chuyên đề toán lớp 12

Tìm m để hàm số 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.. Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà t

Trang 1

Chuyên đề Toán học



Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số



Bài 1: Cho hàm số: y =

2 x

m 4 m x ) 1 m ( 2



1 Khảo sát hàm số (1) khi m = –1

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

Bài 2: 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 –9x2 +12x –4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 3

x – 9x2 +12 x = m

Bài 3: Cho hàm số: y = –x3 + 3mx2 – 3(m2–1)x +m3 – 2 (Cm)

Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương

1 x 2 mx 2

x2



 Tìm m để khoảng cách từ hai điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng

x + y +2 = 0 bằng nhau

Bài 5: Cho hàm số y = x3 +3x2 + m2x + m

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y =

2

5 x 2

1 x

x2

 (C) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45°

1 x 1 x

x2



 Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng y = x

2

1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Bài 8: Cho hàm số: y = x3

3

1 –x +

3

2 (C) Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng

y =

3

2 x 3

1 



1 x 3

x2



 (C) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2 ;

5

2 ) sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB

) m x ( 8 x

x2



 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên [1 ; +)

Bài 11: Cho hàm số: y = x4 – 4x2 + m (C) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau

Bài 12: Cho hàm số: y = x3 – 3x (1)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và tại C vuông góc với nhau

Bài 13: Cho hàm số: y = x3 –3(a–1)x2 + 3a(a–2)x +1, (a là tham số)

Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1  x  2

Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 –3x +

x

m + 3 có ba điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1)2

1 x 2 x

x2



 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

2 x 5 x

x2





1 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không đổi

2 Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 16: Cho hàm số y = x2 + 2x + a – 4 Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 2

3

1 x3 – mx2 – x + m +1

1 Khảo sát hàm số khi m = 0

2 Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

3 Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

1 x 1 mx

x2



 Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18

2 mx

x ) m 6 (

x2







1 Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C)

2 Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi

1 x

x2

 (C) và đường thẳng (d): y = ax + b

Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

1 x 2 x



 (C) và điểm A(0 ; a) Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục Ox

Bài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x4 – (m2 +10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong đó có hai giao điểm nằm trong khoảng (–3 ; 3) và hai giao điểm nằm ngoài khoảng (–3 ; 3)

Bài 23: Cho hàm số: y = x3 –

2

3 mx2 +

2

1 m3

1 Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

2 Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

x 2 x

x2   (C) Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y =

1 x m mx

x2



 và tính khoảng cách giữa hai cực trị

Bài 26: Cho y = 2x3– 3x2 (C)

1 Từ (C) vẽ: y = 2x3– 3x2

2 Tìm GTLN, GTNN của: y = 2sinx3– 3sin2x

3 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Bài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (x + my – 2)2 + (4x + 2(m – 2)y – 1)2

Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

y =

x cos 2 x sin 3

x sin 4 x cos 3

2 4



Bài 29: Cho các số x, y, z thuộc [0 ; 1] và thoả mãn điều kiện x + y + z =

2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = cos(x2 + y2 +z2)

Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

y = 2(1 + sin2x.cos4x) –

2

1 (cos4x – cos8x)

Bài 31: Giả sử x và y là các số thay đổi thoả mãn: x> 0, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

y 1

y x 1

x







Bài 32: Cho 3  x  6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

y = x  1  9  x

Bài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ

Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình



Trang 3

Dạng 1: Phương trình

chứa dấu căn:

1 x2 + 3x + 1 = (x+3)

1

x2

2 x + 4  x 2 = 2 + 3x

2

x

4 

3

) x 4 )(

1 x ( x 4

1

= 5

4

1 x 6

x

8

x

2 2   2 =

2x + 2

5 4 x  1 + x2  1

= 1

6

5 3 x 2 x 1

x

7 x  6 + 2x = 3(2 +

2

x  )

8

2

x

= 2(x–1)4(2x2– 4x +1)

9

29 x 12 x 25 x 12 x 2

x

10 x  2 – x 2= 2

4

x2 – 2x + 2

Dạng 2: Phương trình

lượng giác:

11 2sin2x – cos2x = 7sinx

+ 2cosx – 4

12 sin2x + 2tgx = 3

13 3sinx + 2cosx = 2 + 3

tgx

14 sin3x = cosx.cos2x

(tg2x + tg2x)

15 cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +

4 1

16 sin4x + sin4(x +

4

 ) +

sin4(x –

4

 ) =

8 9

17 48 –

x sin

2 x cos

1

2

(1 + cotg2x.cotgx) = 0

18 sin 2 x 

10

3   =

2

1 sin

 3 2 x 

10 



19 sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2

20 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3

21 tg2x.cotg2x.cotg3x =

tg2x – cotg22x + cotg3x

22

3 x cos 4 x cos ) 2 8 3 16 ( 6 4

23

x sin

2

2 + 2tg2x + 5 tgx + 5cotgx + 4 = 0

24 sin4

2

x + cos4

2

x = 1 – 2sinx

25 tg2x =

x sin 1

x cos 1



26 cos 2 x  4   + cos

 2 x   4 + 4sinx = 2 + 2

(1–sinx)

