hệ phương trình nâng cao

hệ phương trình nâng cao tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kin...

Trang 1

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Bài 1 Giải hệ phương trình





x2+ xy + y2+ x + y

3

x + 1 = 2 2x + y + y

2

x + 1 = 2 Hướng dẫn

Ta biến đổi hệ trở thành hệ :











(x + y + 1)

x + y

2

x + 1

= 2 (x + y + 1) +

x + y

2

x + 1

= 3







x2+ y2 (x + y + 1) = 25 (y + 1)

x2+ xy + 2y2+ x − 8y = 9

Hướng dẫn

Ta biến đổi hệ trở thành hệ:









x2+ y2

y + 1

(x + y + 1) = 25

x2+ y2

y + 1

+ (x + y + 1) = 10 Bài 3 Giải hệ phương trình

(

xpy2+ 6 + y√x2+ 3 = 7xy

x√x2+ 3 + ypy2+ 6 = 2 + x2+ y2

Hướng dẫn

Ta biến đổi hệ trở thành hệ:











√

x2+ 3 + x

x +

p

y2+ 6 + y

y = 9 3x

√

x2+ 3 + x+

6y p

y2+ 6 + y = 2 Bài 4 Giải hệ phương trình







x3+ y3+ 6xy = 8

x2+ y2 = 2x + y + 14 Hướng dẫn

Ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ:

x3+ y3+ 6xy = 8 ⇔ (x + y)3− 8 − 3xy(x + y − 2) = 0 ⇔ (x + y − 2) (x + y + 4)2+ 3(x − y)2

4

= 0







8y3+ 6y + 1 +p3x2+ 16y2 = 19

x2+ 4y2= 4

Hướng dẫn Xét hàm f (y) = 8y3+ 6y + 1, g(x) =√16 − x2 với x ∈ [−2; 2], y ∈ [−1; 1] Khi đó

f (y) + g(x) ≤ f (1) + g(0) = 19

Trang 2

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín







4x3+ 4y3 = 3x2y + 2√3xy + 2x

x2 = y2+ 1

Hướng dẫn Đặt y = tan a, x = 1

cos a Bài 7 Giải hệ phương trình







y3+ 3xy − 17x + 18 = x3− 3x2+ 13y − 9

x2+ y2+ xy − 6y − 5x + 10 = 0

Hướng dẫn

Từ phương trình (2) ta tìm được : 5

3 ≤ y ≤ 3,

2

3 ≤ x ≤ 2 Nhân phương trình (2) với −3 và cộng với phương trình (1) ta có : (y − 1)3 + 2(y − 1) = x3 + 2x Bài 8 Giải hệ phương trình







1 + x3y3 = 19x3

x + xy2 = −6x2 Hướng dẫn

Ta đưa về hệ sau:









1

x + y

3

−3y x

1

x + y

= 19 y

x

1

x+ y

= −6 Bài 9 Giải hệ phương trình







xy2+ y3+ 3x − 6y = 0

x2+ xy − 3 = 0 Hướng dẫn Thế từ pt thứ hai vào pt thứ nhất, ta được: x3+ y3− x2y − xy2 = 0







x(y2+ 1)

x2+ y2 = 3

5 y(x2− 1)

x2+ y2 = 4

5 Hướng dẫn Lần lượt lấy phương trình (1) nhân cả 2 vế với x, phương trình (2) nhân cả 2 vế với y, rồi cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta được 3x

5 −

4y

5 = 1 ⇔ 3x − 4y = 5 Bài 11 Giải hệ phương trình







xy2+ 3x2= 2y

y2+ x2y = −2x Hướng dẫn

Hệ viết lại







3x3= 2xy − x2y2

y3 = −2xy − x2y2

Trang 3

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín

( (√x2+ 1 + x)(py2+ 1 + y) = 1

4√x + 2 +√22 − 3x = y2+ 8

Hướng dẫn

Từ PT (1), suy ra: √x2+ 1 + x =py2+ 1 − y Đến đây xét hàm số: f (t) =√t2+ 1 + t





1

x+

1 2y = (x

2+ 3y2)(3x2+ y2) 1

x−

1 2y = 2(y

4− x4) Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:





2

x = x

4+ 5y4+ 10x2y2 1

y = 5x

4+ y4+ 10x2y2

⇔







2 = x5+ 5xy4+ 10x3y2

1 = 5x4y + y5+ 10x2y3 Bài 14 Giải hệ phương trình







x3+ 3xy2= −49

x2− 8xy + y2 = 8y − 17x

Hướng dẫn Nhân phương trình thứ hai của hệ đã cho với 3 rồi cộng vào phương trình thứ nhất, ta được

(x + 1) (x + 1)2+ 3(y − 4)2 = 0 Bài 15 Giải hệ phương trình







x4− y4 = 240

x3− 2y3 = 3(x2− 4y2) − 4(x − 8y)

Hướng dẫn Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng vào với phương trình thứ nhất, ta được (x − 2)4 = (y − 4)4 Bài 16 Giải hệ phương trình











√ 3x

1 + 1

x + y

= 2

√ 7x

1 − 1

x + y

= 4√2 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau











1 + 1

x + y =

2

√ 3x

1 − 1

x + y =

4√2

√ 7x

⇔











1

x + y =

1

√ 3x−

2√2

√ 7x

1 = √1 3x+

2√2

√ 7x Bài 17 Giải hệ phương trình







2x3− 9y3= (x − y)(2xy + 3)

x2− xy + y2 = 3

Hướng dẫn Thế 3 = x2− xy + y2 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 2x3− 9y3 = (x − y)(2xy + x2− xy + y2)

