Giáo án môn Toán lớp 12 bài “Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số”

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTBẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1.. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A.. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1 Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)

Giả sử f xác định trên D  Ta có

 

max

x D



 





x D



 

  







2 Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,

GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  a b; , ta làm như sau:

 B1 Tìm các điểm x ,1 x , …,2 x thuộc khoảng m  a b; mà tại đó hàm số f có đạo

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 B2 Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m , f a , f b 

 B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là

GTLN của f trên đoạn  a b; ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

f trên đoạn  a b;

;

x a b f x f x f x f x f a f b

x a b f x f x f x f x f a f b

Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào

thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 3

1

y

x



 trên đoạn  0; 2

Giải Ta có     

y

   x  0; 2 Lại có y 0 3,

 2 17

3

y  Suy ra

  0;2

x y

  ,

  0;2

17 max

3

x y

Nhận xét.

 f đồng biến trên  a b;       

;

;

min max

x a b

x a b

f x f a

f x f b















 f nghịch biến trên  a b;       

;

;

min max

x a b

x a b

f x f b

f x f a















Ví dụ 2 [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x  4x2

Giải.TXÑ   2; 2 Ta có

2

4 ' 1

y

  (x  2; 2)

Với mọi x  2; 2, ta có

' 0

4x  x 0  2

4 x x  02 2

4

x







Vậy

minymin y 2 ;y 2 ;y 2 min 2;2;2 2   , đạt được 2 x 2;

maxymax y 2 ;y 2 ;y 2 min 2;2;2 2 2 2, đạt được  2

Ví dụ 3 [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

1 1

x y x





 trên đoạn1; 2

Giải Ta có

2

2

1 1

1 1

'

x

x x

y

  





Với mọi x  1; 2 ta có

' 0

y   x1 Vậy

     

5

  , đạt được  x 1;

     

5

  , đạt được  x1.

Ví dụ 4 [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y ln x2

x

 trên đoạn 1;e3

Giải Ta có

2

2

ln

2ln ln '

x

x y

Với mọi x 1;e3 ta có

' 0

y   2lnxln2x0  lnx0 hoặc lnx2

 x1 hoặc x e 2  x e 2 (1 1;e3 )

3 2

9 4 miny min y 1 ;y e ;y e min 0; ; 0

e e

 

  , đạt được  x1.

3 2 2

9 4 4 maxy max y 1 ;y e ;y e max 0; ;

 

2

x e

Ví dụ 5 [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số y  x2 4x21  x2 3x10

Giải xTXÑ 

2 2

4 21 0

3 10 0





x x

  



  

    2 x 5, suy ra TXÑ=  2;5 Ta có

2 2 3 '

4 21 2 3 10

y

      .

' 0

4 21 2 3 10

 4 x2 3x10x24x4   x2 4x21 4 x212x9

 51x2104x29 0  1

3

x hoặc 29

17

x

Thử lại, ta thấy chỉ có 1

3

x là nghiệm của 'y

y   , y 5 4, 1 2

3

y   

   miny 2, đạt được 

1 3

x

C Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y 4x2

2) y x 22x trên đoạn5 2;3

3) y  x2 2x trên đoạn4  2; 4

4) y x 33x trên đoạn3 3;3

2

 

 

 .

3

y x  x  x trên đoạn 4;0

6) y x 33x29x trên đoạn1 4; 4

7) y x 35x trên đoạn4 3;1

8) y x 4 8x2 16 trên đoạn  1;3

9) y x 1

x

  trên khoảng 0;

1

y x

x

 

 trên khoảng 1;

11) y x 1

x

  trên nửa khoảng 0; 2

12)

2

x

y

x



 trên nửa khoảng 2; 4

13)

2

2

y

x



 trên đoạn  0;1

14) ysin4xcos4 x

15) y2sin2x2sinx 1

16) ycos 22 xsin cosx x 4

17) ycos3x6cos2x9cosx 5

18) ysin3xcos 2xsinx 2

19) y sin 3x3sin3x

20)

2

2cos cos 1

cos 1

x





§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

 Xác định ẩn phụ t

 Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t

 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một

hàm biến t trên miền giá trị của t

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho x, y thỏa mãn0 x y  Tìm GTLN, GTNN của4 S x31y31

Giải Đặt txy, suy ra  2

4

x y

xy  x y  x y  xy

  t34 4 23t1 t312t 63

Xét hàm   3

12 63

f t  t t , với t 0; 4 Ta có   2

' 3 12 0

f t  t    t  0; 4  f t  đồng biến trên  0; 4 Do đó



0;4

t



    , đạt được khi và chỉ khi

4 0

x y xy

 



 

  x y;    4;0 hoặc x y;    0; 4



0;4

t



   , đạt được khi và chỉ khi

4 4

x y xy

 



 

