Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN TRƢỜ NG ĐẠ I HỌ C SƢ PHẠ M NGUYỄ N THỊ THU PHƢƠNG PHP BIN HNH BO GIC V MT S BI TON CƠ HC LUẬ N VĂN THẠ C SĨ KHOA HC TOÁ N HỌ C THI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠ I HỌ C THÁ I NGUYÊN TRƢỜ NG ĐẠ I HỌ C SƢ PHẠ M NGUYỄ N THỊ THU PHƢƠNG PHP BIN HNH BO GIC V MT S BI TON CƠ HC Chuyên ngà nh: TOÁN GIẢI TÍCH M s: 60.46.01.02 LUẬ N VĂN THẠ C SĨ KHOA HC TOÁ N HỌ C Ngườ i hướ ng dẫ n khoa họ c: GS. TSKH Hà Huy Khoá i THI NGUYÊN - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu iii 1. PHP BIN HNH BO GIC V MT S HM SƠ CẤP CƠ BN. . .1 1.1. Khái niệm về phép biến hình bảo giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.1. Đị nh nghĩ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích. . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3. Bổ đề Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4. Nguyên lí đi xứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.2. Phép biến hình bảo giác qua một s hàm sơ cấp. . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.1. Phép biến hình tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2.2. Phép biến hình nghịch đảo 1 w= z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2.3. Phép biến hình Giucovski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2. BI TON THẤM PHẲNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Phương trình chuyển động nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.1.1. Khái niệm về nước thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Vận tc thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3. Định luật Darcy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.4. Phương trình thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Bài toán thấm phẳng đồng chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Thế vị phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Đường dòng và đường thế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3. Điều kiện biên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3.1. Biên không thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.2.3.2. Biên thấm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.3.3. Biên rỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.2.3.4. Đường bo hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. PHƢƠNG PHP BIN HNH BO GIC V BI TON THẤM CÓ P DƢỚI CC CÔNG TRNH THỦY LỢi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1. Biến hình đa giác thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1.1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 3.1.2. Công thức Schwart – Christoffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3. Biến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . .23 3.1.4. Các hàm Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Thấm dưới công trình thủy lợi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1. Hình chữ nhật cơ sở của bài toán thấm có áp. . . . . . . . . . . 28 3.2.2. Hộ đế phẳ ng trên lớ p thấ m sâu vô hạ n. . . . . . . . . . . . . . . . .30 3.2.3. Hộ đế phẳ ng trên lớ p thấ m hữ u hạ n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 3.2.4. Hộ đế phẳ ng trên lớ p thấ m hữ u hạ n có vá ch cừ . . . . . . . . . .37 4. PHƢƠNG PHÁ P BIẾ N HÌ NH BẢ O GIÁ C TRONG BÀ I TOÁ N THẤ M KHÔNG Á P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Hàm Giucovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Vách c Giucovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 4.3. Thấ m qua má ng lướ i có lọ c đố i xứ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 52 TI LIỆU THAM KHO 53 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỞ ĐẦ U 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm ánh xạ bảo giác là một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học và là một trong những phần lý thú của lý thuyết hàm biến phức. Bài toán cơ bản và khó nhất của lý thuyết ánh xạ bảo giác là tìm hàm chỉnh hình thực hiện ánh xạ bảo giác miền cho trước lên miền cho trước. Bài toán này có ý nghĩa thực hành rất lớn, tuy nhiên cho đến ngày nay người ta chưa có những phương pháp đủ hiệu lực để giải nó, nhưng trong nhiều trường hợp đơn giản nhất (nhưng cũng đầy thú vị) bài toán có thể giải nhờ các hàm s sơ cấp biến phức. Đặc biệt năm 2005, GS. Darren Crowdy đ có một công trình đột phá về việc ánh xạ bảo giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng phức (công thức Schwart-Christoffel cho trường hợp đa liên), một công cụ vô cùng quan trọng cho tất cả các nhà toán học, kỹ sư cũng như các nhà khoa học khi mun chiếu các thông tin về hình khi phức tạp thành các hình dạng đơn giản như hình tròn để dễ dàng hơn trong việc phân tích. Kết quả trên còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn trong mô hình hóa và trực quan hóa các cấu trúc phức tạp của hệ thần kinh. Trong luận văn này, chúng ta mới sử dụng công thức Schwart-Christoffel cho miền đơn liên. Và nếu như trước đây một s các kỹ thuật giải tích được giới sinh viên toán ứng dụng dùng đến nhiều hơn so với phương pháp chiếu bảo giác, ví dụ như các phương pháp cổ điển để giải các bài toán cơ học continuum, tĩnh điện, hay các lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace và Poission hai chiều, nhưng với những gì mà tính chất phép biến hình bảo giác và nhờ các hàm s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv sơ cấp biến phức thì chúng ta đ giải quyết được nhiều bài toán ứng dụng trong trường tĩnh điện và cơ học chất lỏng, Xuất phát t thực tế đó, sau khi tiến hành nghiên cứu về một vài ứng dụng của phép biến hình bảo giác, tôi đ chọn đề tài với một vài bài toán ứng dụng phép biến hình bảo giác đ được mở rộng, mô phỏng lên phần nào các chuyển động của dòng nước trong cơ học chất lỏng. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu Sưu tầm và đọc tài liệu t các tạp chí, giáo trình trong nước và quc tế có liên quan đến phép biến hình bảo giác và các ứng dụng của phép biến hình bảo giác trong chuyển động cơ học. T đó, tìm hiểu mở rộng để nghiên cứu vấn đề của đề tài này 3. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn này là trình bày một s ứng dụng của phép biến hình bảo giác trong một s lớp bài toán quan trọng của cơ học, cụ thể là bài toán chuyển động của nước ngầm dưới các công trình thủy lợi. T đó có thể giúp các nhà nghiên cứu, làm thế nào để xây dựng được một công trình thủy lợi đạt chất lượng tt nhất. 4. Nội dung của luận văn Luận văn gồm bn chương Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình bảo giác và một s phép biến hình bảo giác quan trọng trong giải tích phức. Chương 2: Giới thiệu về phương trình chuyển động nước thấm và các vấn đề liên quan như vận tc thấm, quy luật thấm. T đó đưa ra bài toán thấm phẳng đồng chất. Chương 3: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải quyết bài toán thấm có áp dưới các công trình thủy lợi bằng cách tìm hàm biến hình bảo giác miền thế vị phức lên miền thấm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v Chương 4: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải quyết bài toán thấm không áp dưới các công trình thủy lợi. Trong bài toán này do miền thấm chưa xác định nên phải sử dụng hàm Giucpxki sao cho miền giá trị của nó là xác định. Sau đó ta tìm hàm biến hình bảo giác miền thế vị phức lên miền xác định đó. T đó ta tìm được quan hệ giữa miền thấm và hàm thế vị phức. Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH Hà Huy Khoái, người thầy đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Đồng thời tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên Quang, các bạn trong lớp cao học K18B, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện về mọi mặt để giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Chƣơng 1 PHP BIN HNH BO GIC V MT S HM SƠ CẤ P CƠ BẢ N 1.1 KHI NIỆM V PHP BIN HNH BO GIC 1.1.1. Đị nh nghĩ a: Mộ t phé p biế n hì nh đượ c gọ i là bả o giá c nế u nó có cá c tí nh chấ t sau: - Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì đi qua z (kể cả độ lớ n và hướ ng) - Có hệ s co dn không đổi tại điểm đó, nghĩa là mọi đường cong đi qua z đều có hệ s co dn như nhau qua phép biến hình. Nếu phép biến hình là bảo giác tại mọi điểm của miền G thì nó được gọi là bảo giác trong miền G. 1.1.2. Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích trong miền G. Do ý nghĩa hình học của f '(z) ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện bởi hàm w = f(z) là bảo giác tại mọi điểm mà f '(z) 0 . Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ của điểm z, thì phép biến hình bảo giác là một phép đồng dạng do tính chất bảo toàn góc. Các góc tương ứng trong hai hình là bằng nhau. Mặt khác nếu xem hệ s co dn là không đổi thì tỉ s giữa hai cạnh tương ứng là không đổi. Ngược lại người ta chứng minh được rằng phép biến hình w = f(z) đơn diệp là bảo giác trong miền G thì hàm w = f(z) giải tích trong G và có đạo hàm f '(z) 0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 1.1.3. Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích trong hình tròn | z | < R và f(0) = 0. Nếu | z |  M với mọi z mà | z | < R thì ta có: M f(z) z , z R R  trong đó đẳ ng thức xảy ra tại z 1 với 0 < | z | < R chỉ khi i Me f(z) z, R    thực. 1.1.4. Nguyên lí đối xứng: Trước hết ta tha nhận một tính chất đặc biệt của hàm biến phức mà hàm biến s thực không có, đó là tính duy nhất, được phát biểu như sau: Giả sử hai hàm f(z) và g(z) cùng giải tích trong miền D và thoả mãn f(z) = g(z) trên một cung L nào đó nằm trong D, khi đó f(z) = g(z) trên toàn miền D. Giả sử D 1 và D 2 nằm kề nhau và có biên chung là L Hình 1.1 Giả sử f 1 (z) giải tích trong D 1 và f 2 (z) giải tích trong D 2 . Nếu f 1 (z) = f 2 (z) trên L thì ta gọi f 2 (z) là thác triển giải tích của f 1 (z) qua L sang miền D 2 . Theo tính duy nhất của hàm giải tích nếu f 3 (z) cũng là thác triển giải tích của f 1 (z) qua L sang miền D 2 thì ta phải có f 3 (z) = f 2 (z) trong D 2 . Cách nhanh nhất để tìm thác triển giải tích của một hàm cho trước là áp dụng nguyên lí đi xứng sau đây: Giả sử biên của miền D 1 chứa một đoạn thẳng L và f 1 (z) biến bảo giác D 1 lên B 1 trong đó L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên của B 1 . Khi đó x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 tồn tại thác triển giải tích f 2 (z) của f 1 (z) qua L sang miền D 2 nằm đối xứng với D 1 đối với L. Hàm f 2 (z) biến bảo giác D 2 lên B 2 nằm đối xứng với B 1 đối với T và hàm: 11 12 22 f (z) trong D f(z)= f (z)= f (z)trên L f (z) trong D      biến bảo giác D thành B. Nguyên lí đi xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đi xứng cho trước. 1.2. PHP BIN HNH BO GIC QUA MT S HM SƠ CẤP 1.2.1. Phép biến hình tuyến tính Xét hàm tuyến tính w = az + b trong đó a, b là cá c hằng s phức, a0 . Nếu i a a e   thì w = i ae  z + b. Phép biến hình tuyến tính là bảo giác trong toàn mặt phẳng phức vì   f ' z a 0 vớ i mọ i z . Hàm tuyến tính có thể coi là hợp của 3 hàm sau: kz (k a 0)    i e . ( Arga)      w =  + b Nếu biểu diễn các điểm , , w trong cùng một mặt phẳng thì dựa vào ý nghĩa hình học của phép nhân và phép cộng các s phức ta suy ra rằng: - Điểm  nhận được t điểm z bằng phép co dn với hệ s k - Điểm  nhận được t điểm  bằng phép quay tâm O, góc quay . - Điểm w nhận được t điểm  bằng phép tịnh tiến xác định bởi vectơ biểu diễn s phức b. Hình 1.2 [...]... phải thực hiện liên tiếp một phép co dãn, một phép quay và một phép tịnh tiến Tích của 3 phép biến hình trên là một phép đồng dạng Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép đồng dạng Nó biến một hình bất kì thành một hình đồng dạng với hình ấy Đặc biệt, ảnh của một đường tròn là một đường tròn, ảnh của một đường thẳng là một đường thẳng Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vuông cân A(3 + 2i),... + 4i) thành tam giác vuông cân có đỉnh tại O1, B1(– 2i) và C1 (1 – 2i) y y C 2 A O 3 O1 B x C1 B1 7 x Hình 1.3 Vì các tam giác ABC và tam giác O 1B1C1 đông dang nên phep biên hì nh ̀ ̣ ́ ́ này được thực hiện bằng một hàm bậc nhất w = az + b Phép biến hình này có thể phân tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây: - Phép tịnh tiến từ A về gốc, xác định bằng vec tơ (–3 – 2i) Phép tịnh tiến này... - Phép đối xứng qua đường tròn đơn vị - Phép đối xứng qua trục thực Tính chất : Phép biến hình w  1 biên: ́ z - Một đường tròn đi qua gốc toạ độ thành một đường thẳng - Một đường tròn không đi qua gốc toạ độ thành một đường tròn - Một đường thẳng đi qua gốc toạ độ thành một đương thẳng ̀ - Một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thành một đường tròn đi qua gốc toạ độ Nếu coi đường thẳng là một. .. không thấm trên đó ψ = const và biên thấm nước φ = const, cho nên miền thế vị phức ω là một đa giác có các cạnh dọc hay là ngang b) Miền thấm thường cũng được giới hạn bởi những đoạn thẳng, tức cũng là một đa giác, hoặc là xấp xỉ một đa giác Như vậy, việc tìm các hàm z(  ) và ω(  ) được quy về việc tìm phép biến hình đa giác lên nửa mặt phẳng Đó là cơ sở của phương pháp mà vào khoảng năm 1920 N.N.Paolôpxki... của bài toán thấm (hình 3.5b) Giả sử ta đã biến bảo giác miền thấm z lên nửa mặt phẳng dưới  , với sự tương ứng như trong hình 3.5c Tham số k được xác định bởi kích thước của miền thấm Với số k ấy làm môđun, ta sẽ lập hàm số '  F  arcsin,k  Hàm này sẽ biến nửa mặt phẳng dưới  lên hình chữ nhật  ' có cạnh bằng 2K và K' như trong hình 3.5d Quan hệ giữa  và ' là bảo giác nên hai hình chữ... DƢỚI CÔNG TRÌNH THỦY LỢI 3.2.1 Hình chữ nhật cơ sở của bài toán thấm có áp Chúng ta hãy xét bài toán thấm dưới công trình thủy lợi như hình vẽ dưới đây (hình 3.5a) Hình 3.5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Ở đây để khỏi lẫn với môđun k, ta gọi hệ số là  Ta gọi H  H1  H2 là hiệu số các mực nước H1, H2 ở thượng lưu và hạ lưu, Q là tổng lưu lượng... i  - Phép quay quanh gốc một góc  , ứng với hàm   e 2 2 - Phép co dãn tâm O , hê sô k  ̣ ́ O1B1 2 1   , đươc thưc hiên băng ham ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ AB 4 2 1 w  2  i 1 i i 3 Vây w  (z  3  2i)e 2   (z  3  2i)   z  i  1 ̣ 2 2 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1 1.2.2 Phép biến hình nghịch đảo w = : z Phép biến hình này đơn diệp, biến mặt... 2K , và theo (3.11) 2  K ' Vậy nó biến lên nửa mặt phẳng trên  hình chữ nhật có cạnh 2K và K' , và ta có: 1 sn(K)  sn(K,k)  1, sn(K  iK ')  , sin(iK ')   k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.16) http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Theo nguyên ly đối xứng hàm snz có thể thác triển và có thể tiếp tục ra ́ toàn mặt phăng z để trở thành một hàm phân hình trên toàn mặt phẳng ̉ (hình. .. các điểm tương ứng z và ω(z) có cùng một ảnh  (muốn thế chỉ cần 3 điểm ζ tương ứng trùng nhau trên biên Im  = 0) Ta sẽ có hai hàm z = z(  ) và ω = ω(  ) để giải quyết bài toán thấm Chẳng hạn vận tốc sẽ cho bởi: W  u  iv  d d dz  : dz d d (3.1) Bài toán thấm có áp dưới các công trình thủy lợi có hai đặc điểm (hình 3.1) Hình 3.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... nên z2 phép biến hình bảo giác tại z  0 và z   Hình 1.4 Ta se nêu ra cach tì m anh cua môt điêm z bât kì Chú ý là hai điểm z và ̃ ́ ̉ ̉ ̣ ̉ ́ 1  w đôi xứng nhau qua đường tròn đơn vị vì ́ z khác z 1 Arg   Argz  Argz Mặt z 1  1 Vậy muốn được w, ta dựng w đối xứng với z qua đường tròn z đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục thực Nói khác đi, phép biến hình w  1 là z tích của hai phép đối . liên tiếp một phép co dn, một phép quay và một phép tịnh tiến. Tích của 3 phép biến hình trên là một phép đồng dạng. Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép đồng dạng. Nó biến một hình bất. dụng của phép biến hình bảo giác, tôi đ chọn đề tài với một vài bài toán ứng dụng phép biến hình bảo giác đ được mở rộng, mô phỏng lên phần nào các chuyển động của dòng nước trong cơ học chất. Sưu tầm và đọc tài liệu t các tạp chí, giáo trình trong nước và quc tế có liên quan đến phép biến hình bảo giác và các ứng dụng của phép biến hình bảo giác trong chuyển động cơ học. T đó,