Giải tích 11 đạo hàm

Đạo hàm của hàm số trên một khoảng :.. Ta thường thực hiện các bước sau : ™ Cho xo một số gia Δ xvà tinh số gia Δy... Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x0 là một giá trị thuộc tập x

Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghĩa

GIẢI TÍCH 11

www.saosangsong.com.vn

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

§1 Đạo h àm & ý nghĩa hình học của đa ïo hàm

A Tóm tắt giáo kh

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khỏang (a,b) và xo thuộc

oa tại một điểm :

1 Đạo hàm của hàm số

Chú ý : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo thì hàm số này liên tục tại đ ểm xi o

2 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng :

)

D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng

Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm xo thuộc D

ược gọi là đạo

Khi đó ta có một hàm số xác định trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D Hàm số này đ

hàm của hàm số y = f ( x )

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :

(C là một hằng số)

của đạo hàm : Cho hàm số y = Ý nghĩa hình học

Hệ số góc của tiếp

f ( x ) có đạo hàm tại điểm xo , đồ thị của hàm số là ( C

Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại M (

xo , yo) thuộc ( C ) có dạng :

( t ) : y = f’( x o ) ( x – x ) + f(x )

B Giải tóan

Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

Ta thường thực hiện các bước sau :

™ Cho xo một số gia Δ xvà tinh số gia Δy

™ Lập tỉ số y ( ) ( )o ( o ) ( )o

o

f x

Δ = Δ

− Δ và tìm giới hạn của tỉ số này khi

o) Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(x

Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại xo

b) y = f ( x ) = 2 1

2

x x

++ tại xo = 1

Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số

Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x0 là một giá trị thuộc tập xác định của f

™ Tính đạo hàm f’(x0) theo xo

™ Thay x bằng xo ta được đạo hàm f’(x)

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) y = x3 + 3x – 2 b) y = 2

1

x x

++ c)

1 ( )

f x f x y

2 0

Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f ( x ) tại điểm M

Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (x o ) (x – x o ) + f(x o )

Ta thường gặp các trường hợp sau:

a) Cho hoành độ x0 (hay tung độ f(x0) của điểm M) : ta phải tìm f(x0) (hay x0) và f’(x0), rồi áp dụng công thức

b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương

trình f’(xo) = k ta tìm được xo , suy ra f(x o ) Rồi áp dụng

c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A

( xA , yA ) : Ta thực hiện các bước sau :

™ Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ;

f(x0)) bất kì theo ẩn x0 là (t ) : y = f’(xo) ( x – xo) +

f(x0)

™ Tiếp tuyến này qua A nên : yA – yo = f’(xo) (xA –

xo)

™ Giải phương trình này ( ẩn là xo ) ta tìm được xo

Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x2 biết

a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3

b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3

c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3)

Giải :

a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x xo= - 3 , suy ra yo= (- 3)2 = 9 ; f’(xo) = 2(-3) = -6 Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9

b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo, yo) thuộc ( C ) có dạng : y = 2xo(x –xo) + x02 Tiếp

tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2xo = 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau)

hay xo= 1 Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1

c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (xo , yo) thuộc ( C ) có

Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9

Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A

Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thị của hàm số 1

2

x y x

+

=

− và cho biết : 2

3 '

y x

−

=

−

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng

d : 3y – x + 1 = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 dưới dạng y = ax + b

Aùp dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua

Giải :

Ta có : hàm số xác định khi x ≠ 2 và ' 3 2

y x

3x−3 => hệ số góc của đường thẳng d là 1

3 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có

3

k = − ⇔ = −k ( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 )

Gọi xo là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(xo) = - 3

C Bài tập rèn luyện

5.1 Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trị xo tương ứng

−+ c) y = x x − 1

5.3 Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau :

5.4 ( C ) là đô thị của hàm số y = x

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm

5.5 ( C ) là đồ thị của hàm số : 2 3

3

x x y

x

+ +

= +

a) Chứng minh đạo hàm: ' 2 62

x x y

x

+

= +

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5

c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau Hai điểm M ,

N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố định nào ?

x x

x x

x x

= −

⎡ + +

Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11

Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là : 8 1

y= x−

b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x1 , x2 là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có :

Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3

Tung độ trung điểm I là :

Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố định

Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng qua điểm I ( - 3 , - 5 )

§2 Quy tắc tính đạo hàm

A Tóm tắt giáo khoa

1 Các quy tắc tính đạo hàm

(u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k

là một hằng số )

B Gỉai tóan

Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức

Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v

– w ; y = u.v ; y = u

v hoặc y là hàm số hợp

[ ( ) ]

y = f u x ( u , v , w là những hàm số thường

gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

−+

ad bc y

cx d

−

= +

Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau :

2

y x

1

u x

u x

Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 +10x – 3 , dồ thị là ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Giải :

Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là :

y’ = 3x2 + 6x +10 = 3 ( x+ 1)2 +7 ≥ 7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ứng với x 0 = - 1 => f(x9) = f(- 1) = - 11

Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4

Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức : f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x3 + 2x2 – 1 (1)

a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ?

Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2

b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax2 + bx +c Suy ra : f’(x) = 2ax + b (1) thành :

( ax2 + bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x3 + 2x2 hay

2a2x3 + ( 3ab – a )x2 + ( 2ac – 2a + b2 – b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x3 + 2x2 Do đó :

2 2

Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x)

chia hết cho ( x—a )2 là : f(a) = f’(a) = 0

Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a )2

f(x) = nxn+1 – ( n + 1) axn +an+1

Giải :

Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a )2 nên : f(x) = ( x – a )2 g(x) Suy ra :

f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )2 g’(x) Do đó : f(a) = f’(a) = 0

Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a )2 , ta có : f(x) = ( x – a )2 g(x) + Ax + B Suy ra :

Ví dụ 4* : Cho hàm số : y x2 2 mx m

x m

=

+ ( m là tham số khác 0 ) , đồ thị là ( C )

a) Gọi A(xA , 0 ) là một điểm chung của ( C ) và trục Ox Chứng minh rằng tiếp tuyến với ( C ) tại A có hệ số góc bằng 2 A 2

b) Định m để ( C ) cắt Ox tại 2 điểm A , B phân biệt và tiếp tuyến với ( C ) tại A và B vuông góc với nhau

Giải :

a) Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại A bằng k = y’(xA) Mà :

2 2

2 2

b) ( C ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A , B khi phương trình x2 2 mx m 0

x m

+ 1

có 2 nghiệm phân biệt hay phương trình x2 – 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay :

b) Ta có :

3 3

x

f x

C Bài tập rèn luyện

5.6 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số : y = 2x2 + x biết :

a) Tiếp điểm có tung độ bằng 3

b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 9x + 2

c) Tiếp tuyến này qua điểm A ( 0 , -2 )

5.7 ( C ) là đồ thị của hàm số : y = x3 +2x2 +3x – 5 Chứng minh rằng ta không thể tìm được hai tiếp tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau

5.8 Cho hàm số : y = x3 – 3x2 + x , đồ thị là ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết rằng tiếp tuyến này tạo với Ox một góc 45o

5.9 Cho hàm số : y = - x3 +6x2 – 3x +14 , đồ thị là ( C ) Trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , viết phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

5.10 Cho hàm số : x 1

3

+

y= , đồ thị là ( C ) A (0 , a) là một điểm trên Oy Tìm điều kiện của a để từ

x−

A ta vẽ được 2 tiếp tuyến với ( C ) mà 2 tiếp điểm nàm hai bên đường thẳng x = 3

5.11 Cho hàm số : 22

ax bx c y

5 14 Tính giới hạn các hàm số sau:

5.16 Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x)n bằng 2 cách , suy ra giá trị của biểu thức:

D Hướng dẫn Đáp số

5.9 y’ = - 3x2 +12x – 3 = - 3 ( x2 – 4x + 4 ) + 9 Gía trị lớn nhất của y’ là 9 đạt được khi x = 2 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc lớn nhất là :

y = 9x + 2

5.10 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại ( x0 , yo ) thuộc ( C ) là :

0 2

0

0 2

2

2 2

2 2

Cho x = 1 vào (1) và (2), ta được : = n.2n -1

5.16 Xét hàm số y = x + x2 + x3 + + xn + 1 = 1 1 1

− − (1) (tổng n + 1 số hạng của một cấp

số nhân) Lấy đạo hàm hai vế, ta được :

§3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

A.Tóm tắt giáo khoa

1.Giới hạn

0

sinlim

x

x x

→

Định lí 1 : Ta có

0

sinlim

x

x x

→ = 1 (với x tính bằng rad)

2 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

a) Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lí 2 : Với mọi x ∈R , ta có (sinx)’ = cosx

Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’

b) Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lí 3 : Với mọi x ∈R , ta có (cosx)’ = - sinx

Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’

c) Đạo hàm của hàm số y = tanx

cos u = [1 + tan 2 u).u’

d) Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lí 5 : Với mọi x ≠ k π ( k∈ Z) ,ta có (cotx)’= 12

Bảng tóm tắt cần nhớ :

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu u’

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - sinu u’

Dạng 1 : Giới hạn của hàm số lượng giác

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về dạng

x

x x

→

0

1 cos 6lim

tan

x

x x

2

Dạng 2 : Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ví du 1 : Dùng địngh nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = xsinx

sin 2

Δ Δ

= x0cosx0 + sinx0 Vậy y’(x0) = sinx0 + x0cosx0

Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

x x

x

x x

π π

Dạng 3 : Dùng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) y = 3sinx – 2cosx b) y = sin cos

x x

x x

−+

c) y = xcosx d) y = tan x e) y = 1

1 cot x+

Giải

a) Ta có y’ = 3cosx + 2sinx

b) Ta có y’ = (cos sin )(sin cos ) (sin 2 cos )(sin cos )

