Nếu fx, gx chứa căn thức khác loại thì ta phải tiến hành thêm bớt để chia làm 2 giới hạn... quy t ắc L’hospital Dành cho độc giả... Do đó cách giải của nó cũng không thông thường.
Trang 1GI ỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa :
xlim F xa ( ) A
→ = ⇔ ∀ε >0,∃δ >0, x∀ ∈ ℜ, x( − < δ ⇒a ) (F x( )−A < ε)
→+∞ = ⇔ ∀ε >0, M∃ >0, x∀ ∈ ℜ, x( >M)⇒(F x( )−A < ε)
→−∞ = ⇔ ∀ε >0, M∃ <0, x∀ ∈ ℜ, x( <M)⇒(F x( )−A < ε)
Khái niệm “dần về” : Ta nói x dần về a , ký hiệux→a, nghĩa là 0 x a 1
n
< − < , n ∈ » , n đủ lớn
V ấn đề : Tính xlim F xa ( )
→ ? . a có giá tr ị hữu hạn hoặc ∞
1 - Gi ới hạn xác định : Khi F a xác ( ) định ngh ĩa là hữu hạn hoặc vô cùng lớn (∞)
( ) ( )
x a
Vô cùng bé – Vô cùng lớn :
Vô cùng bé :
x 0
0 lim x
→
x 0
x 0
x 0
x 0
+
→
>
−
→
<
=
=
Vô cùng lớn :
xlim x
→∞
x
x 0
x
x 0
lim x lim x
→∞
>
→∞
<
+∞ =
−∞ =
• 1
0= ∞ , 1
0
0
= =
∞
• ( ) ( )+∞ + +∞ = +∞ , ( ) ( )−∞ + −∞ = − +∞ + +∞ = −∞( ) ( )
ln 0=ln =ln +∞ − = −ln +∞ = −∞
+∞
e
−∞
+∞
+∞
• sin( )±∞ , cos( )±∞ không xác định ngh ĩa là vô định
Chú ý : ta không nên nhầm lẫn 2 khái niệm vô cùng và vô định
2 – Gi ới hạn vô định : Khi F a có d( ) ạng
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞ , 0.∞ , 1 , ∞ 0 , 0 ( )0
+∞
Trang 22.1 - D ạng 1 : ( )
( )
lim→
x a
f x
g x
0 0
Dùng kỹ thuật thêm b ớt, kh ử cănđể biến đổi f(x), g(x) sao cho xuất hiện (x−a làm nhân t) ử
chung rồi khử vô định
Nếu f(x) , g(x) có chứa hàm l ượng giác, lnx hoặc e x thì ta biến đổi đểđưa về 1 trong 3 giới hạn cơ
bản sau:
0
sin
1
x
x
1
x
x
1 1
lim→ − =
x x
e x
( )
lim→∞
x
f x
g x
∞
∞
Nguyên tắc chung : rút gọn tử, mẫu cho phần tử chứa x tiến ra ∞ nhanh nhất
Nếu f(x), g(x) là hàm đa thức hoặc căn thức, ta đặt x bậc cao nhất làm nhân tử chung rồi rút gọn
Chú ý x ử lý dấu của x nếu f(x), g(x) có chứa căn thức bậc chẵn
2.3 - Quy t ắc l’Hospitale :
Đối với những giới hạn dạng ∞∞ hoặc 0
0
, ta có một quy tắc để khứ vô định như sau :
/ /
lim→ =lim→
g x g x ( a có th ể là hữu hạn hay ∞)
2.4 – D ạng 3 : lim→∞ ( ( )− ( ))
x
f x g x (∞ − ∞)
Trong đa số bài toán dạng này thì f(x), g(x) có chứa căn thức Nếu f(x), g(x) chứa căn thức khác
loại thì ta phải tiến hành thêm bớt để chia làm 2 giới hạn
Ta khử căn thức bằng cách đồng thời nhân và chia biểu thức liên hợp rồi áp dụng các hằng đẳng
thức
2 2
A −B = A B− A+B (khử căn bậc 2)
