Chuyên đề về khoảng cách và tiếp tuyến trong giải toán hình học

Tương tự RS cũng qua T... BCsong song với tiếp tuyến chung ngoài... Bài toán được chứng minh... Tài liệu tham khảo: Mathematical Reflections và các tài liệu khác... Cho

Trang 1

Kinh nghiệm giảng dạy

Chuyên đề 1 :

HỆ THỨC KHOẢNG CÁCH VÀ CÁC ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Nhiều năm gần đây, thực tế cho thấy bài toán hình học phẳng chiếm ưu thế trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, mà vấn đề tiếp tuyến của đường tròn là mợt trong những nợi dung được khai thác khá phong phú và đa dạng Trong quá trình giảng dạy bời dưỡng học sinh giỏi, chúng tơi đã tập hợp và hệ thớng dưới dạng các chuyên đề Bài viết này mạn phép giới thiệu cùng các anh chị đờng nghiệp và các em học sinh chuyên đề:

“Hệ thức khoảng cách và các ứng dụng trong hình học phẳng”.

II.NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

A.Bở đề:

Cho đường tròn ( ) và hai điểm A B, nằm trên đó Mợt đường tròn ( ) tiếp xúc trong với ( ) tại T. Nếu AE và BF là các tiếp tuyến của ( ) lần lượt tại E và Fthì

TA AE

 Chứng minh:

Gọi A và 1 B lần lượt là các giao điểm của 1 TA và TB với( ) Ta cóA B1 1/ /AB

Do đó:

AA AT BB

Vì vậy: AE BF AE TA1 TA

Trang 2

B Các bài toán ứng dụng:

Bài toán 1:

Cho ( ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và D là tiếp điểm của

đường tròn ( ) tâm Inội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Gọi ( ) là đường tròn

tiếp xúc trong với ( ) tại T và tiếp xúc BC tạiD Chứng minh rằng: ATI90 0

Lời giải:

GọiE vàF lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn ( ) với các cạnh CA và CB.

Theo bổ đề trên ta có:

TB BD BF

Do đó TBF đồng dạngTCE, TFA TEA 

Từ đó 5 điểm A I E F T, , , , nằm trên một đường tròn.

Vì vậy: ATI AFI 90 0

Bài toán 2:

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn( ) Giả sử ( ) là đường tròn

tiếp xúc trong với ( ) tạiT, tiếp xúc với BD và AClần lượt tại E vàF Gọi P là giao điểm của EF và AB.Chứng minh rằng: TP là tia phân giác của góc ATB

Lời giải:

Trang 3

Áp dụng bổ đề với các đường tròn ( ) ,( ) và hai điểm A B, ta được: AT AF.

Ta cần chứng minh: AF AP

Thật vậy, chú ý PEB AFP và áp dụng định lý sin vào các tam giác APF BPE, ,

ta có:



Do đó: AF AP

Bài toán 3:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) Đường tròn ( ) là đường tròn tiếp xúc trong với ( ) tại T, tiếp xúc với các cạnh AB và AClần lượt tại P và Q

Gọi S là giao điểm của AT và PQ. Chứng minh rằng: SBA SCA

Lời giải:

Áp dụng bổ đề , ta có:



Suy ra BPS đồng dạng CQS

Do đó: SBA SCA

Trang 4

Bài toán 4:

Xét đường tròn ( )O và dây cung AB Giả sử các đường tròn ( ),( )O O tiếp xúc 1 2

trong với ( )O và tiếp xúc dây AB Gọi M và N là các giao điểm của ( )O và 1 ( ).O2

Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trung điểm của cung AB không thuộc miền chứa M và N.

Lời giải:

Kí hiệu P và Q lần lượt là các tiếp điểm của ( )O với 1 ( )O và AB; Kí hiệu R và

S lần lượt là các tiếp điểm của ( )O với 2 ( )O và AB Gọi T là trung điểm của cung

AB không thuộc miền chứa M và N.

Áp dụng bổ đề trên vào các đường tròn ( ),( )O O và các điểm 1 A B, với hai tiếp

tuyến AQ BQ, đối với ( )O , ta được:1

PA QA

PQ

 là tia phân giác của APB PQ qua T Tương tự RS cũng qua T

Mặt khác, PQA QTA QAT PRA ART PRS    

Do đó 4 điểm P Q R S, , , cùng thuộc một đường tròn, ta kí hiệu ( ).O3

Ta có PQ là trục đẳng phương của ( )O và 1 ( );O3

RS là trục đẳng phương của ( )O và 2 ( );O3

MN là trục đẳng phương của ( )O và 1 ( ).O2

Như vậy MN, PQ và RS đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn

( ),( ),( ).O O O

Từ đó kết luận MN qua T,với T là trung điểm của cung AB không thuộc miền

chứa M và N

Trang 5

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC Đường tròn ( ) qua 2 đỉnh B và C Đường tròn ( )1 tiếp xúc trong với ( ) và tiếp xúc với hai cạnh AB và AClần lượt tại T P, và Q. Gọi M

là trung điểm của cung BC( chứa điểm T) của ( ) Chứng minh rằng: PQ BC, và

MTđồng quy.