Ví dụ 2 Cho x, y thỏa mãn0 x2y2  Tìm GTLN, GTNN của S x y xy2   

Giải Đặt t  x y t0 Ta có

t  x y  x y   t2,

t  x y x y  xy x y   t 2 Suy ra t   2;2 Lại có

 2  2 2

2

1 1

1 2

S  f t   t   t

Ta có f t'    t 1 0 với mọi t 2; 2 , f  2 1,  1 3

2

f  Do đó

 minS  f  2 1, đạt được  2 22

2

x y

 





 

1 1

x y





 

2

S f  , đạt được  2 21

2

x y

 



  

1 3 2

1 3 2

x

y

 









 



hoặc

1 3 2

1 3 2

x

y

 









 



Ví dụ 3 Cho x, y thỏa mãn0 x2y2  Tìm GTLN, GTNN của8

S

Giải Đặt t x y, ta có

 2  2 2

2 2 8 16

x y  x y     t4,

x y x y  xy x y   t2 2

Suy ra 2 2 t 4 Lại có

 2  2 2

2 8

Ta có biến đổi sau đây



2 1

x y xy

   



  

2

8 8 1 2

t t t t t





8 2

2 6

t



 

  .

Xét hàm   2 8

2 6

t

f t





  với 2 2 t 4 Ta có

f t

    , t: 2 2  t 4.

Suy ra f nghịch biến trên 2 2; 4  Do đó    

2 2;4

2

3

 

 

  max f t  f  2 2  2

2 2;4

4

2 min

3

t

 

 

   , dấu bằng xảy ra  2 2 8

4

x y

  

  

  x y  Vậy2

4 min

3

S  , đạt được  x y  2

+)  

2 2;4

2 max 4 2

t

 

 

   , dấu bằng xảy ra 

2 2 8

2 2

x y





 

0

2 2

x y









2 2 0

x y

 







Vậy max 4

3

S  , đạt được  0

2 2

x y









2 2 0

x y

 







Ví dụ 4 Cho x, y thỏa mãn0 x y xy   Tìm GTLN, GTNN của3

1

1 1 3

S

  

    .

Giải Đặt

3

4

t t

  







 

3

t

 



  

Ta có

S 





3

t

t

Xét hàm   3 2 7 1 3

t

 , t 2;3

Ta có  

2

2

t

t

 ,  t  2;3  f  1 đồng biến trên  2;3

Do đó

5

S  f t  f  Dấu “  ” xảy ra  3

2

x y xy

x y



  

5

S  , Đạt được  x y  1

6

S f t  f  Dấu “ ” xảy ra  3

3

x y xy

x y



  

0 3

x y





 

3 0

x y





 

 max 35

6

S , Đạt được  0

3

x y





 

3 0

x y





 

Ví dụ 5 Cho x , y thỏa mãn x2xy y 2  Tìm GTLN, GTNN của1 S x2xy y 2

Giải.

Cách 1 Từ giả thiết suy ra  2   2 2 3 2

1

t x y thì 3 2

1

4t  , hay 2 3 2 3;

xy x y    , suy rat

3 3 1 2 3

S  x y  xy t  t    t 

Xét hàm   2

2 3

f t   t  với 2 3 2 3;

  Ta có f t'  4t, f t'  có nghiệm duy nhất

2 3 2 3

   

Ta có f  0 3, 2 3 2 3 1

Do đó

3

S  , đạt được chẳng hạn khi

2 3 3 1

x y

x xy y



 





   





2 3 3 1

x y



 









2 3 3 1 3

x y

xy



 





 



  ; 1 ; 1

 maxS3, đạt được khi và chỉ khi

0 1

x y

x xy y

 



   

   2

0

1

x y

 





0 1

x y xy

 



  



 x y;   1; 1  hoặc x y;   1;1

Cách 2 Ta có

x xy y S

x xy y

 



  .

 Xét y Khi đó0 S1

 Xét y Chia cả tử và mẫu của0 S cho y và đặt2 t x

y

 , ta được

2

1

S

 

Xét hàm   1 2 2

1

t

f t

t t

 

  , ta có    

2 2 2

'

1

t

f t

t t





  . Bảng biến thiên của hàm f t :

 

2

2 lim lim 1 1

1 1 1

t

f t

t t

 

   

   

Suy ra:

+) min 1

3

S  , đạt được khi và chỉ khi

1

1

x

y

x xy y

 





   



  ; 1 ; 1

3 3

   hoặc  ;  1 ; 1

x y    

+) maxS 3 Đạt được khi và chỉ khi

1

1

x

y

x xy y

  





   



 x y;   1; 1  hoặc x y;   1;1

Ví dụ 6 [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  3

4 2

x y  xy Tìm GTNN của

A x y x y  x y 

Giải Áp dụng bất đẳng thức  2 2  3 2

4

a b ab  a b với a x ,2 b y 2 ta được

 4 4 2 2 3 2 22

4

x y x y  x y  9 2 2 2 2 2

4

A x y  x y 

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức  2

4xy x y , ta có

2

x y   x y  x y  

2 2 1 1 0

x y  x y   x y    x, y ).