A −B = A B− A +AB+B (khử căn bậc 3)
Bài toán đưa về dạng 2 và được xử lý như trên
2.5 – D ạng 4 : lim→ ( ) ( )
x a
f x g x ( )0.∞ ( a có th ể là hữu hạn hay ∞)
Biến đổi ( ) ( ) ( )
1 ( )
f x
f x g x
g x
= rồi đưa về dạng 0
0
hoặc ∞
∞
rồi xem 2.1 , 2.2 , 2.3
Trang 32.6 – D ạng 5,6,7 : ( ) ( )
lim→ g x
x a
f x ( )1∞ ,( )0
0 , ( ) ( )0
+∞ ( a có th ể là hữu hạn hay ∞)
B1 : Biến đổi ( )
( )
ln
1
f x
g x
1 ( )
lim
f x
g x
g x
x a
( )
ln 1
lim→
x a
f x
g x
dạng 0
0
ho ặc ∞
∞
B2 : Xem 2.1 , 2.2 , 2.3
II – Ví d ụ :
0
:
2
x 5
L
=
−
0 0
Giải :
Cách 1 : kh ử vô định biến đổi đại số
L =
2
x 5
x 5
x 5
=
x 5
1
lim→ + + + = ( )5 5+ ( 15 4+ +3) =
1 60
Cách 2 : quy t ắc L’hospital
L =
2
x 5
/
/ 2
x 5
lim→
=
x 5
1
1 4.5 5 4+ =
1 60
2
x 3
L
=
−
0 0
Giải :
Cách 1 : kh ử vô định bằng biến đổi đại số
L =
2
x 3
=
x 3
x 3 x 3
− + c ơ sở phân tích 3= 3+ ; 26 = 2.2 2−
=
x 3
x 3 x 3 lim→
− + thêm b ớt biểu thức liên hợp
VD2
VD1
Trang 4=
x 3
2
x 3 x 3 lim→
x 3 lim→
+
3 3
+
1
9
Cách 2 : quy t ắc L’hospital
Dành cho độc giả
2
2x
x 0
sin 3x L
lim→
=
0 0
Giải :
L =
2
2x
x 0
sin 3x
=
2 2
2x
x 0
sin 3x
.9x 3x
lim→
thêm b ớt để xuất hiện giới hạn cơ bản
=
2
2x
x 0
sin 3x
lim→
=
2
x 0
2x
sin 3x 3x 9
lim
→
= ( )2
1 9
7 1.1 =
9 7
3
x
3
tg x 3tgx L
cos x
6
limπ
→
−
=
π
+
0 0
Giải :
Cách 1 : bi ến đổi đưa về giới hạn cơ bản
Đặt t x
3
π
3
π
→ ⇔ → Ta có :
L =
3
x
3
tg x 3tgx
cos x
6
limπ
→
− π
+
x 3
cos x
6
limπ
→
π
x 3
cos x
cos x
6
limπ
→
π
cos x
cos x
6
.vì ( )
x 3
cos x
limπ
→
+
xác định
x 3
sin x 3 cos x
cos x
6
limπ
→
−
+
=
t 0
12
cos t
2 lim→
−
π
+
do cách đặt
VD3
VD4
Trang 5=
t 0
24
sin t lim→
t 0
24
sin t lim→
−
=
t 0
sin t
24
sin t
lim→
Cách 2 : quy t ắc L’hospital
L =
3
x
3
tg x 3tgx
cos x
6
limπ
→
− π
+
=
/ 3
/ x
3
tg x 3tgx
cos x
6
limπ
→
+π
2
x 3
1 3tg x 3
cos x sin x
6
limπ
→
−
−
π
= (3.3 3 4)
1
−
2
sin x
x 0
L
x arcs in2x
0
0
e =cos 0 1= ; arcsin 0 0=
Bình lu ận : Nếu dùng quy tắc L’hospital thì
L =
2
sin x
x 0
x arcsin2x
sin x
x /
x 0
x
x arcsin2x lim→
=
2
sin x
x 0
2
1
2 cos 2x
1 arcsin 2x x
1 x lim→
+
−
=
2
2
x 0
cos 2x
1 x arcsin 2x x lim→
=
2
2
cos 2x
1 x arcsin 2x x
tách được vì
2
x 0
1 x cos 2x lim→
xác định
=
2
sin x
2
x 0
e sin 2x cos 2x sin 2x 1
1
1 x arcsin 2x x lim→
=
2
sin x
2
x 0
1 x arcsin 2x x
lim
→
=
sin x
x / 2
x 0
x
e sin 2x cos 2x sin 2x
1 x arcsin 2x x
lim
→
.???!!!
Giải:
Dùng kỹ thuật thêm bớt đểđưa về các giới hạn cơ bản
L =
2
sin x
x 0
x arcsin2x
2
sin x
x 0
x arcsin2x lim→ − + −
s ố 1 từ đâu ?? , 1 e= sin 0 = cos 0
=
2
sin x
x 0
x arcs in2x x arcsin2x
lim→
=
2
1
sin x
x 0 C
x arcs in2x
+
2
x 0 C
x arcs in2x
lim→ −
tách thành 0
0
+
0 0
VD5
Trang 6C1 =
2
sin x
x 0
x arcs in2x
lim→ − 00
=
2
sin x 2
2
x 0
x arcs in2x sin x
lim→
=
2
2
x arcsin2x sin x
tách được vì gh cơ bản
2
sin x 2
x 0
1 sin x
lim→ − = xác định
=
2
x 0
sin x 1
x arcsin2x lim→
2
x 0
sin x
x arcs in2x lim→ .ti ếp tục thêm bớt , vì vẫn còn dạng vô định 0
0
=
2
x 0
x arcsin2x x
=
2
2
arcsin2x x
2 2
2 2
1
x
lim→ =lim→ =lim→ =
=
2
lim→ lim→
2
x 0
arcsin2x 2 lim→
1 2
C2 =
x 0
x arcs in2x
lim→ − 00
x 0
x arcs in2x 1 cos 2x
+ kh ử căn cho tử
=
x 0
1 cos 2x
x arcs in2x 1 cos 2x
+
=
1
lim→ + xác định
=
x 0
x arcs in2x 1 1
lim→
2lim→ x arcs in2x−
=
2
x 0
2lim→ x arcs in2x cos 2x =2 cos x 1 1 2 sin x2 − = − 2
=
2
x 0
x arcs in2x x
lim
→
2
x arcs in2x x
2 2
x 0
x
1
x arcs in2x
lim
→
Trang 7=
x 0
x arcs in2x
lim→ =
x 0
arcs in2x 2
lim→ =
x 0
2lim→ arcs in2x = 1
2
*Vô định ∞∞ :
3
x
L
x 1
=
−
∞
∞
Giải :
3
x
L
x 1
=
3
x
1
x 1 x lim→+∞
−
=
3
x
1
x 1 x lim→+∞
−
=
3
x
1
x 1 x lim→+∞
−
=
3
x
1 1 x lim→+∞
−
=
3
1 0
3
x
L
x 1
=
−
∞
∞
chú ý s ự khác biệt của 2 ví dụ
Giải :
3
x
L
x 1
=
3
x
1
x 1 x lim→∞
−
=
3
x
1
x 1 x lim→∞
−
=
3
x
3
x
1
x 1 x
1
x 1 x
lim
lim
→+∞
→−∞
=
3
x
3
x
1 1 x
1 1 x
lim
lim
→+∞
→−∞
= 5 if x +
1 if x
→ ∞
( )
2
2
x 0
ln sin mx L
ln sin x lim→
∞
x 0
ln x→ →+∞
Giải :
Dùng quy tắc l’hospital
VD7
VD6
VD8
Trang 8L = ( )
( )
2
2
x 0
ln sin mx
ln sin x
( )
/ 2 x / 2
x 0
x
ln sin mx
ln sin x lim→
=
2 2
2
x 0
2
1 cos mx 2mx sin mx
1 cos x 2x sin x
=
x 0
lim→
=
.vi ệc tách làm 2 lim là hợp lệ vì
2 2
x 0
m cos mx cos x
lim→ xác định
=
2 2
x 0
1 sin mx
2 2
x 0
sin x m
sin mx lim→
( )
/ 2 x / 2
x 0
x
sin x m
sin mx
=
2
2
x 0
2x cos x m
2mx cos mx
2
2
x 0
m lim→ cos mx = 1
*Vô định (∞ − ∞) :
x
Giải :
x
x
lim→∞
=
x
4x
lim→∞
4x
=
x
4x
lim→∞
=
x
x
4x
4x
lim
lim
→+∞
→−∞
=
x
x
4
4
lim lim
→+∞
→−∞
= 2 if x
2 if x
-→ +∞
− → ∞
x
Giải :
x
x
lim→+∞ + − + − − t ại sao thêm bớt 2x ?