Lời giải:

Gọi K PQ BC  và gọi K MT BC

Áp dụng định lý Menelaus cho ABCvới cát tuyến PQK ta được:

Mặt khác, M là trung điểm của cung BC( chứa điểm T) của ( ) nên MTlà phân

giác ngoài của BTC , do đó: K C TC K B TB 

 Vì vậy, ta cần chứng tỏ BP TB,

CQ TC điều này đúng theo bổ đề , suy ra K K ,có

đpcm

Bài toán 6:

Các đường tròn ( )O và 1 ( )O tiếp xúc trong với đường tròn 2 ( )O lần lượt tại M

và N Các tiếp tuyến chung trong của ( )O và 1 ( )O cắt đường tròn 2 ( )O tại bốn

điểm Gọi B và C là hai trong chúng, sao cho B và Cnằm cùng phía đối với

đường thẳng O O Chứng minh rằng 1 2 BCsong song với tiếp tuyến chung ngoài

Trang 6

Vẽ các tiếp tuyến chung trong GH KL, của ( )O và 1 ( )O sao cho 2 Gvà Lnằm trên

1

( )O , còn Kvà Hnằm trên ( ).O Gọi 2 EFlà tiếp tuyến chung ngoài của ( )O và1

2

( )O sao cho E và B nằm cùng phía đối với đường thẳng O O1 2

Kí hiệu P và Q là các giao điểm của EF với đường tròn ( )O , ta sẽ chứng minh

/ /

BC PQ Kí hiệu A là trung điểm của cung PQ không thuộc miền chứa M và N

.Gọi AX và AY là hai tiếp tuyến tại X và Ycủa các đường tròn ( )O và 1 ( )O 2

Theo kết quả của bài toán 4 ta chứng minh được A E, và M thẳng hàng; A F,

và N cũng thẳng hàng và tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn Do đó:

AX AE AM AF AN AY  vì thế AX AY (1)

Theo bổ đề, ta có: MA MB MC

MA BC MB AC MC AB MB AC MC AB



Mặt khác, áp dụng định lý Ptolémé cho tứ giác ABMC:

MA BC MB AC MC AB 

Do đó: AX BC BG AC CL AB  

Tương tự: AY BC BH AC CK AB  

Kết hợp (1)  AC BH BG.(  )AB CL CK.(  )

Hay: AC GH AB KL   AC AB

Do đó A là trung điểm cung BCcủa đường tròn ( )O

Vì vậy BC PQ/ / Bài toán được chứng minh.

Trang 7

C Các đề toán tham khảo:

Bài 1:

Cho đường tròn ( )I tiếp xúc trong với đường tròn ( )O tại A.Điểm B di đợng trên ( )O Tiếp tuyến BE BF, của ( )I cắt ( )O tại M N ( ,, E F thuợc ( )).I Phân giác

góc MAN cắt EFở K. Chứng minh rằng: BK luơn đi qua mợt điểm cớ định khi B

di đợng trên ( )O .

Bài 2:

Cho đường tròn ( )O tiếp xúc trong với đường tròn ( )O tại M. Hai điểm N P,

cắt ( )O lần lượt tại A C, và B D, Chứng minh rằng: tâm đường tròn nợi tiếp các

tam giác ADC BDC, thuợc NP

Bài 3:

Cho tam giác ABC nợi tiếp đường tròn ( )O , ngoại tiếp đường tròn ( )I .Gọi

1

( )O ,( )O là hai đường tròn tiếp xúc trong với 2 ( )O và với đường thẳng BC AI,

Chứng minh O I O thẳng hàng.1, , 2

Bài 4:

Cho tam giác ABC và đường tròn ( )O nằm trong tam giác 1 ABC, tiếp xúc với

,

AB AC Đường tròn ( )O qua 2 B C, và tiếp xúc ngoài với ( )O tại 1 T.Chứng minh

phân giác trong của góc BTC luơn qua mợt điểm cớ định.

D Chú ý:

Dùng hệ thức khoảng cách có thể chứng minh hai định lý nởi tiếng sau:

1/ Định lý Thébault:

Cho tam giác ABC nợi tiếp đường tròn ( )O , D là điểm di đợng trên BC Gọi ( )P ,

( )Q là hai đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng AD BC, và tiếp xúc trong với ( )O thì PQ luơn đi qua điểm cớ định.

2/ Định lý:

Trong tam giác bất kỳ, đường tròn nợi tiếp tiếp xúc trong với đường tròn Euler

III.KẾT LUẬN:

Qua việc khai thác và vận dụng chuyên đề này trong quá trình dạy bời

dưỡng HSG, bản thân nhận thấy mợt sớ bài tập được giải theo cách áp dụng hệ thức khoảng cách nói trên rất tự nhiên và đơn giản, đặc biệt giúp học sinh thật sự có sự hứng thú trước mợt vấn đề khơng hẳn là mới.Từ đó góp phần khơi dậy lòng say mê nghiên cứu hình học của các em nhằm đạt kết quả ngày càng tớt hơn

Tài liệu tham khảo: Mathematical Reflections và các tài liệu khác.

Trang 8

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Đường tròn (O1) tiếp xúc các cạn AB, AC tại P, Q và tiếp xúc với (O) tại S Gọi giao điểm của AS với PQ là D Chứng minh rằng  BDP   CDQ

Lời giải:

Bổ đề: Cho đường tròn (), đường tròn () nằm trong () và tiếp xúc trong với () tại T A, B là 2 điểm bất kì trên () Gọi AC, BD là 2 tiếp tuyến kẻ từ A, B đến đường tròn () Khi đó

TB

TA BD

AC



Chứng minh:

Gọi A’, B’ là giao điểm thứ 2 của TA, TB với () Phép vị tự tâm T biến ()  (), biến A  A’, B  B’ Suy ra AB//A’B’ Ta có

BT

AT T B

T A BD

AC T

B

BD T

A

AC T

B

BD T

B

BT T B

BB T A T

A

AT AA

T

A

AC



































'

' '

'

' '

'

'.

'

2 2

(đpcm) Trở lại với bài toán:

Áp dụng bổ đề, ta có CQ BP CS BS CBS BCS CAS BAS QD PD









sin

sin sin

sin

Mặt khác, APQ cân tại A, suy ra APQ=AQP  BPD=CQD

QDC PDB

CQD

BPD     



Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	814 KB