Giao trinh bai tap lý thuyết và bài tập tích phân bkhn

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có: Nếu tích phân suy rộng hội tụ tuyệtđối thì tích phân đó hội tụ.1.1.1 Các dấu hiệu hội tụ Định lý 1.1.4 Dấu hiệu so sánh.. Khi đó, ta phải chia tích phân thành



= 1

Trong trường hợp này S1 là tích phân suy rộng loại I

Bài toán 1.0.2 Tính diện tích của "hình thang cong" trong mặt phẳng giới hạn bởicác trục Ox, Oy, đường thẳng x = 1 và đồ thị hàm số y = 1/√

x (x > 0)?

Tương tự như Bài toán 1.0.1, ta thấy diện tích S2 của hình thang cong này chính

là giới hạn của diện tích S(η) của hình thang cong {η ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1/√

1 η

Hình 1.1: Diện tích tam giác cong

Hình 1.2: Diện tích hình thang cong

1.1 Tích phân suy rộng loại I

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữuhạn a ≤ x ≤ A < +∞, tức là tồn tại F (A) :=

f (x)dx được gọi là tích phân suy rộng loại I của hàm

f trên đoạn [a; +∞)

(i) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

A x=1



= lim

A→+∞

arctan A − π

4



= π4

Thật vậy, khẳng định trên được suy ra từ tính toán sau đây:

A

1 = A1−α1−α−1 nếu α 6= 1

ln x

A 1

Chứng minh Thật vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của giới hạn, ta có

f (x)dx

≥ 0 với mọi n ∈ N

A0n≤ x ≤ A00

n, n = 1, 2, và A0n → +∞, A00

n → +∞ khi n → +∞ Do đó,

A00

Z

A 0 n

xαsin xdx

≥ 2π3

Nhận xét 1.1.3 Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có: Nếu tích phân suy rộng hội tụ tuyệtđối thì tích phân đó hội tụ.

1.1.1 Các dấu hiệu hội tụ

Định lý 1.1.4 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ là các hàm thỏa mãn

Chứng minh Các khẳng định trên được suy ra từ tiêu chuẩn Cauchy

Ví dụ 1.1.5 Xét sự hội tụ của tích phân

Hệ quả 1.1.7 Giả sử f, g : [a, +∞) → R+ là các hàm không âm thỏa mãn

1.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 1.1.9 (Weierstrass) Giả sử f, g : [a, +∞) → R thỏa mãn |f (x)| ≤ g(x) ∀x ≥

f (x)dx hội tụ (tuyệt đối)

Định lý 1.1.10 (Dirichlet) Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn

(ii) Hàm g đơn điệu và g(x) → 0 khi x → +∞

(ii) g(x) := 1/xα đợn điệu giảm và g(x) → 0 khi x → +∞

Vì vậy, theo Định lý Dirichlet,

chặn trên (0, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân

1.2 Tích phân suy rộng loại II

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f (x) xác định trên [a, b), không bị chăn trên trên [a, b) vàkhả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b − η (0 < η < b − a) Tích phân hình thức

Ví dụ 1.2.1 Xét sự hội tụ của tích phân

1 η

= 1−η1−α1−α nếu α 6= 1

ln x

1 η

x α hội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α ≥ 1

Ví dụ 1.2.2 Xét sự hội tụ của tích phân

| ln2015x| < √1

x ∀ 0 < x ≤ η0.Do

ln2015xdx hội tụ (tuyệt đối)

1.3 Các bài tích phân suy rộng trong các đề thi

những năm gần đây

Thông thường hàm dưới dấu tích phân suy rộng có nhiều điểm bất thường (điểm

mà hàm không có giới hạn hoặc điểm ∞) Khi đó, ta phải chia tích phân thành tổngcác tích phân (suy rộng) mà mỗi tích phân này chỉ có nhiều nhất một điểm bất thường.Bài 1 (Năm 2014) Xét sự hội tụ đều của tích phân suy rộng sau

Đối với tích phân

và g(x) := x/(xp + xq) đơn điệu với x đủ lớn (tức là với mọi x > A0, với A0 > 1 nàođó) và dần về 0 khi x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với q > 1

Bây giờ, ta xét trường hợp p ≤ q ≤ 1 Giả sử phản chứng rằng I2 hội tụ khi

p ≤ q ≤ 1 Khi đó, do hàm (xp + xq)/x đơn điệu với x đủ lớn và bị chặn đều trên(1, +∞) nên theo Định lý Abel, tích phân

Kết luận Tích phân suy rộng I hội tụ nếu max{p, q} > 1 và min{p, q} < 2 và phân

kỳ trong các trường hợp ngược lại

b) Xét sự hội tụ đều của I.