VD10
VD9
Trang 9= ( )( ) ( ) ( )
2
lim→+∞
=
lim→+∞
+
=
lim→+∞
+
=
2 x
3 3
2
x
lim→+∞
+
+ + + − + −
=
( )2
x
+ − + −
=
( 2)
.0
+ + =
1 2
*Vô định ( )0.∞ :
x 1
x
1 x tg
2
lim→ − π ( )0.∞
Đặt u= − Lúc này : x1 x → 1 ⇔ u→ 0
x 1
x
1 x tg
2
u 0
1 u u.tg
2
u 0
u u.tg
lim→ π π− =
u 0
u u.cotg
2
lim→ π
=
u 0
u u.cos
2 u sin
2 lim→
π
π
=
sin 2
u 0
u cos 2
lim→ π xác định
=
u 0
u 1 u sin
2
lim→
π
=
u 0
u u sin 2
d ạng vô định 0
0
=
u 0
u u
u u sin
2 2
lim→
π π
=
u 0
u
u sin 2
lim→
π
π
π
= 2
π
VD11
Trang 10x 1
x 1 ln x
lim→ − − (∞ − ∞ ) xem như 1
0= ∞
L =
x 1
x 1 ln x
lim→ − −
= x 1 ( )
x ln x x 1
x 1 ln x
lim→ − +
−
0 0
(∞ − ∞)→ 0
0
/ x /
x 1
x
x ln x x 1
x 1 ln x
lim→ −− +
=
x 1
ln x 1 1
x 1
ln x
x
lim→ + −
− +
=
x 1
x ln x
x ln x x 1
lim→ + −
0 0
/ x /
x 1
x
x ln x
x ln x x 1
lim→ + − = x 1
ln x 1
ln x 1 1
lim→ +
+ + = x 1
ln x
ln x 2
lim→ + =
1 2
*Vô định ( )1∞ :
x tg 2
x 1
x tg 4 lim
π
→
π
Cách 1 : nên ti ến hành theo cách này cho những bài tương tự
L =
x tg 2
x 1
x tg
4 lim
π
→
π
x tg 2
x
ln tg 4
x 1e lim
π
π
→
x =eln x
=
tg ln tg
x 1e
lim
π π
→
( )a
ln x =a ln x
=
x x
tg ln tg
lim
2 4
x 1
e
→
= x 1
x
ln tg 4 lim
x cot g 2
π
π
=
/ x /
x 1
x
x
ln tg
4
lim
x cot g
2
π
π
=
2 2
x 1 2
x sin
lim
tg cos
π π
− π π
2 2
.1 4 1.
π
−
= e−1 = 1
e
Cách 2 : tham kh ảo
L =
.tg tg 1
x 2 4
tg 1 4
x 1
x
4 lim
π π −
π −
→
π
x x
tg tg 1
x
tg 1 4
x 1
x
4 lim
π π −
π −
→
π
=
x 1
x x
tg tg 1
x
tg 1 4
x 1
lim x
4
lim
→
π π
−
π −
→
π
x 1
x x
tg tg 1
2 4
lim
→
π π −
( )0.∞
VD12
VD13
Trang 11
= x 1
x x
tg tg 1
2 4
lim
e →
π π −
gi ới hạn cơ bản ( )1x
x 0
→ + =
= x 1
x
tg 1
4
x
cotg
2
lim
e →
π −
π
x 1
x
tg 1 4 x cotg 2
lim
→
π − π
0 0
=
/ x /
x 1
x
x
tg 1
4
x cotg
2
lim
e →
π
−
π
=
1
2 x cos
4 4 1
x 1 x 2 sin
2 2
lim
e
−
=
2 1
2 2 x
x 1 4
x sin 2 cos
lim
→
π
−
=
1
2 1 2
1
e− = e−1 = 1
e
( )1
2x x
x 0
lim→ + ( )1∞ gi ải giống câu C
2x x
x 0
2x x
ln e x
x 0e lim
+
→
=
2x
1
ln e x x
x 0e
=
2x
x 0
ln e x
x
lim
e →
+
2x
x 0
ln e x x
lim
→
+
0 0