27 sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx

28 3cotg2x + 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx

29 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx = 2(sinx + cosx)

30 sin2x + cos2x + tgx = 2

31 tg2x – tgx.tg3x = 2

32 cos3x – sin3x = cos2x – sin2x

33 3tg2x – 4tg3x =

tg23x.tg2x

34 cos3x – 2cos2x + cosx

= 0

35 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

36 2tg2x +

x sin

2

2 + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0

37 sin2x + sin23x – 3cos22x = 0

38 cos3x + 2 cos2 x

= 2(1 + sin22x)

39 1+ cos4x – sin4x = 2cos2x với x2  x < 2

40

2 x cos x sin x

sin 1 x 2

Dạng 3: Phương trình logarit:

41 log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x

42 log6( x )

x = 0

43

x log ) 2 x ( log

2 x

44 log3x+7(9 + 12x + 4x2) + log2x+3(6x2 + 23x +21) = 4

45 log2(4x+4) = x –

) 3 2 ( log x 1

2





46 log2(3x–1) + log 1 2

3 x

= 2 + log2(x+1)

47 logx[log3(9 x–6)] = 1

48 log3(9 x1–4.3x – 2)

= 3x + 1

49

2 2 2

2 x log 6 log x log

3 2 x













 5 x x

3 x x

2

=

x2 + 3x + 2

51 ln(2x–3) + ln(4–x2)

= ln(2x–3) + ln(4–x2)

52 log27(x2 – 5x + 6)3 =

  x 2 1

log 2

1 3

 + log

9(x–3)2

5

3  = 6x + 2

54 x 1 x 2 x

2

2    = (x–1)2

55 6 x

4 – 13 x

6 + 6.9 x

= 0

56 5 x 1

3  – 7 x 1

3  +

1 x

x 9 3 6

Dạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất phương trình theo tham số:

57 x2 – (1+m) x – m – 1

= 0

58 (x+1)2 – m x  2 = 0

59 2m(cosx + sinx) = 2m2

+ cosx – sinx +

2 3

60 log

2

1 (x2 + ax +1) < 1

61 loga 2

a

log x + log 2

a

logax 

2

1 log

a2

62 logxa + logaxa + a + loga2x a = 0

63

2 m mx 4 x 2 mx 2

5

x2 + 2mx + m

Dạng 5: Hệ phương trình:

Trang 4













6 y x

4

x

9 ) y x 2 )(

2

x

(

x

2

65









0 6 x cos

y

sin

5 x 7cosy 0

sin

66 











4 4 9

9

5

y x y

x

1 y

x

67 











x y y

x

1 y

x

7 7

20 20

68

















0 y 15 xy

13

x

2

9 y xy

2

x

2 2

69















0 6

)

y

x

(

8

1 3

).

y

x

(

y x 4

x y 4

4 4

70 









19 y

x

2 y ) y x

(

3 3

2

71















2 2

3 3

3

x 6 xy

y

x 19 y

x

1

Dạng 6: Bất phương

trình:

) x 1

1

(

x

2







73

2

3 x 1 x

1

x



74

1 x 1 x x 3

x

x2   2   

75

) 1 x ( 4 ) 4 x

3

)(

5

x

76 1  x  1  x  x

77 2x2 + x2 x 6



10x + 15

78 x  3 + x  4 >

4

x

2  + 3 x  3

Dạng 7: Tìm các giá trị

của tham số để (hệ)

phương trình, bất

phương trình:

79















1 m m y

xy 2 x 2

3 y xy 2 x

2 2

có nghiệm

80 









a 3 y 5 x

3 y

nghiệm x  4

81 













2 a ) 1 y ( x y x 2 y x

có nghiệm

82 











2 m 3 y x

m y x

4 4 2 2

có nghiệm















2 4 bx

5 5

a by ) 1 a ( e

1 y x ) 1 a

có nghiệmđúng với mọi giá trị của tham số b

84















a 3 5 x x 5 y

a y 3 x

2 2

2

có đúng 1 nghiệm

85





















1 xy y x

1 ) 1 y x ( k 1 y

x 2 2

có nghiệm duy nhất

86

0 1 a 3 ).

1 a ( 9

a x  x2  

có nghiệm với mọi x

87 2asinx + (a+1)cosx =

x cos

a có nghiệm

88 sin6x + cos6x = asin2x

có nghiệm

89 (m–1)log2

2

1 (x–2) – (m

–5)log

2

1 (x–2) + m –1 = 0 có 2 nghiệm thoả mãn 2

 x1  x2  4

90

) 3 x (log m 3 x log x

2 1 2

có nghiệm thuộc khoảng [32 ; +)

91















 a y x

1 ) y x ( log ) y x ( log

2

2 2 a

(a1) có nghiệm duy nhất và giải phương trình khi đó

92





















 2 5 log

m ) 5 x x ( log

4 log ) 1 x ( log ) 1 x ( log

5 x x 2

2

3 3

3

2

có 2 nghiệm phân biệt

93 (2sinx – 1)(2cos2x +

2sinx + m) = 3 – 4cos2x có 2 nghiệm thỏa mãn: 0

 x  ð

Trang 5

Bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác



1 Chứng minh rằng với mọi x > 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1  x Từ đó chứng minh rằng với ba số dương bất kỳ thì :

a

c c

b b

a a

c c

b b

a

3

3 3

3







2 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì



















a

3

c 3

b 3

a 3 3

1 3

1 3 1

3 Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b = c Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2

c b

4 Chứng minh rằng với 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 ta luôn có:

3

3 3

3 b c

= abc

5 Cho các số thực a, b, c, d sao cho a  b  c  0

Chứng minh rằng: a2 – b2 + c2  (a – b + c)2

6 Cho a  1 ; b  1 Chứng minh rằng: a b  1 + b a  1 ab

7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

(a + b + c) c 1 

b

1 a

1    9

8 Cho 



 y 0

x,b 0

a

Chứng minh rằng:  y y lnax bx

x

1 b a ln y

9 Cho x,y > 0 Chứng minh rằng:

y x

4 y

1 x

1







10 Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn:

b

2 c

1 a

b c 2 b c b a 2 b









11 Cho 3 số dương a, b, c và a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng:

2 3 3 b a

c a

c

b c

b

a

2 2 2 2 2



12 Cho x, y  ; 4 

4





tgy tgx 1 tgy tgx





13 Chứng minh rằng với mọi t  1;1 ta có:

2 2

t 2 t 1 1 t 1 t

1        

14 Cho các số a, b, c thoả mãn: 









1 ca bc ab

2 c b

Chứng minh:

3

4 a 3

3

4 b 3

3

4 c 3



15 Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 3 2 3 2

1 y

1 x

1 x z z 2 z y

y 2 y x x



16 Chứng minh rằng nếu a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì:

3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc  13

Trang 6

17 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cosAcosBcosC 

8 1

18 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức:

C cos B cos A cos 2

1 C

2 sin

1 B

2 sin

1 A

2 sin

1

2 2

Chứng minh rằng ABC là tam giác đều

19 Cho tam giác ABC thoả mãn: sin(A+B)cos(A–B) = 2sinAsinB

Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông

20 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi

3 m

C sin m

B sin m

A sin

c b

a





21 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn:

cos

2

A cos

2

B cos

2

C – sin

2

A sin

2

B sin

2

C =

2 1

22 Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi

sin2A + sin2B + sin2C = cos2

2

A + cos2

2

B + cos2

2 C

23 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg

2

C Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc vuông

24 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

tg

2

A + tg

2

B + tg

2

C =

C sin B sin A sin

C cos B cos A cos 3



 1c

b

1 a

1 2 c p

1 b p

1 a p











26 Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgA + btgB = (a + b)tg

2 B

A  Chứng minh rằng tam giác ABC cân

27 Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: c2sin2A + a2sin2C = b2cotg

2 B

Hãy xác định hình dạng của tam giác đó

28 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: sin2A + sin2B = sin2C

2

2 2 c

b a C sin ) B A





 Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác:

sinA + sinB +sinC = 4cos

2

A cos

2

B cos 2 C

cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin

2

A sin 2

B sin 2 C sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC

sinA + sinB + sinC 

2 3 3

Trang 7

cosA + cosB + cosC 

2 3

cosA.cosB.cosC 

8 1

sin2A + sin2B + sin2C 

4 9

cos

2

A + cos

2

B + cos

2

C 

2 3 3

cotgA + cotgB + cotgC  3 Dấu = xảy ra khi ABC là tam giác đều,

Trang 8

Nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng của tích phân



Tìm họ nguyên hàm và tính các tích phân sau:

(x25xx1)(x12 3x1)

2

3 x ( tg

6

 )dx

1cotsingx9x dx

cos4xdx  1 sin  sin xdx 2 x







2

0

3

) x sin x

(cos

x sin 4 x

cos





4

x

6 6

1 6

x cos x







4

0

) tgx

1



 2

4 4 6

x sin

x







2

0

2008 2008

2008

x sin

x

cos

x



10

1

2

x

lg









2 5 1

1

2 4

2

dx 1 x x 1 x







4

0

6

6x cos x

sin

x

2

0

2

)

x

4

(

x

 2

0

2008x







3

2x

cos

x

sin

Trang 9





6

0

2

x cos 3

x

sin

xdx

1

2 x

) 1 x )( 1 e ( dx











3

6

) 6 x ( g cot

)

3

x

(

1

0

2

x

2

)

1

x

(

e

)

1

x

(





2

0

x sin







4

0

2

) x cos

2

x

(sin

dx







20

0

x 2 cos





2

0

3

x cos 1

x sin







2

0

x cos 1

x cos

1

) x

sin

1

(

b

0

2

)

x

a

(

x

10

1

2

x lg

1

dx

5

3

2

9

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	664 KB