giới hạn nâng cao toán c1

giới hạn nâng cao toán c1- Trường DHKHTN DHQGHCM Giới hạn hay, trình bày cụ thể, sinh động, áp dụng nhiều trong toán học

GIỚI HẠN

Lecture 2 Nguyen Van Thuy

Nội dung

Review

Định nghĩa giới hạn

Giới hạn một phía

Định lý kẹp

Các dạng vô định

Các giới hạn cơ bản

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-2

Review-Hàm số

 Định nghĩa Hàm số f là một quy tắc gán mỗi số

thực x trong D với duy nhất một số thực, ký hiệu

f(x), trong tập E

Nguyen Van Thuy-University of Science

•

•

Review-Miền xác định–miền giá trị

Nguyen Van Thuy-University of Science

Miền giá trị

Miền xác định

y

x

y = f(x)

O

Review-Đồ thị

định là D thì đồ thị của hàm số là tập hợp

{( , ( )) | x f x x  D }

O

y

1 2 x

f(x) f(2) f(1)

(x, f(x))

x

Giới hạn khi x 

 Ví dụ 1/x  0 khi x   , điều này ý nghĩa

100 0.001 1,000 0.001 8,000 0.000125 50,000 0.00002 200,000 0.000005 8,000,000 0.000000125 1,250,000,000 0.000000004

1 lim 0

xx 

Note:  nghĩa là +

Giới hạn khi x 

 Không phải là “1/x bằng 0 khi x = ”,  không

phải là một số

 f(x)  L khi x  nếu f(x) nhận những giá trị rất

gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ lớn, ký hiệu

 f(x)  L khi x  - nếu f(x) nhận những giá trị rất

gần L khi x nhận tất cả các giá trị âm có giá trị

tuyệt đối đủ lớn, ký hiệu

Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( )

 

lim ( )

 

Giới hạn khi x  a hữu hạn

 Ví dụ

Nguyen Van Thuy-University of Science

sin

x

x sinx/x

 1.0 0.84147098

 0.5 0.95885108

 0.4 0.97354586

 0.3 0.98506736

 0.2 0.99334665

 0.1 0.99833417

 0.05 0.99958339

 0.01 0.99998333

 0.005 0.99999583

 0.001 0.99999983

0

sin

x

x x

Giới hạn khi x  a hữu hạn

Nguyen Van Thuy-University of Science

0

sin

x

x

x

Giới hạn khi x  a hữu hạn

𝑓 𝑥 = 𝑥2− 𝑥 + 2

lim

𝑥→2 𝑥2− 𝑥 + 2 = 4

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-10

Giới hạn khi x  a hữu hạn

 f(x)  L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất

gần L khi x nhận tất cả các giá trị đủ gần a, ký

hiệu

 f(x)  khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị

rất lớn (âm hoặc dương) khi x nhận tất cả các giá

trị đủ gần a

 Chú ý “x rất gần a”

Xét cả 2 trường hợp x<a và x>a

Không xét tại x = a, f(x) có thể không xác định tại a

Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( )

x a f x L

Ba trường hợp giới hạn

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-12

lim

𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿

Giới hạn khi x  a hữu hạn

 Định lý (kẹp) Nếu khi

x gần a và

thì

Nguyen Van Thuy-University of Science

( ) ( ) ( )

f x  g x  h x

lim ( )



Giới hạn khi x  a hữu hạn

 Ví dụ Tìm nếu

 Ví dụ Chứng minh rằng

Nguyen Van Thuy-University of Science

4

lim ( )

x f x



2

4 x   9 f x ( )  x  4 x  7, x  0

4 0

2 lim cos 0

x x

x

Giới hạn bên trái

 Ví dụ Quan sát giá trị của khi cho x

nhận những giá trị rất gần 1 và nhỏ hơn 1

Nguyen Van Thuy-University of Science

2

1 ( )

| 1|

x

f x x







x<1 f(x)

0.5 -0.666667

0.9 -0.526316

0.99 -0.502513

0.999 -0.500250

0.9999 -0.500025

Nhận xét: f(x)  -0.5

Ta nói giới hạn bên trái

của f(x) tại x=1 là -0.5, viết

2 1

1

x

x x





  



Giới hạn bên trái

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-16

L f(x)

a

x

x

y

O lim ( )

x af x L

a

x

x a

f x  f x L



Giới hạn bên phải

 Ví dụ Quan sát giá trị của khi cho x

nhận những giá trị rất gần 1 và lớn hơn hơn 1

2

1 ( )

| 1|

x

f x x







x>1 f(x)

1.5 0.400000

1.1 0.476190

1.01 0.497512

1.001 0.499750

1.0001 0.499975

Nhận xét: f(x)  0.5

Ta nói giới hạn bên phải

của f(x) tại x=1 là 0.5, ký hiệu

2 1

1

x

x x





 



Giới hạn bên phải

x

a

x a

f x  f x L



L

f(x)

x

a

x

y

O lim ( )

x af x L

Giới hạn một phía

 Ví dụ Cho hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị như hình vẽ

Xác định các giới hạn sau (nếu tồn tại)

𝑎) lim

𝑥→2 −𝑔 𝑥 𝑏) lim

𝑥→2 +𝑔 𝑥 𝑐) lim

𝑥→2𝑔 𝑥 𝑑) lim

𝑥→5 −𝑔 𝑥 𝑒) lim

𝑥→5 +𝑔 𝑥 𝑓) lim

𝑥→5𝑔 𝑥

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-19

Giới hạn một phía

 Giới hạn bên phải của f(x) bằng L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả

các giá trị đủ gần a và lớn hơn a, ký hiệu

 Giới hạn bên trái của f(x) bằng L khi x  a nếu f(x) nhận những giá trị rất gần L khi x nhận tất cả

các giá trị đủ gần a và nhỏ hơn a, ký hiệu

Nguyen Van Thuy-University of Science

lim ( )

x a



lim ( )

Giới hạn một phía

 Định lý

 Ví dụ , nhưng

không tồn tại nên

 Ví dụ Tìm

Nguyen Van Thuy-University of Science

2

  

2

lim 2

x

x



lim ( ) lim ( ) lim ( )

f x L  f x L  f x

2

lim 2

1

1 lim

| 1|

x

x x







Ví dụ

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-22

3

x



  

6

| 6 |

x

x

b L

x







2 | |

2

x

x

c L

x









0

| |

x

d L

x x





 

   

| |

x

e L

x x





 

   

 

Chú ý

Nguyen Van Thuy-University of Science

.0

0

, , , ,1 ,







0

1/

0

0

1

lim(1 ) (

0

)

1

u

u

u

u

e







      

Ví dụ

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-24

0

sin 3

tan 5

x

x

a L

x





0

1

sin

x

x



   

1

2

x

x

c L

x



 

   

 

1 / 0

x





2 3

1

1

x

x

x

d L

x



 



 

  



 

Ví dụ

 a)

 b)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-25

0

1 cos lim

sin 2

0 0

x

x L



  

 

a L  b L  c L  d L 

  2

lim

1

x

x

x x L

x x





   

 

2

a L   b L  c L  e d L  e

Ví dụ

 a)

 b)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-26

0

x



1

e

2 0

x





1

e

Dùng Maple tính giới hạn

 Sử dụng tool đã xây dựng sẵn

ToolTutorsCalculus-Single variableLimit

Methods

 Dùng lệnh trực tiếp

limit(f,x=a)

limit(f,x=infinity); limit(f,x=-infinity)

limit(f,x=a,left); limit(f,x=a,right)

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-27