một số dạng phương trình lượng giác 11

một số dạng phương trình lượng giác 11 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

Một số dạng phương trình lượng giác khác

Dạng1 P/trình có chứa các biểu thức dạng :

sinu±cosu , 3.sinu±cosu , 3.cosu±sinu

± =  ± = ư  

để biến đổi nhanh về các P/trình cơ bản nếu có thể:

Dấu hiệu: Trong p/trình có chứa các hệ số bằng 2 , và cos u sinu±

Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Giải các phương trình sau:

a)sinx+cosx= 2.sin 7x;

b) 2sin17x+ 3 cos 5x+sin 5x=0

c)cos 7xưsin 5x= 3 cos 5( xưsin 7x); d)( )2

6

6

+ +  ư =

3 sin cos sin

2

cos 2x =sin 2x

Dạng 2: P/trình đưa được về “ PTrình bậc 2 ” theo một hàm số hay một biểu thức lượng giác (Đặt ẩn số phụ để đưa về PT bậc 2 đại số)

Nhận dạng: P/trình có chứa các biểu thức:

a

+ và 2

2

1

a a

+ Trong đó ‘a’ là hàm số lượng giác (sinu, cosu, tgu, cotgu)

cot

tg u+ g u

f u

+ = (3) Trong đó f(u) là một biểu thức lượng giác biến u

cos 2u= ư1 2sin u)

* cos u và cos 2u (Ta có: 2

cos 2u=2 cos uư1)

PPG: Cần để ý:

2 2 2

2

a

2

1

2

a

+ = ∓

Nên chỉ cần đặt t=tgu±cotgu, ta suy ra: tg u2 +cotg u2 =t2∓2

* Với PT dạng (3) chỉ cần quy đồng (sau khi đặt điều kiện) ta sẻ được Pt bậc 2 theo

ẩn số t = f(u)

Lưu ý: + tìm khoảng xác định của t

+ sau khi tìm được t phải giải tiếp để tìm x !

PT chứa cos và sin , và có chứa

“hai góc gấp đôi nhau” !

Bài 2 : Giải các P/trình sau:

4 cos xư2 3 1 cos+ x+ 3=0

tg x+ ư tgx= ; d)cotg x2 ư4 ctg+ =3 0

e) cos 2x+9 cosx+ =5 0; f)sin 22 2 cos2 3 0

4

cos x= ư tgxư +

9

2

1

cos x+ g x=

tg x+ g x+ tgx+ gx= ;

2

cos cos

x x

2

sin sin

x x

2

cos cos

x x

2

3

sin x+ tg x+m tgx+ gx ư = (1)

a) Giải P/trình (1) khi m = 1

b) Tìm m để P/trình (1) có nghiệm

Dạng 3: Phương trình có chứa các biểu thức:

* sin 2u=2 sin cosu u và cos sin 2.cos

4

 ∓ 

4

 ∓  Bình phương t , sau đó tính sin 2u=2 sin cosu u theo t

Thay vào PT đầu ta được phương trình ẩn số t !

Bài 4 : Giải các Phương trình sau:

a) 2 sin( x+cosx)+6 sin cosx x=2;

b) cosxưsinx+3sin 2xư =1 0;

c) (1ư 2 1 sin) ( + xưcosx)=sin 2x;

d) 2 sin 2xư3 3 sin( x+cosx)+ =8 0;

4

+  ư =

sinxưcosx ư 2 1 sinư xưcosx + 2 =0

sin x+cos x= +1 2ư2 sin cosx x; p) sinx+2 sin 2x+ =1 cosx;

h) 5 sin( x+cosx)+sin 3xưcos 3x=2 2 2 sin 2( + x);

n) cotgxư2 sinx=1

i) 2 sin( x+cosx)=tgx+cotgx;

j ) sin cos cos 2

1 sin 2

x

x

− ;

sin x−cos x= +1 sin cosx x;

D¹ng 4 : Ph−¬ng tr×nh ®−a ®−îc vÒ tÝch c¸c thõa sè

DÊu hiÖu : Cã chøa c¸c sè h¹ng sau:

* 1 sin 2 ; cos 2 ; 1± u u ±tgu ; 1 cot± gu; sinu±cos u

cos u; 1 sin± u ; cosu±cotgu=cotgu sinu±1

sin u ; 1 cos± u ; sinu±tgu=tgu cosu±1

Bµi 5 : Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

2 sinx−cosx 1 cos+ x =sin x;

sinx 1 cos+ x = +1 cosx+cos x;

1 cot

tgx

x gx

1 sin

x

tg x

x

+

= + ;

e) (1−tgx)(1 sin 2+ x)= +1 tgx;

f) 1 sin+ x+cosx+sin cosx x=0;

sin x+cos x=cos 2x; h) sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x; i) sin 2x+cos 2x tgx+ =2; j ) sinx+cosx=cos 2x;

n) cos 2x tgx+ =1;