Trước hết, ta viết tích phân trên thành tổng của hai tích phân

Điều này vô lý vì tích phân cuối cùng phân kỳ

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng I1 hội tụ đều trên p ≤ 2 −  với mỗi  > 0 Thậtvậy, ta có

f (x, p, q) ∼ C 1

xp−1 ≤ 1

x1−, khi x → 0+,trong đó, C = 1/2 nếu p = q và C = 1 nếu p 6= q Vì vậy, tồn tại 0 < η0 < 1 sao cho

|f (x)| ≤ C1 1

x1−, ∀ 0 < x ≤ η0,trong đó, C1 > 0 là hằng số Do

Đối với tích phân

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng I2 hội tụ đều trên q > 1 Khi đó, theo định lý vềchuyển qua giới hạn đưới dấu tích phân, giới hạn sau đây tồn tại

với mọi q ≥ 1 +  Hơn nũa, hàm g(x) := x/(xp+ xq) đơn điệu với x đủ lớn (tức là vớimọi x > A0, với A0 > 1 nào đó) và dần đều về 0 khi x → +∞ Theo Định lý Dirichlet,

I2 hội tụ đều trên q ≥ 1 + 

Kết luận Tích phân suy rộng I hội tụ đều trên nếu max{p, q} ≥ 1 + 1 vàmin{p, q} ≤ 2 − 1 với mỗi 1, 2 > 0 và hội tụ không đều trong các trường hợpcòn lại

Bài 2 (Năm 2013) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi β < 2, α 6= 0 và β < 1, α = 0

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

TH3 α < 0 Ta có x2f (x) → +∞ khi x → +∞ Do đó, tồn tại A0 > 1 sao cho

x2f (x) < 1, ∀ x ≥ A0.Tức là f (x) < x12 với mọi x ≥ A0 Do

Kết luận: I hội tụ nếu α < 0, β < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại

Bài 3 (Năm 2012) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi p > −1/2.

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

Kết luận: I hội tụ nếu p > −1/2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại.Bài 4 (Năm 2011) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Không mất tổng quát ta giả sử α ≤ β.

a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

và g(x) := 1/(xβ + xα) đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞ Theo Định lý Dirichlet,

I2 hội tụ với mọi α, β > 0

Kết luận: I hội tụ nếu 0 < min{α, β} < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại.Bài 5 (Năm 2011) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì ln x = ln(1 + (x − 1)) ∼ x − 1 khi x → 1+ nên ta có

f (x) := 1

xα(ln x)β ∼ 1

(x − 1)β, khi x → 1+

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi và chỉ khi β < 1

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

+∞

Z

2

d ln x(ln x)β

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ khi và chỉ khi β > 1, α = 1

TH2 α > 1 Gọi γ là một số tùy ý thỏa mãn 1 < γ < α Khi đó, do xγf (x) → 0 khi

x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| < 1/xγ với mọi x ≥ A Mặt khác, vì tíchphân

+∞

R

2

dx

(x) γ hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ

TH3 α < 1 Gọi γ là một số tùy ý thỏa mãn 1 > γ > α Khi đó, do xγf (x) → +∞khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| > 1/xγ với mọi x ≥ A Mặt khác, vìtích phân

+∞

R

2

dx (x) γ phân kỳ nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ

Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 1, β < 1

Bài 6 (Năm 2010) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α < 3.

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi và chỉ khi α > 0.

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

Vì vâỵ, I2 hội tụ khi và chỉ khi β = 0, α < 0

TH2 β < 0 Do x2f (x) → 0 khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho |f (x)| < 1/x2

với mọi x ≥ A Mặt khác, vì tích phân

TH3 β > 0 Do x1/2f (x) → +∞ khi x → +∞ nên tồn tại A > 2 sao cho

|f (x)| > 1/x1/2 với mọi x ≥ A Mặt khác, vì tích phân

Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 0, β < 0

Bài 8 (Năm 2006-2) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất

Đặt f (x) := e−x21 − e−x24 Khi đó, do limx→0+f (x) = 0 nên điểm x = 0 là bất thườngkhử được của I1 Vì vậy, I1 hội tụ

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

x 2 hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ

Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 0, β < 0

Bài 9 (Năm 2006-1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α > −2

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

và g(x) := xα/(1 + x) đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2hội tụ với mọi α < 1

TH2 α ≥ 1 Ta sẽ chứng minh I2 phân kỳ Thật vậy, giả sử I2 hội tụ Khi đó, do hàm

g1(x) := (1 + x)/xα đơn điệu và bị chặn (|g1(x)| ≤ 2 ∀x ≥ 1) nên theo Định lý Abel,tích phân

hội tụ Điều này vô lý vì tích phân này thực tế phân kỳ (xem chứng minh ở trên).Kết luận: I hội tụ nếu −2 < α < 1 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại.

Bài 10 (Năm 2005-2) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

t + 10)dt.

Khi đó, ta có

và g(t) := √ 1

t(√3t+10) đơn điệu và hội tụ về 0 khi t → +∞ Theo Định lý Dirichlet, I2hội tụ

Z

c

sin xp(x − a)(x − b)dx (c > b).

a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất

Ta có

f (x) := sin x

p(x − a)(x − b) ∼

sin bp(b − a)(x − b), khi x → b

+

Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ

b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai

Khi đó, ta có

... giới hạn điểm ∞) Khi đó, ta phải chia tích phân thành tổngcác tích phân (suy rộng) mà tích phân có nhiều điểm bất thường.Bài (Năm 2014) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau