Giải bài tập Tích phân

u xdx�+fn Trong đ ux là một hàm số khả vi.

II PHƯƠNG PH �P T�NH T�CH PH�N P T �P T�NH T�CH PH�N NH T �P T�NH T�CH PH�N CH PH �P T�NH T�CH PH�N N 1.Phương pháp phân tích

Tích phân  f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn :

f(x) = f1(x) + f2(x) + +fn�+fn (x)

Và áp dụng công thức :

Ví dụ:

1)

2)

3) Tính

Với n  2:

Nhờ hệ thức này ta có thể tính In với n tùy ý

2 Phương pháp đổi biến

Phương pháp đổi biến trong t ch ph n bất định c 2 dạng sau đ y :�+fn �+fn �+fn �+fn

Dạng 1: Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

F(u(x)) u (x)dx�+fn

Trong đ u(x) là một hàm số khả vi Khi ấy ta có thể đổi biến bằng c ch đặt u=u(x),và �+fn �+fn có:

Dạng 2: Đặt x =  (+) , trong đ �+fn  (t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với biến t, ta

c :�+fn

Ví dụ:

1) Tính:

Đặt: u = x2 + 1, du = 2xdx

2) , với u = sinx

3) Tính:

Đặt u = x2, du = 2xdx hay xdx =

4) Tính

Đặt u = ex Ta c�+fn : du = exdx, và:

5) Tính

Đặt u = cos2x Ta có:

du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra:

6) Tính

Đặt: x = sint ;

 t = arcsin x, ( -1  x  1)

Ta có: dx = cost dt

Suy ra

Mà

và t = arcsin x

Nên:

3.Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục u = u (x) và v = �+fn �+fn �+fn

v (x) :�+fn

Ta biết:

(u.v) = u v+u.v�+fn �+fn �+fn

hay u.v = (uv) -v.u�+fn �+fn �+fn

Từ đ suy ra c ng thức:�+fn �+fn

Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng :

Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ tính hơn.�+fn �+fn

Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh c, tức là :�+fn

Khi đ ta t nh được :�+fn �+fn

Ví dụ:

1)T �P T�NH T�CH PH�N nh

Đặt u = ln x

v = x �+fn

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :

2) Tính

Đặt u = arctg x

v = x , �+fn



Ta có :

Suy ra :

3) Tính

Đặt u = sinx u�+fn = cos x v�+fn= ex ; v = ex



u 1 = cos x u�+fn1= -sinx

v�+fn1= exv1 = ex

Suy ra:

Vậy:

Suy ra:

Đặt

v�+fn = 1 v = x

Suy ra:

Ta có:

Do đ�+fn:

Suy ra

Vậy:

5) Tính

v =1 v = x �+fn

Suy ra :

Ta có:

Suy ra:

6) Tìm công thức truy hồi để t nh t ch ph n �+fn �+fn �+fn

(a>0)

Ta có:

Với n  1, đặt:

v = 1 v = x�+fn

Suy ra:

Ta có:

Suy ra:

Vậy: