Cho các số thực dươnga1,.. Cho tam giácABC nội tiếp đường trònOcó B , C cố định, BC không là đường kính,Athay đổi sao cho tam giácABC nhọn.. a Chứng minh rằngBK vuông góc vớiAC.. GọiM là
Trang 1Câu lạc bộ Toán học Viện Toán học Hà Nội
Bài kiểm tra số 1
Trường đông 2013
Thời gian: 180 phút
1 (5đ.) Cho dãy số(a n)n≥1 xác định bởi:a1=3
2 và
a n+1= a n− 3n+ 2
2n (n + 1)(2n + 1), ∀n ≥ 1.
Tìm giới hạnlimn→∞a n
2 (5đ.) Cho các số thực dươnga1, , a14 Chứng minh rằng,
a1
a2+ a3
+ a2
a3+ a4
+ · · · + a14
a1+ a2
≥ a1
a14+ a1
+ a2
a1+ a2
+ · · · + a14
a13+ a14
Hỏi dấu”= ”xảy ra khi nào?
3 (5đ.) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O)có B , C cố định, BC không là đường kính,Athay
đổi sao cho tam giácABC nhọn Đường tròn tâmB và đi quaAcắtAC và(O)lần lượt tạiDvà
E(D , E 6= A) Đường thẳng E Dcắt(O)taiK
(a) Chứng minh rằngBK vuông góc vớiAC
(b) BK cắtAE tại F GọiM là giao điểm của khác DcủaAC với đường tròn ngoại tiếp tam giácDE F Chứng minh rằngM thuộc một đường thẳng cố định
4 (5đ.) Một trường học có 800 học sinh Trong trường cóncâu lạc bộ cho các học sinh thỏa mãn điều
kiện:
i) Không có em học sinh nào tham gia nhiều hơn 7 câu lạc bộ;
ii) Với 7 câu lạc bộ bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một học sinh tham gia cả 7 câu lạc bộ này.
Hỏi giá trị lớn nhất củanlà bao nhiêu ?