảy ra khi a = b = c Khi đó:

không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số:

3 

3 2

a b+c ; 3b+c ;3b+c

Phân tích: Vì tính đối xứng của a, b, c trong BĐT nên dấu đẳng xảy ra khi a =

b = c Ta làm vế phải xuất hiện a 3 nên cần áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số:

3

a b a

4

2

1 16

) 3

(

b c b

4

2

1 16

) 3

(

c a c

16

a c c b b a c

b

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có:

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

333

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Bài toán 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b +c  1

a ( b c )m n

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1

kết luận được MinP  4 2 2

Do P là biểu thức đối xứng với a b, , ta dự đoán MinP đạt tại 1

4 2

a b   m Vậy ta phải phân tích

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Bài toán 8: Cho x y z, , là ba số dương và x y z   1, chứng minh rằng:

x x

phải chọn m sao cho:

1 1 1 1

9 1

c b a c b a

c

ab b

ca a

Do tính đối xứng của a, b, c nên S nhỏ nhất khi abc31 Khi đó:

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

2

13

80 1 1 1

c b a ca bc

80 1 1 1

c b a ca bc

80 1 1 1

c b a ca bc

3

a b c

S

c b a c b a

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

Chứng minh rằng:

3 3

S

Phân tích:

Do tính đối xứng của a, b, c và a2 b2 c2 1 nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy

3

a b c  

3

Vậy hàm số mà ta phải xét là: f x   x x3 x1 x2 với x 0;1( do a, b, c dương và a2 b2 c2 1 nên a b c , , 0;1) do đó phải đưa :

S

Bài giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với BĐT:

3 3

a  a b  b  c  c 

Ta xét hàm số f x  x1 x2  x x3 với x 0;1 Ta có :

3

f x   x f x    x   x (vì x > 0 )

Bảng biến thiên:

x 0 1

3 1

f x/  + 0 

f(x) 2

3 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra:    2 1 2

2

2 1

1 2

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

10. Cho , , 0

1

x y z xyz

III KẾT LUẬN

Không dễ để có thể trình bày hết các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thứcđược Những bài toán được chọn lọc minh họa trên đây với kỹ thuật sử dụng bấtđẳng thức trung gian và kỹ thuật chọn điểm rơi bước đầu tạo cho học sinh giảitoán có thể tháo gỡ những khó khăn trong việc tìm tòi cách giải các bài toán vềbất đẳng thức Với trang bị ban đầu này học sinh học sinh có thể tìm tòi thêm cácbất đẳng thức trung gian khác để lưu trữ vào kho kiến thức của mình Thông quacác bài toán chọn lọc về chọn điểm rơi, tôi thiết nghĩ những bài toán khó về bấtđẳng thức đã phần nào có hướng giải quyết, cánh cửa kiến thức về bất đẳng thức

đã bắt đầu hé mở đối với học sinh Hy vọng các em học sinh sẽ hứng thú khi gặpcác bài toán loại này, không còn ngại khi giải toán về bất đẳng thức

Phan Rang- Tháp Chàm, ngày 17 tháng 05 năm 2010

Người viết

Trần Thanh Tuấn

Bồi dưỡng học sinh cách tìm tòi lời giải trong một số bài toán bất đẳng thức

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN