TÀI LIỆU ÔN TẬP TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG MÔN TOÁN

 Tại : , phương trình tiếp tuyến là:a Số giaođiểmcủa và d Số nghiệm củaphương trình* Bài 3 : a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuy

Phần I KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN

 Vẽ bảng biến thiên của hàm số

 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) củahàm số

 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba)

Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm

 Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với có hệ số

góc k = a

 Tiếp tuyến vuông góc với có

hệ số

góc d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị ( C ): y =

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm

pt…

b) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với

 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng

qua điểm như hình vẽ bên đây:

đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm duy nhất

Bài 2 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của tại các giao điểm của

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và

 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng

qua điểm như hình vẽ bên đây:

Câu b: Cho

Giao điểm của với trục hoành là: và

 Tại : , phương trình tiếp tuyến là:

 Tại : , phương trình tiếp tuyến là:

a

Số giaođiểmcủa và

d

Số nghiệm củaphương trình(*)

Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng

c) Tìm toạ độ các giao điểm của với đường thẳng

Bài giải

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm

Câu b: Tiếp tuyến của song song với đường thẳng

có hệ số góc

 Với thì , tiếp tuyến tương ứng là

(trùng với )

 Với thì , tiếp tuyến tương ứng là

(song song với )

 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là

-Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của và là

 Vậy, và cắt nhau tại 2 điểm:

và

Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểmtrên

có hoành độ x là nghiệm của phương trình

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau

 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+)

 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi

và cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3hoặc 4 điểm)

Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm pt sau:

Hướng dẫn giải và đáp số

Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:



 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho

m m – 3

Số giaođiểmcủa

và d

Số nghiệmcủaphươngtrình (*)

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại điểm thuộc có hoành độ bằng2

c) Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm

phân biệt:

Bài 7 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với song song với đường thẳng d:

c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có

nghiệm duy nhất:

Bài 8 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại giao điểm của với trục hoành

c) Viết pttt với biết tiếp tuyến song song với

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại điểm trên có hoành độ x thoả

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và

d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

duy nhất

Bài 10 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt của tại điểm trên có tung độ bằng 0

c) Viết pttt của song song với đường thẳng

d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có

nghiệm duy nhất:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm toạ độ giao điểm của với đường thẳng d:

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt của vuông góc với đường thẳng d:

tại ba điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm A(0; –2)

c) Viết pttt của biết tiếp tuyến song song với

d) Biện luận theo m số giao điểm của và

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

nghiệm

c) Viết pttt với tại giao điểm của với trục hoành.

d) Viết pttt với biết tiếp tuyến vuông góc với

Bài 15 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , Ox ,

Bài 16 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại điểm trên có hoành độ bằng

c) Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có

4 nghiệm

Bài 17 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt của tại điểm trên có tung độ bằng 5

c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng

2 nghiệm:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8

c) Tìm để phương trình sau có 4 nghiệm:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

c) Viết pttt của biết tiếp tuyến vuông góc với

Bài 20 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

nghiệm

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểmtrên có hoành độ là nghiệm của phương trình

Bài 21 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

c) Viết pttt của vuông góc với

phân biệt

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm

c) Gọi là hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành.Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay quanh trục hoành

2 Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 Tập xác định:

 Tính và khẳng định dương hay âm,

 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi

Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm

 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của và

d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm trên

 Vậy, tiếp tuyến của tại là:

phương trình

, (*) ( không thoả (*))

 Biệt thức của phương trình (*):

 Do nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó

và d luôn có 2 điểm chung phân biệt.

Bài 24 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt của biết tiếp tuyến song song với

nhau qua điểm như hình vẽ

có hệ số

góc

 Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là và

Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của và d:

(*)

 và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

 Vậy với thì đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b)Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3

c) Viết pttt với tại điểm trên có tung độ bằng

biệt

Bài 26 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b)Lập phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyếnsong song với đường phân giác của góc phần tư thứnhất

c) Viết pttt với tại điểm trên có hoành độ bằng

phân biệt

Bài 27 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số

đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểmphân biệt

Bài 28 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với đồ thị tại giao điểm của với trụchoành

phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết pttt với tại điểm trên có hoành độ bằng1

c) Viết pttt với tại điểm trên có tung độ bằng

d) Viết pttt với biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng

e) Xác định toạ độ giao điểm của và

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại cácgiao điểm của với đường thẳng

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]

d) Viết pttt của biết tiếp tuyến song song với

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành

và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

qua điểm M song song với đường thẳng d : y = –2x

Bài 32 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại giao điểm của với

c) Viết pttt của vuông góc với đường thẳng

của

Bài 33 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , Ox và

c) Viết phương trình các đường thẳng song song với

đường thẳng đồng thời tiếp xúc với đồ thị

Bài 34 : Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết pttt với tại giao điểm của với trục tung

c) Viết pttt với tại các giao điểm của với

(không được tính của các đã bị loại)

 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4

để kết luận

về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn [a;b].

4 Điều kiện để hàm số có cực trị (tóm tắt)

 Nếu thì hàm số đạt cực đại tại

 Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại

Câu a: Hàm số liên tục trên đoạn [1;3]

Bài 36 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số

Bài giải

Câu a: (*)

 Tập xác định: D = 

 Hàm số (*) đồng biến trên

 Vậy, với thì hàm số (*) đồng biến trên

Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu có 2

 Hàm số (*) đạt cực đại tại khi và chỉ khi

 Vậy với thì hàm số (*) đạt cực đại tại

Bài giải

BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các

trên đoạn f)

Bài 41 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau

đây luôn đồng biến

a)

b)

Bài 42 : Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau

đây luôn nghịch biến

Bài 43 : Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực

đại và cực tiểu

a)

Phần II PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARIT

1 Phương trình mũ (đơn giản)

Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với và

ta có

a) Phương trình mũ cơ bản: với và , ta có

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với và , ta có

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

 Phương pháp giải chung:

 Biến đổi phương trình theo , chẳng hạn:

phương trình cho d) Phương pháp lôgarit hoá: với và , ta có

2 Phương trình lôgarit (đơn giản)

Phương pháp chung:  Đặt điều kiện xác định của

phương trình

 Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có)

 Đối chiếu x tìm được với điều kiện để

a) Phương trình lôgarit cơ bản: với và , ta có

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với và , ta có

 Nên dùng biến đổi dưới đây:

 Đưa vào trong: thành

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

 Biến đổi phương trình theo , chẳng hạn:

 Đặt và thay vào phương trình

 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm (nếu

có)

 Từ ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x.

d) Phương pháp mũ hoá: với và , ta có

3 Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)

 Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ,lôgarit

 Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phươngtrình lôgarit

cần chú ý so sánh cơ số a với 1 để sử dụng tính đồng biến,

nghịch biến

của hàm số mũ và hàm số lôgarit.

 Hàm số mũ đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi

 Hàm số lôgarit cũng đồng biến khi a > 1 và

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2

Bài 2 : Giải các phương trình sau đây:

 Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và

 So với điều kiện x > 4 ta chỉ nhận nghiệm x = 5

 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 5

 Với điều kiện x > 0,

 Vậy, tập nghiệm của phương trình (7) là:

Bài 5 : Giải các bất phương trình sau đây:

 Như vậy, hay

 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =

 Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận các giá trị:

 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:

Câu b:

 Khi đó,

 Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận các giá trị:

 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:

Câu c:

 Điều kiện:

Với điều kiện x > 3 ta có

 Kết hợp với điều kiện x > 3 ta nhận các giá trị

 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Bài 10 : Giải các phương trình

sau đây:

a)

b)

BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT

Bài 13 : Giải các bất phương trình sau đây

b) c)

Phần III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng

 Thay vào: và tính tích phân mới này

(biến t)

 Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

mẫu mũ ngoặc căn

đi kèm biểu thức theo

đi kèm biểu thức theo

đi kèm biểu thức theo

đi kèm biểu thức theo

đi kèm biểu thức theo

Đôi khi thay cách đặt bởi ta sẽ gặp thuận lợi

hơn

4 Phương pháp tích phân từng phần

 Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Với là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phânsau đây

Khi đó, diện tích của hình phẳng H là:

 Lưu ý 1: nếu là trục hoành thì và

 Lưu ý 2: Khi tính tích phân ta cần lưu ý như sau:

 Nếu không có nghiệm trên khoảng thì

 Nếu có nghiệm trên khoảng thì

(0,75) x x - - - - = x 0

–1

Bài 5 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình

(H) quanh trục Ox biết (H) giới hạn bởi: ,Ox,

31) 32) 33)

BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau đây

Bài 12 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các

hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục kèm theo

hoành)

hoành)

c) trục hoành, ( là trụchoành)

với mọi x thuộc

Bài 16 : Tìm giá trị của tham số m để

là một nguyên hàm của

nguyên hàm của hàm số trên

biết rằng

Bài 19 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện .

Bài 20 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện

Bài 21 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện

Bài 22 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện

Bài 23 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện

Bài 24 : Tìm nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn điều kiện

Cho phương trình bậc hai

 Tính và ghi kết quả dưới dạng

 Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức:

và Lưu ý:

 Chỉ được dùng công thức nghiệm nêu trên khi  < 0

 Trường hợp ta giải pt bậc hai trên tập số thực (nhưtrước).

 Khi giải phương trình trùng phương trên , ta đặt (không cần

điều kiện cho t)

Nếu dùng biệt thức thì công thức tìm hai nghiệm phứclà

và