/ 2x
x /
x 0 x
ln e x
x
lim
+
=
( 2x ) 2x
x 0
1 2e 1
e x 1
lim
+
+
=
2x 2x
x 0
2e 1
e x
lim
+
+
=
2.1 1
1 0
e ++ = e3
( )ln x
x 0
lim+
→
+ ( )1∞
Giải :
Cách 1 :
x 0
lim+
→
+ = ln x.ln 1 x ( )
x 0
e
→
x 0
ln x.ln 1 x
lim
e → + +
1
x 0 ln x
ln 1 x
lim
e → +
+
( )
1
x 0 ln x
ln 1 x lim+
→
0
/ 1
x 0 ln x
ln 1 x
lim
e → +
+
=
1
x 1
1 1
xlim0 x ln x2 e
+
− +
→
=
2
x ln x
x 1
x 0
lim
→
−
= ( )1 ( )2
x 1
x 0 x 0
x ln x
−
( )1
x 1
x 0
lim+ +
→
− xác định
=
2
1
x 0 x
ln x
lim
e → +
21
x 0 x
ln x
lim+
→
∞
∞
=
/ 2
/ 1
x 0 x
ln x
lim
−
=
1 x 1
x 0 2
2 .ln x
lim
x 0 x
ln x
2.lim
e →+
1
x 0 x
ln x
lim+
→
∞
∞
/ 1
x 0
x
ln x
2.lim
e → +
=
1 x 1
x 0 2
2.lim
e → +
−
= e−2.xlim→0+x
= e0 = 1
VD15
VD14
Trang 12Cách 2 : dùng gi ới hạn cơ bản ( )1
x
x 0
lim+
→
+ =
x 0
lim+
→
x x ln x
x 0
1 x
lim+
→
+ = ( )1 ( )
x 0 x
x ln x
x 0
lim
→
+
x 0 x x
ln x
x 0
lim
1 x
→
+
x 0 x
ln x
lim
e → +
= [ ]/
/ 1
x 0 x
ln x
lim
e → +
= e−xlim→0+x = e0 = 1
1 2
x 0
sin x x
lim→ ( )1∞
Giải :
Cách 1 :
L =
1 2
x 0
sin x
x
lim→
= x 0 2
sin x ln x x
lim
e →
x 0
sin x sin x
ln 1 1 1
sin x x 1 x
lim
− +
−
sin x
ln 1 1
sin x x x
.
1 x
− +
−
−
x 0
sin x x
1.
x
lim
e →
−
gi ới hạn cơ bản
0
1
x
x x
/ 3
x 0
sin x x
x
lim
−
= 2
x 0
cos x 1 3x
lim
e →
−
= [ ]/
/ 2
x 0
cos x 1 3x
lim
−
= x 0
1 sin x
6lim x
=
1 1 6
e− =
1 6
e−
Cách 2 : dùng gi ới hạn cơ bản ( )1
x
x 0
lim+
→
+ =
L =
1 2
x 0
sin x
x
lim→
=
sin x 1 x sin x 2 x
1 1
x 0
sin x
x
lim
−
−
→
+ −
sin x 1 x 2
x 0 sin x
x
1 1
x 0
lim sin x
x
lim
−
→
−
→
+ −
=
sin x 1
x
2
x 0
lim
e
−
sin x x 3
x 0
lim e
−
/ 3
x 0
sin x x
x
lim
−
= 2
x 0
cos x 1 3x
lim
e →
−
= [ ]/
/ 2
x 0
cos x 1
3x
lim
−
= x 0
1 sin x
6lim x
=
1
.1
6
e− =
1 6
e−
*Vô định ( )0
0 :
( )tgx
x 0
1 cos x
0
Giải :
x 0
1 cos x
lim→ − = tgx.ln 1 cos x ( )
x 0e
x 0
ln 1 cos x cot gx
lim
−
=
/ /
x 0
ln 1 cos x cot gx
lim
−
=
( )
x 0
2
1 sin x
1 cos x 1 sin x
lim
−
−
−
=
3
2 x
x 0 2
sin x
sin
lim
3 3 2 x
2 x
x 4
sin x x x sin
lim
=
3
2 x
x 0
2 x
sin x 4x.
