Bài tập tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính

Tổng hợp bài tập của các chương..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP TỐI ƯU HÓA VÀ QHTT

Bài tập chương 1 1.1 Một công ty sản xuất bánh trung thu dự kiến năm nay đưa ra thị trường 3 loại bánh : bánh loại 200g

(B200), bánh loại 300g (B300) và bánh loại 400g (B400) Nguyên liệu dùng để sản xuất gồm : bột, trứng, sữa và hạt dưa đã được chuẩn bị sẵn trong kho, với khối lượng tương ứng là : 3 tấn, 2 tấn, 1 tấn và 0.5 tấn Mức tiêu hao mỗi loại nguyên liệu (g) để sản xuất một cái bánh và giá bán mỗi bánh thành phần (ngàn đồng/bánh) cho ở bảng sau :

Bánh Nguyên liệu

B200 B300 B400

Giá bán 1 cái bánh 50 70 100 Theo bạn Công ty cần sản xuất mỗi loại bánh là bao nhiêu cái sao cho với lượng nguyên sẵn có mà doanh thu của công ty đạt được cao nhất Biết rằng sản phẩm của công ty có thể tiêu thụ hết

1.2 Một chủ trang trại biết rằng nhu cầu dinh dưỡng trong một ngày của loài gia súc đang nuôi gồm: Đạm,

Gluxit, Protit, Khoáng tương ứng là 200, 50, 40 và 5 (gam) Tỷ lệ % theo khối lượng các chất trên có trong các loại thức ăn E1,E2, E3 như sau:

Thức ăn Chất Dinh Dưỡng

Giá mua 1kg thức ăn($) 2 3 4 Hãy lập mô toán học cho bài toán xác định khẩu phần ăn tối ưu

1.3 Giải các bài toán QHTT sau (bằng PP hình học)

2 2

2 4

2

a Z x x x x x x x x x x = − + → + ≥ − − + ≤ − ≤ − + ≤ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) 2 3 min 2 2 2

2 3 12 1

b Z x x x x x x x x x = + → − ≥ − − ≥ − + ≥ − ≤ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 21 24 max 2 33 13

5 8 80 , 0

c Z x x x x x x x x x x = + → + ≤ + ≤ + ≤ ≥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 40 30 max 3 16 2 17 2 3 23 , 0

d Z x x x x x x x x x x = + → + ≤ + ≤ + ≤ ≥

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 2 max(min) 1

2 4 2 6 4 20 , 0

e Z x x x x x x x x x x x x = − + → + ≥ − + ≤ − ≤ + ≤ ≥

1 2 1 2 1 2 2 1 2 ) 20 10 max 2 +3 30 9

8

2

, 0

f Z x x x x x x x x x = + → ≤ ≤ ≤ ≥ ≥

1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ) 2 3 max 1

2 4 5

2 3 12 0, 0 g Z x x x x x x x x x x x = + → + ≥ − + ≤ ≤ + ≤ ≥ ≥

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ) 2 4 max 3 3 2 2 5

4

0, 0 h Z x x x x x x x x x x x = + → − + ≤ + ≥ + ≤ ≤ ≥ ≥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 2 min 3 3 2 2 2 4 5

k Z x x x x x x x x x x = + → − + ≤ + ≥ − − ≤ + ≤

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) 8 2 min 3 3 2 6 2 4 2 3 l Z x x x x x x x x x x = + → − + ≤ + ≤ − ≤ + ≥ − 1.4 Giải các bài toán QHTT sau bằng phương pháp đơn hình:

1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 ) 2 min 15

27

2 18

j 0, 1, 4 a Z x x x x x x x x x x x x x x j = − + + → + − ≤ + + + = − − ≤ ≥ =

2 6

2 5

3 2 14

j 0, 1,3

2 3 54

3 4 77

2 2 54

2 3 48

0, 1, 4

+ ≤

) 6 10 12 max

2 4 32

2 2 42

3 2 2 30

0, 1,3

1 2 3

2 2 3 5

2 4 4

2 5 3

, 0, 0

2 2 16

4 2 8

2 12

j 0, 1,3

2 3 6

2 3 6

2 4

0, 0

7 5 5

2 10

j 0, 1,4

2.1 Lập bài toán đối ngẫu và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu của các bài toán QHTT sau:

1 2 3

4 + 3 1

3 4 1

, , 0

a Z x x x

x x x

x x

x x x

x x x

≥

) min

4 + 2 1

5 2 +3x 1

0, 0

b Z x x x

x x x

x x

x x x

x x

2.2 Cho bài toán QHTT sau:

1 2 3 4

3 2 51 , , , 0

Z x x x x

x x x x

x x

x x

x x x x

≥

a) Hãy giải bài toán trên

b) Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó

2.3. Giải các bài toán QHTT sau:

2 + 2 6

a Z x x x

x x x

x x x

x x x

1 2 3

3 6

, , 0

b Z x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

≥

1 2 3

) 70 40 16 min

6 2 3 12

3 2 6

9 4 5 15

10 8 10

j 0, 1,3

2 2 4 5

2 3 6

3 4 2 9

= − + − →

2.4 Cho bài toán QHTT sau:

1

2 14

4 14 36

2 3 12

3 5 2 23

Z x x x x

x x x

x x x

x x x x

2 3 4

, , , x x x ≥ 0

Chứng tỏ rằng x0 = (9, 7 / 2, 0, 5)là một phương án tối ưu của bài toán

2.5 Cho bài toán QHTT sau:

7 3 2

3 2 5

j 0, 1,4

a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b) Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và tìm phương án tối ưu (nếu có) của bài toán đối ngẫu này

2.6 Cho bài toán QHTT sau:

2 7

, , 0

x x x

≥ a) Chứng tỏ vector x0=(3,0, 2,0)− là một phương án của bài toán đã cho Dựa vào 0

x tìm tập

phương án tối ưu (nếu có) của bài toán đối ngẫu của bài toán này

b) Tìm tập phương án tối ưu cho bài toán đã cho

2.7 Cho bài toán QHTT sau:

2 4

a) Giải bài toán trên với m= 1

b) Tìm giá trị của m để x0=(5 / 2,0,1)là phương án tối ưu của bài toán

Bài tập chương 3

3.1 Giải các bài toán vận tải sau:

a)

30 40 30 50

60 1 2 4 3

70 2 3 2 7

20 3 5 6 4 b)

40 100 60 50

80 1 2 4 3

70 2 4 5 1

100 4 1 2 5

c)

100 50 30 70

80 4 6 4 6

70 5 6 8 9

50 4 5 5 4

50 6 6 9 9 3.2 Giải các bài toán vận tải ( không cân bằng thu - phát) sau:

a)

140 150 180

150 5 4 6

100 8 5 9

145 11 6 12

100 9 7 13 b)

100 50 30 70

80 3 5 6 5

70 4 5 7 8

50 3 4 4 3