3 1

tgx+ gx=

− ;

2

x

Chó ý: Hai biÓu thøc : tgx±sinx+1 ; cotgx±cosx+1 cã thõa sè chung

Bµi 6 : Gi¶i P/tr×nh: a) 3 cot( gx−cosx) (−5 tgx−sinx)=2

b) 5(tgx+sinx) (−7 cotgx+cosx)=2

D¹ng 5: Dïng c«ng thøc h¹ bËc (PT chøa c¸c b×nh ph−¬ng, lòy thõa víi sè mò

ch½n,.),

Bµi 7 : Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh:

a) sin2 sin 22 sin 32 1

2

sin x+sin 2x+sin 3x=2; c) sin2 sin 22 sin 32 sin 42 5

2

sin x+cos x=cos 4x;

cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x=2; f) sin2 cos 22 sin 32 3

2

g) 8 8 17 2

16

cos xưcos 2x+2sin x=0;

4

cos x+sin x=cos 2x;

4 cos 2 6ư x +16 cos 1 3ư x =13

Bài 8 : Giải các P/trình:

sin 3x=4 cos 4x+3

cos 3 cos 2x xưcos x=0 (ĐH Khối A – 2005)

sin u; cos 4 ; sin 3u u ; cos u; cos 3u ta biến đổi PT về cos 2u dùng các công thức: hạ bậc với 2 2

sin u; cos u , Hạ bậc sau đó dùng tiếp công thức nhân ba với 2 2

sin 3 ; cos 3u u , dùng công thức nhân đôi với cos 4u

Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 4 4

1 cos sin

cos u; sin u ; sin u.cosu ; sin cosu u ; sinu ; cosu (1)

PPG:

* Với dạng (1 ) ta chia hai vế cho 3

cos u và chú ý đẳng thức 2

2

1 1 cos u = +tg u để đưa

P/trình (1) về P/trình theo ẩn số t tgu= , t∈R Lưu ý: Trước khi chia cho 3

cos u cần thử

2

u= +π kπ k∈Z ⇔ u= có phải là nghiệm của (1) không Nếu thoả mãn thì kết

2

u= +π kπ k∈Z là một nghiệm Sau đó giả sử

2

u≠ +π kπ , rồi chia 2 vế cho 3

cos u

và làm tiếp như trên

* Với dạng (2) ta làm tương tự bằng cách chia 2 vế của 2 cho 2

cos u(với đ/kiện 2

u≠ +π kπ).

Bài 10 :Giải phương trình:

4 sin x+3cos xư3sinxưsin x.cosx=0 (ĐH Luật 1996)

cos xư4sin xư3sin x.cosx+sinx=0 (ĐH Ngoại Thương 1996)

4 cos sinx x=cosxưsinx; e) 3

6sinxư2 cos x=5sin 2 cosx x;

sinxưcosx=4sin cosx x ; g) 3 3

cos x+sin x=sinxưcosx ;

cos

x

sin x+2 sin x.cosxư3cos x=0

Dạng 7: Các phương trình dạng đặc biệt !

+ = ⇔

=

2)

A

A B

B

α

α α

α

≥



=





≤ ⇔

=





3)

A

A B

B

α

α β

β

α β

≤



=





=



 + = +

 Đặc biệt lưu ý: sin cos 1 sin 1 sin 1

= ⇔ ∪

 

Bài 11 :Giải các phương trình sau:

cos 4xưcos 2x = +5 sin 3x; 2

cosx=x +1 (dạng 2) b) sin cos 2x x=1; sin 4 cos16x x=1 (dạng đặc biệt)

4 sin x+sin 3x+ =3 4 3 sinx; (dạng 1)

sinx+cosx+cos 4x= +1 2; (dạng 3) e) cos 6xưcos 4x+4.cos 3x+ =4 0; f) sinx+cosx= 2 2 sin 3( ư x);

4 cos x+3tg xư4 3 cosx+2 3tgx+ =4 0;

sin x+cos x= ư2 sin x

sin x+cos x= ư2 sin x;

2 sin x+3cos x=5; l) 13 14

sin x+cos x=1

Dạng 8: Pt có chứa các cung liên kết đặc biệt

PPG: Cần chú ý đến công thức cộng, công thức biến đổi, mối liên hệ giữa các cung (góc) ,

như: bù nhau, phụ nhau, hơn kém pi, Đặc biệt để ý góc nhân hai và nhân ba (nếu có) Đôi khi cần đặt ẩn phụ “về góc/cung” để làm gọn góc/cung trong phương trình

Bài 12 :Giải các phương trình sau:

+  + =

3

x x

x

=  ư 

k) tan tan 2

4

+  + = −

+  +   − = +

- - - Chúc các em ôn tập tốt ! - - -