x sin
lim
( )
3 2
4.0 1 1
e = e0 = 1
VD16
VD17
Trang 13*Vô định ( )∞0 :
L = ( )sin x
x 0
cot gx lim→ ( )∞ 0 gi ải giống cách 1 câu C
L = ( )sin x
x 0
cot gx
lim→ = ( ) sin x
ln cot gx
x 0e
lim→ = sin x.ln cot gx
x 0e
x 0
sin x.ln cot gx
lim
e → ( )
x 0
sin x.ln cot gx
lim
= x 0
ln cot gx
1
sin x
lim
x 0
ln cot gx 1 sin x
lim
→
∞
∞
=
/ x /
x 0
x
ln cot gx
1
sin x
lim
=
2
x 0
2
cot gx sin x 1 cos x sin x
lim
−
−
= x 0
1 cot gx cos x
lim
= x 0
tgx cos x
lim
e →
=
0 1
e = e0 = 1
*Vô định ( )0
0 :
x 0
sin x
0 gi ải giống cách 1 câu C
x 0
sin x
ln sin
x 0e
lim
→
= tgx.ln sin x
x 0e
x 0
tgx.ln sin x
lim
e → ( )
x 0
tgx.ln sin x
lim
= x 0
ln sin x
cot gx
lim
e →
x 0
ln sin x cot gx
lim
→
∞
∞
/ x /
ln sin x
cot gx
lim
= x 0
2
1 cos x sin x 1 sin x
lim
−
x 0
sin x.cos x
lim
e → −
= e−0.1 = 1
*Gi ới hạn kẹp :
L =
2
x 0
1
x sin x sin x lim→
L =
x 0
x sin
lim→ =
x sin
lim→ lim→ =
x 0
1
x
lim→ =
x 0
1
x sin x
lim→
VD20
VD19
VD18
Trang 14Bình luận :
x 0
1
x sin x
lim→
không thu ộc các dạng vô định thông thường 0
0
∞
∞
(∞ − ∞) ( )0.∞ ( )1∞
( )∞0 ( )0
0 , vì 1 x 0
x
→
→∞ nh ưng sin( )∞ =? Do đó cách giải của nó cũng không thông thường
Giải :
≤ = ≤ , x∀ ≠ 0 Vì 0≤ sin u ≤1 , ∀ ∈ u R
Do đó khi x→ thì 0 x sin1 0
x
x
→ gi ới hạn kẹp
Vậy : L =
x 0
1
x sin x
lim→
x
sin ln x 1 sin ln x
lim→+∞ + − vô định sin( )∞
Giải :
x
x 1 ln
lim→+∞
x
1
ln 1
lim→+∞
+
+
Nhận xét :
+
, x∀ > 0
1
ln 1
x
2
→+∞
+
1
ln 1
→+∞
+
→
Vậy : L = 0
VD21
Trang 15III - Bài t ập đề nghị :
Bài 1 :
1.1
2 1
lim
1
x
x
→
− +
2 1
lim
x
x
→
− + + −
1.3
1
lim
1
x
x
→−
+ − −
lim
1
x
x
→
+ + + −
−
1.5
3 2 0
lim
x
→
+ − +
2 3 1
lim
x
→
− +
− − + +
1.7
2 0
sin 3 lim
s in5x
x
x x
2 0
cot 2 lim
sin3x
x
→
1.9
0
1 cos lim
s in3x
x
x x
→
2 0
1-cosx+xsin2x lim
1 1
x
x
1.11
2
sinx-1 lim
cos3x
2
x
x
x gπ
1.13 limcosx+sin2x+1
cos2x+sinx-1
3 3 1
cos 2 lim
x
x
π
0
ln 1+3x lim
x
1
lnx lim
0
lim
xsin3x
x→
−
0
ln cosx lim
xsin3x
x→
1.19
3x 0
lim
x
x→
1
lim x-1
x
−
→
−
1.21
2
3x 0
lim
xsinx
x→
−
1.22
( )
2
x 1 1
lim xtg
−
→
−
1.23
2
x 1
1
sin 2 lim
ln 2
x
x e
x
π
−
→
−
sin 1
lim
x x x
e π x
−
→
+ −
−
Bài 2 :
2.1
2 2
lim
x
→∞
− +
3
lim
2
x
x
→∞
−
2.3
x x 1 x 2 1 2 x
x x 1 x x x lim
2
3 3
3 3
2 2
− + + +
+∞
1 x cos x x 4
1 x 1 x x sin x
3 3
3 3
− +
+
∞
→
2.3 lim
x
x x x
x
→+∞
+ + +
2.4
1
lim
x
+
→+∞
+ + + +
Bài 3 :