PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC docx

PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Qx.. Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Qx luôn xác định trên tập số thực... Ta có thể mở rộ

PHƯƠNG PHÁP THAM BIẾN ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đưa thêm tham biến t để xét biểu thức f x Q x t Nếu f x   0 hoặc f x   0với mọi x thuộc tập xác định của Q(x) và tồn tại giá trị t 0 để f x   0 thì t 0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)

VD1:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Q =

2

2

1

x x

x



Giải:

Xét f(x) = Q(x) - t

2

1

x x t x

x





Vì x 2 1  0 với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x)

x  x t x  hay g(x) = 1 t x 2  8x  7 t (1)

Xét tam thức g(x) = 2

ax bx c

=  2

b

a x



  với  b2  4ac (*)

Nếu a = 0 thì g(x) = bx + c luôn cùng dấu khi b = 0 (g(x) = c) và khi

c = 0 (g(x) = 0)

Nếu a > 0 thì g x ( ) 0 với mọi x khi   0và g(x) = 0 khi và chỉ khi   0

Nếu a < 0 thì g x   0 với mọi x khi   0và g(x) = 0 khi và chỉ khi   0

Áp dụng vào (1) ta có:

16 1 t 7 t t 8t 9

        

0

  khi t = -1 hoặc t = 9

Với t = -1 thì a = 1 – t = 2 > 0 nên g(x)  0

( ) 0

f x

Suy ra f(x) = 0 g x( )  0  2x 22  0 x  2

Với t = 9 thì a = 1 – t = -8 < 0 nên g x( )   0 f x( )  0

Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0

( ) 0 2 2 1 0

2

Như vậy phương pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phương trình Q(x)  t hoặc Q(x)  t về việc xét một phương trình  t  0, nên có thể nói phương pháp tham biến là

chiếc cầu nối giữa bất phương trình và phương trình

Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu thức hai biến Q(x,y) bằng phương pháp tham biến, lúc đó f(x,y) = Q(x,y) – t

Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu

và tồn tại giá trị bằng 0

VD2:

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Q =

2

3y 4xy

x y



 Với ( x,y ) khác ( 0, 0 )

Giải:

Vì x2 + y2 luôn luôn dương trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f( x,y) chính là

3y  4xy t x y

(3 t y)  4xy tx (1)

Nếu t = 3 thì g(x,y) = 3x2  4yx

Vì   4y2  0 nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)

Xét (1) theo biến y ta có:

0

y

  với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4

Với t = -1 thì a = 3 – t = 4 > 0 nên g x( )   0 f x y( , )  0

Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi

f x y  g x y   yx   x y 

Với t = 4 thì a = 3 – t = -1 < 0 nên g x y( , )   0 f x y ,  0

Suy ra f x y( , )  0 g x y ,  0  y 2x2  0  y  2x 0

ưu thế của phương pháp tham biến càng được thể hiện qua ví dụ sau:

VD3:

Tìm u, v để biểu thức Q = 2

1

ux v x





đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1

Giải:

2

1 1

ux v t x x



Vì x2 + 1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =

 2 12 2 52

Q x y  xay  2 

1

ux v t x   hay g(x) = tx2 ux v t 

Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa

vào (*) ta phải có:

1

2

1

0

 





 



 

2

2 2

16

u









nghĩa là (u,v) = (4,3) hoặc (4,-3)

Bài tập đề nghị:

Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây:

1)

2

2

1

Q

x





2)

4

2 2

1

x

Q

x







3) Q x2 xy y2

x xy y



7

x y

Q

x y



4

x

Q

x x





 

1

x

Q

x x





 

7) Qx 2y 122xay 52

Bài 2.Tìm m để biểu thức Q = 2

1

x m

x x



  chỉ nhận giá trị thuộc  1;1