tai liệu bài giảng day số cao cấp

tai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấptai liệu bài giảng day số cao cấp

DÃY SỐ

Các khái niệm

• Dãy số là hàm số dạng

𝑓: ℕ ⟶ ℝ

• Đặt 𝑢𝑛= 𝑓 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ, ký hiệu dãy số: {𝑢𝑛}

• Dãy số {𝑢𝑛} được gọi là đơn điệu tăng nếu

𝑢𝑛+1≥ 𝑢𝑛 (tăng thực sự: >)

• Dãy số {𝑢𝑛} được gọi là đơn điệu giảm nếu

𝑢𝑛+1≤ 𝑢𝑛 (giảm thực sự: <)

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 2

Các khái niệm

• Dãy số {𝑢𝑛} được gọi là hội tụ về 𝑎 ∈ ℝ nếu

∀𝜀 > 0, ∃𝑛𝜀∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛𝜀 ⇒ 𝑢𝑛− 𝑎 < 𝜀

• Lúc đó, dãy {𝑢𝑛} được gọi là hội tụ và 𝑎 được

gọi là giới hạn của dãy và viết

lim

𝑛→∞𝑢𝑛= 𝑎

• lim𝑛→∞𝑢𝑛= +∞ ⇔ (∀𝑀 > 0, ∃𝑛𝑀∈ ℕ: 𝑛 ≥

𝑛𝑀⇒ 𝑢𝑛> 𝑀)

• lim𝑛→∞𝑢𝑛= −∞?

• Định lý hội tụ đơn điệu

– Nếu dãy số {𝑢𝑛} tăng và bị chặn trên thì có giới

hạn hữu hạn (hội tụ)

– Nếu dãy số {𝑢𝑛} giảm và bị chặn dưới thì có

giới hạn hữu hạn

• Note

– Dãy {𝑢𝑛} bị chặn trên nếu tồn tại số thực 𝑀 > 0 sao

cho 𝑢𝑛≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ

– Dãy {𝑢𝑛} bị chặn dưới ⇔ ∃𝑚 > 0: 𝑢 𝑛 ≥ 𝑚, ∀𝑛

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 4

Dãy Cauchy

• Dãy số {𝑢𝑛} được gọi là dãy Cauchy (hoặc dãy

cơ bản) nếu với mọi số 𝜀 > 0 bé tùy ý, tồn tại

𝑛𝜀∈ ℕ sao cho

𝑢𝑚− 𝑢𝑛 < 𝜀, ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛𝜀

• Tiêu chuẩn Cauchy

Dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 5

Tính chất

• Định lý kẹp Xét các dãy số 𝑢𝑛 , 𝑣𝑛, {𝑤𝑛} Ta

có

𝑢𝑛≤ 𝑣𝑛≤ 𝑤𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑛0

lim

𝑛→∞𝑢𝑛= 𝑎 = lim

𝑛→∞𝑤𝑛 ⇒ lim𝑛→∞𝑣𝑛= 𝑎

• Ví dụ Tính

lim 𝑛→∞

cos (𝑛𝑛) 𝑛 Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 6

Bài tập

• 1 Tính giới hạn

lim

𝑛→∞

1

𝑛2+ 1+

1

𝑛2+ 2+ ⋯ +

1

𝑛2+ 𝑛

• 2 Tính

lim

𝑛→∞

𝑛 + 1

𝑛 + 3 2𝑛+1

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 7

Bài tập

• 3 Chứng minh rằng dãy số

𝑢𝑛= 𝑛

2𝑛, 𝑛 > 1

là dãy giảm thực sự và tìm giới hạn của dãy

• HD

– So sánh 𝑢𝑛+1

𝑢 𝑛 với số 1

– Chứng tỏ dãy hội tụ và tính lim

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 8

Bài tập

• 4 Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy

được xác định theo biểu thức

𝑢1= 0, 𝑢𝑛+1= 6 + 𝑢𝑛 , 𝑛 ≥ 1

• HD

– Cách 1 Chứng minh dãy tăng bằng quy nạp rồi suy

ra dãy bị chặn trên bởi 3

– Cách 2 Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 3 rồi xét

dấu 𝑢𝑛+1− 𝑢𝑛 để suy ra dãy tăng

– Có thể quy nạp để có dãy bị chặn trên bởi 3

• 5 chứng minh rằng dãy {𝑢𝑛} được xác định

theo công thức truy hồi

𝑢1=3

2, 𝑢𝑛= 3𝑢𝑛−1− 2 , 𝑛 ≥ 2

hội tụ và tìm giới hạn của dãy

• HD Quy nạp để có 32≤ 𝑢𝑛< 2 rồi chứng minh

dãy tăng

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 10

Bài tập

• 6 Dãy {𝑢𝑛} được xác định theo công thức truy

hồi

𝑢1= 1, 𝑢𝑛+1=2(2𝑢𝑛+ 1)

𝑢𝑛+ 3 , 𝑛 ≥ 1 Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy

• HD Quy nạp để có 0 < 𝑢𝑛< 2

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 11

Bài tập

• 7 Tính

lim

𝑛→∞

1

1 ∙ 2 ∙ 3+

1

2 ∙ 3 ∙ 4+ ⋯ +

1 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

• 8 Khảo sát tính đơn điệu của dãy

2𝑛 + 1 ‼

và xác định giới hạn của nó (HD Tính 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛)

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 12

Bài tập

• 9 Khảo sát sự hội tụ của dãy được cho bởi

công thức

𝑢1= 2, 𝑢𝑛+1= 2𝑢𝑛, 𝑛 ≥ 1

• 10 Tính

lim

𝑛→∞

𝑘3− 1

𝑘3+ 1 𝑛

𝑘=2

HD ĐS:2/3

Day so Nguyen Van Thuy - University of Science 13