Đặt tx2y2 

 

2

2

1

2 2 9

2 1 4

x y t

 

 





    



Xét hàm   9 2

2 1 4

f t  t   ,t 1

2

t Ta có '  9 2 0

2

2

t

   f t  đồng biến trên

1

;

2

 

 

     1 9

2 16

f t  f   

 

1 2

t

 

Như vậy 9

16

S , dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

2 2 1

2

x y









1 1

; ;

2 2

   hoặc  ;  1; 1

2 2

x y    

 

 .

Vậy min 9

16

S , đạt được   ;  1 1;

2 2

x y    hoặc  ;  1; 1

2 2

x y    

 

 .

Ví dụ 7 [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x y z  0 và

2 2 2 1

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 5y5 z5

Giải Từ x y z   suy ra0 z  x y, thay z  x y vào đẳng thức thứ hai của giả thiết,

ta được

Do đó, nếu đặt t x y thì ta có

2

3 1

2

2

t

xy 

Biến đổi

      

           

2

4 t t

Xét hàm   5 3 

2 4

f t   t  , vớit 6; 6

  Ta có   5 2 

4

f t   t  có hai nghiệm là

;

f  



f  

 

Vậy min 5 6

36

P  , đạt được chẳng hạn khi 6

6

3

z 

Ví dụ 8 Cho x , y , z0 thỏa mãn 3

2

x y z   Tìm GTNN của biểu thức

2 2 2

x y y z z x

Giải Đặt t3 xyz Ta có t0 và

3

3

3

2   x y z xyz  1

2

t

Suy ra 0;1

2

 

Lại có

2 2 2 33 2 2 2 3 2

3

x y y z z x x y y z z x   xyz t

3

1 3

t

   

Xét hàm   2

3

1

f t t

t

  với 0;1

2

  Ta có f t'  2t 34 2t54 3 0



2

  

 , suy ra f nghịch biến trên 0;1

2

  Vậy

1 99

S  f   

  , đạt được khi và chỉ khi

3 1

2

xyz

 









 

1 2

x   y z

Ví dụ 9 [ĐHA03] Cho x , y , z0 thỏa mãn x y z   Chứng minh rằng:1

82

Giải Xét a x;1

x

 

 

 



, b y;1

y



, c z;1

z

 

 

 



       

  

Từ a     b c a b c   suy ra

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

3

3

x y z   xyz , 1 1 1 3 1

3

x  y z xyz

Do đó

t

  , với  2

3

t xyz

Ta có

2

1 0

x y z

t    

Xét f t  9t 9

t

  với 0;1

9

  Ta có

f t

t

9

    f t  nghịch biến trên 0;1

9

 

 

 .

9

f t  f   

   VT 1  f t( ) 82 (ĐPCM)

Cách 2.  2 1 1 1 2

x y z

     

  18.9 – 80 82 .

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

C Bài tập

Bài 1 [ĐHD09] Cho x, y thỏa mãn0 x y  Tìm GTLN, GTNN của1

4 2 3 4 2 3  25

S  x  y y  x  xy

Bài 2 Cho x, y thỏa mãn0 x y  Tìm GTLN, GTNN của1

S

Bài 3 Cho x, y thỏa mãn0 x y  Tìm GTLN, GTNN của1

 2 1 2 1 2 2 1

S  x  y   x y 

Bài 4 Cho x, y thỏa mãn0 x y xy   Tìm GTLN, GTNN của3

6

S

Bài 5 Cho x , y thỏa mãn x2 y2  1 xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

4 4 2 2

S x y x y

Bài 6 Cho x, y thỏa mãn x2y2  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức1

1 1

S   x y

Bài 7 [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn   2 2

x  y  xy Tìm GTNN của

A x y  xy x y 

Bài 8 [ĐHA06] Cho x0, y0 thỏa mãn   2 2

x y xy x  y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13

Bài 9 [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x2y2  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức1

2

2 6

1 2 2

P

xy y





  .

Bài 10 Cho x, y thỏa mãn x2 y2xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức1

S x  xy y

Bài 11 Cho x , y thỏa mãn 2x2y2xy Tìm GTNN của biểu thức1

2 2

Sx y

Bài 12 Cho x , y , z0 thỏa mãn 3

2

x y z   Tìm GTNN của biểu thức

1 1 1

     

Bài 13 [ĐHB10] Cho a, b, c0 thỏa mãn a b c  1 Tìm GTNN của biểu thức

M  a b b c c a  ab bc ca   a b a

Bài 14 Cho x, y, z0 thỏa mãn 3

2

x y z   Tìm GTNN của biểu thức

5 5 5

P

     