= (sin cos )2 (sin 2 cos )2 2 2

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số :

a) y = sin 1 + x2 b) y = cos32x c) y = tan2x – cot(x2 + 1) d) y = sin2xcos4x

Giải

2 x− x ⇒ y’ = 3cos6x – cos2x

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số y = 1 cos 2 sin 2 cot

y’ = 4sin 2 4cos 22 4sin 2 cos2 2 . 21 cos 2 sin 2

= 4(sin 2 1) cos sin 2 (1 cos 2 sin 2 )(1 cos 22 sin 2 )

sin (1 cos 2 sin 2 )

= 2sin 2 (sin 2 21) (1 2sin 2 sin 2 ) cos 222 2

sin (1 cos 2 sin 2 )

Giải thích kết quả :

Ta có y = 2sin22 2sin cos cos 2sin (sin cos ) cos

C.Bài tập rèn luyện

5.17 Tìm giới hạn sau :

osm

tan

x

x x x

5.18 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x

5.19 Tính đạo hàm của các hàm số

a) y = xcosx – sinx b) y = cos3x c) y = sin3x.cos2x

5.20 Tính đạo hàm các hàm số :

a) y = sin2x + cos 3x b) y = sin33x c) y = cos4 (2x -

3

d) y = 1 tan 4x + e) y = (1 – sinx)(1 + tan2 x) f) y = cos2 x( 1 + sin2x)

5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích kết quả

a) y = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x cos2 x b) y = sin64 cos64 1

5.22 Cho y = cos2x - 2 3cosx Gíi phương trình y’ = 0

5.23 Cho hàm số y= 4sinx + 3cosx + mx Định m để để phương trình y’ = 0 có nghiệm

D.Hướng dẫn giải

5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx

b) y’ = - 3cos2 x.sinx

c) y’ = 3sin2 x.cos3 x – 2cosx.sin4 x = sin 2 xcosx( 3cos2 x – 2 sin2 x)

d) y’ = 1 - 12

sin x - tan2 x 12

cos x = 1 – (1 + cot2 x) – tan2 x( 1 + tan2 x) = - ( cot2x + tan2x + tan4x )

e) y’ = sin

2 1 cos

x x

5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x

b) y’ = 9sin23x.cos3x

e) y’ = - cosx(1 + tan2x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan2x)

= (1 + tan2x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) =

f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos2x.2cos2x

= 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx)

5.21 a) Ta có y’ = 6sin5xcosx – 6cos5xsinx + 3 (2sinxcos3x – 2cosxsin3x)

= 6sinxcosx(sin4x – cos4x + cos2x – sin2x)

= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x) + cos2x – sin2x)]= 0

Giải thích ta có a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a+b)

Với a = sin2x và b = cos2x thì a + b = 1

Vậy y = a3 + b3 + 3ab = [(a + b)3 – 3ab] + 3ab = 1 Suy ra y’ = 0

b) (sin6x + cos6x – 1)’ = 6sin5xcosx – 6cos5x sinx = 6sinxcosx(sin4x – cos4x)

= 6sinxcosx[(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x)]

Giải thích : đặt a = sin 2 x và b = cos2 x ta có a + b = 1

sin6x + cos6x – 1 = [(a + b)3 – 3ab – 1] = -3ab

sin4x + cos4x – 1 = [(a + b)2 – 2ab – 1] = -2ab

Vậy y= 3/2 Suy ra y’ = 0

5.22 y’= -2sin2x + 2 3sinx = -2( 2sinxcosx - 3sinx)

= -2sinx(2cosx - 3)

5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m

Do đó y’ = 0 ⇔3sinx – 4cosx = m

Phương trình có nghiệm khi m2 ≤ 9 + 16 = 25 ⇔-5≤ m ≤ 5

§4 Vi phân

A.Tóm tắt giáo khoa

1 Khái niệm vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x vàΔx là số gia của biến số tại x

Tích f ’(x) x, kí hiệu là df(x),được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x ứng với số gia Δ Δx đã

cho Vậy df(x) = f’(x) x Δ

* Nếu lấy f(x) = x thì df(x) = dx = (x)’ x= Δ Δx

Vậy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx

2 Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Nếu Δ x khá nhỏ và thì f’(x0) = 0 0

Dạng 2 : Tính giá trị gần đúng

Ví dụ : Tính giá trị gần đúng của sin(300 20’)

Giải

Xét hàm số y = f(x) = sinx Nếu x tính bằng radian thì f’(x) = cosx

C Bài tập rèn luyện

5.21 Tính vi phân của hàm số f(x) = 3

x tại điểm x = 1 ứng với Δx = 0,01

5.22 Tính vi phân của hàm số f(x) = cos2x tại điểm x =

3

π ứng với Δx = 0.001

5.23 Tính vi phân của các hàm số :

a) y = cos2 x b) y = 2tan3x – 3 cot2x c) y = x2+ 1 d) y = xcos2x

5.24 Tính giá trị gần đúng của :

a) 3 27, 24 b) sin310 c) cos60030’

D Hướng dẫn giải

5.21 Ta có f(x) =

1 3

x do đó f’(x) =

2 3