ôn tập bài tập toán cao cấp

Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa x n... x= 2 : = hội tụ theo tc LeibnitzCác đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước... S là biên của miền phẳng giới hạn bởi... x=3: hội tụ

Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)

Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑∞

hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

x n

x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz

Các đk công thức Green thỏa

Chiều C ngược chiều quy ước

x y và z y = + 1, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

f’’xy= 4xy + 2x2y3 => f’’xy(2,1)=16e2

f’y=2x2y

f’’yy= 2x2 +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e2

 d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2

Câu 2 Tìm gtln, gtnn của f x y ( , ) ( = y2− x e2) 1− +x2 y2trên miền D = {( , ) | x y x2+ y2≤ 4}

 x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0

6 4 2

) 1 2 (

5 3

b) = = 6>1

1

3 ) 2 (

6 4 2

) 1 2 (

5 3

phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

31

I = ∫∫ e− − dxdy, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1 ≤ x2+ y2 ≤ 4, y ≥ 0, y x ≤ 3

2 2

x y

D

Câu 7 Tìm diện tích phần mặt cầu z = R2− x2− y2 nằm trong hình trụ x2+ y2 = Rx.

Gọi S là phần mặt cầu z = R2− x2− y2nằm trong hình trụ x2+ y2 = Rx

f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1

f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1

f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

1 4 7 (3 2) (2 1)!!

n

n n

n x n

x= e+4: phân kỳ theo so sánh

Miền hội tụ (-e+4,e+4)

I = Ñ ∫ x y dx + + x + y dy, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn

bởi y = − 2 x y2, = − x, chiều kim đồng hồ.

S là biên của miền phẳng giới hạn bởi

L hội tụ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

31

( 1) ( 1)

2 ( 1)ln( 1)

n n

= =1/8

=> -8<x+1<8 => -9<x<7

x=-9: phân kỳ theo tc tích phân

x=7: hội tụ theo tc Leibnitz

 Miền hội tụ (-9,7]

Câu 5 Tính tích phân x2 y2 ln( x2 y2)

D

+ +

∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x 2 +y 2≤e 2

x=rcosφ, y=rsinφ

) 2 2 2

x

D

+ +

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

33

1

2 2

1

n n

n n

1

2 2

1

n n

n n

  phân kỳ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi:

) 1 ln(

) 1 (

) 5 ( 2 ) 1

x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân

x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz

Câu 6 Chứng tỏ tích phân x y[ (1 ) (1 ) ]

C

tích phân I với C là phần ellipse

∂

∂

Câu 2 Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1

1 4 9 (4 3)!!

n

n n

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n

n n

x

n 1 ( 1 )

4

3 ) 1 (

1

− +

Câu 7 Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn x2+ y2 = 2 y.

x=rcost, y=rsint => r= 2sint

I= = = 4

Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính = Ñ ∫ ( + ) + (2 − ) +

C

I x y dx x z dy ydz, với C là giao của x2+ y2+ z2 = 4

và x y z + + = 0, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của C là giao của x2+ y2+ z2 = 4 và x y z + + = 0

x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy

x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1)

x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

1

2 !n

n n

n n

1 2

n

n

x n

dy x y x Q dx

z x y và z = − 2 2 y, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.

S là mặt giao của của z x = 2+ y2 và z = − 2 2 y, n= (0,

! ) 1 2 (

5 3 1

9 4

! ) 1 2 (

5 3 1

9 4

n phân kỳ theo tc D’alembert

Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa

1 3 4 2 1

( 1) ( 2)

n n

x

∞ +

P

x

h ( ) ( , ) ( ) ( , ) trong đó L là nữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 nằm bên phải trục tung, chiều

đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).

I x y dydz y z dxdz z x dxdy, với S là phần mặt

paraboloid z x = 2+ y2, bị cắt bởi z = − 2 2 x, phía dưới.

Δ=AC-B2=4>0, A=2>0

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,0)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của ∑∞ ( )

1 4

−

=

n n n

n

n

! ).

1 3 (

10 7 4

).

2 (

6 4 2

n n

n n

+

=

=> hội tụ theo tc Cauchy

=> phân kỳ theo tc D’alembert

n

n x

I= h x y [ x x y dy y x y dx ]

AB

) (

) (

) ( 2 − 2 2 + 2 − 2 + 2

 f(x,y) đạt cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)

Câu 3 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

21

1

2 1

n n

n n

n n

∞

=

+

∑   + ÷  hội tụ theo tc Cauchy

Câu 4 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa

1

( 4)

2

n n

x=3: hội tụ theo tc Leibnitz

qua gốc O và không cắt trục tung.

=> tp ko phụ thuộc đường đi