Trang 4

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín







9y3(3x2− 1) = −125 45x2y + 75x = 6y2 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau:





27x3+ 125

y3 = 9 45x2

y +

75x2

y2 = 6

⇔









(3x)3+ 5

y

3

= 9

3x.5 y

3x + 5 y

= 6 Bài 19 Giải hệ phương trình





8(x2+ y2) + 4xy + 5

(x + y)2 = 13 2x + 1

x + y = 1 Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau





5(x + y)2+ 5

(x + y)2 + 3(x − y)2= 13 2x + 1

x + y = 1

⇔











5

x + y + 1

x + y

2

+ 3(x − y)2= 23

x + y + 1

x + y

+ (x − y) = 1 Bài 20 Giải hệ phương trình







(17 − 3x)√5 − x + (3y − 14)√4 − y = 0

2√2x + y + 5 + 3√3x + 2y + 11 = x2+ 6x + 13

Hướng dẫn Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (3 (5 − x) + 2)√5 − x = (3 (4 − y) + 2)√4 − y

Xét hàm số f (t) = 3t2+ 2 t với t ∈ R+







2x3+ 3x2− 18 = y3+ y 2y3+ 3y2− 18 = z3+ z 2z3+ 3z2− 18 = x3+ x

Hướng dẫn Xét hàm số f (t) = 2t3+ 3t2− 18 và g(t) = t3+ t

Ta có g0(t) = 3t2+ 1, ∀t ∈ R

Suy ra g(t) đồng biến trên R

Khi đó, hệ phương trình được viết lại dưới dạng:





f (x) = g(y)

f (y) = g(z)

f (z) = g(x) Không mất tính tổng quát giả sử x = max{x, y, z} Khi đó







x ≥ y

x ≥ z

⇔







g(x) ≥ g(y) g(x) ≥ g(z)

⇔







x ≥ y

x ≥ z

⇔







(x − 2)(x2+ 5x + 9) ≤ 0 (z − 2)(z2+ 5z + 9) ≥ 0

⇔







x ≤ 2

x ≥ 2

Từ đây, suy ra 2 ≤ z ≤ x ≤ 2 ⇒ x = z = 2, thế vào hệ phương trình, ta được y = 2

Vậy hệ có nghiệm là (x; y; z) = (2; 2; 2)

Trang 5

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín







2x− 2y = (y − x)(xy + 2)

x2+ y2 = 2 Hướng dẫn Thế 2 = x2+ y2 vào phương trình thứ nhất, ta được 2x+ x3 = 2y+ y3 Xét hàm số f (t) = 2t+ t3 với t ∈ R Bài 23 Giải hệ phương trình





x3+ 3x2+ 2x − 5 = y

y3+ 3y2+ 2y − 5 = z

z3+ 3z2+ 2z − 5 = x

Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:









(x − 1)(x2+ 4x + 6) = y − 1 (y − 1)(y2+ 4y + 6) = z − 1 (z − 1)(z2+ 4z + 6) = x − 1 Bài 24 Giải hệ phương trình









x3+ y = 3x + 4 2y3+ z = 6y + 6 3z3+ x = 9z + 8

Hướng dẫn Biến đổi thành hệ sau:





(x − 2)(x + 1)2= 2 − y 2(y − 2)(y + 1)2= 2 − z 3(z − 2)(z + 1)2 = 2 − x Bài 25 Giải hệ phương trình







√ 2(x − y)(1 + 4xy) =√3

x2+ y2= 1

;







xp1 − y2+ y√1 − x2

(1 − x)(1 + y) = 2 Hướng dẫn

Đặt x = cos α, y = cos β





2x + x2y = y 2y + y2z = z 2z + z2x = x

Hướng dẫn Biến đổi thành hệ:





y = 2x

1 − x2

z = 2y

1 − y2

x = 2z

1 − z2

Đặt t = tan α





 3

x +1 x

= 4

y + 1 x

= 5

z +1 z

xy + yz + zx = 1

Hướng dẫn Đặt x = tan α, y = tan β, z = tan γ

Trang 6

Hồng

Ngự

2

Lê

Tín





xy + x − 2 = 0 2x3− x2y + x2+ y2− 2xy − y = 0

Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về tích (x2− y)(2x − y + 1) = 0







5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = 0 xy(x + y)2+ 2 = (x + y)2

Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về tích (xy − 1)(x2+ y2− 2) = 0







(x + y − 3)3= 4y3 x2y2+ xy + 454

x + 4y − 3 = 2xy2

Hướng dẫn

Từ pt thứ hai ta có y3(2xy−3)3= (x+y−3)3 Kết hợp với pt đầu ta được: y3(2xy−3)3= 4y3

x2y2+ xy +45

4







x4+ 2xy + 6y − (7 + 2y)x2 = −9 2x2y − x3 = 10

Hướng dẫn Đưa phương trình thứ hai về dạng (x2− y)2− 6(x2− y) + 9 = (x − y)2⇔ (x2− y − 3)2 = (x − y)2







2x +p2 − x + y − x2− y2 = 1 2x3 = 2y3+ 1

Hướng dẫn Biến đổi về hệ sau:







5x2− 3x − 1 = y − y2

2x3− 2y3 = 1

⇔







5x2− 3x + y2− y = 1 2x3− 2y3 = 1

Do đó:

2x3− 2y3 = 5x2− 3x + y2− y ⇔ (x − y − 1) 2x2− 3x + 2xy + 2y2− y = 0

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	160,59 KB