SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.SKKN Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đại số.

Trang 1

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

c) Phương pháp thống kê toán học

3333

II PHẦN NỘI DUNG

3 Nội dung và hình thức của giải pháp

a) Mục tiêu của giải pháp

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

c) Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

d) Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu,

phạm vi và hiệu quả ứng dụng

5552727

III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trang 2

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừutượng cao Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệthống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức

và năng lực của số đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinhphải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán tìm giá trịnhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số mà người ta thường gọichung là tìm cực trị của một biểu thức Các bài toán này rất phổ biến trong các

đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi giải toán trên máy tính cầm tay,các đề thi giải toán bằng tiếng việt và đề thi giải toán bằng tiếng anh qua mạnginternet Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp chocác em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiềubài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩtìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 vàkhối lớp 9, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toánkhi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số và thường mắcphải những sai sót khi giải dạng bài tập này, nhiều học sinh thi giải toán quamạng internet chưa biết tính nhanh kết quả bài toán bằng máy tính cầm tay nênkhông đủ thời gian để hoàn thành bài thi Do đó người giáo viên cần phân loạiđược các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, sau mỗidạng toán cần cung cấp thêm cho học sinh phương pháp tìm cực trị của một biểuthức bằng máy tính cầm tay để các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tìnhhuống cụ thể giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giảiđược các dạng bài toán một cách thành thạo Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩnăng giải toán và tư duy sáng tạo

Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số kinhnghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của một biểu thức đạisố” với mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồidưỡng học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ýchân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

Đề tài: “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìmcực trị của một biểu thức đại số” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất củatừng dạng bài toán tìm cực trị của một biểu thức, nắm vững phương pháp giảicủa từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giảimột cách linh hoạt và có hiệu quả Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tíchcực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học chohọc sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong họctập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk 2

Trang 3

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phươngpháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúphọc sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năngsáng tạo cho học sinh Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí,chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc có thểgiải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán họcphong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác.

3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khi dạychuyên đề về tìm cực trị của một biểu thức đại số

4 Giới hạn của đề tài:

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán tìm cực trịcủa một biểu thức

Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối lớp 8 và khối lớp 9 trường THCS

Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và

2016 - 2017

5 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệutrên mạng internet, các bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong các đề thihọc sinh giỏi các cấp qua các năm

- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải chotừng thể loại bài tập

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8 và khốilớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnhĐăkLăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2016 - 2017

- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy

c) Phương pháp thống kê toán học:

- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài

- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận:

Trang 4

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó Việc học toán không phải chỉ là học trongsách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô ra mà phải nghiên cứuđào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều

gì bổ ích Dạng toán về tìm giá trị lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểuthức đại số là dạng toán rất quan trọng trong chương trình môn đại số 8 và đại số

9 làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này Có thể nói đây là nhữngbài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rấtphong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiếnthức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năngphán đoán Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiếtnghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của một biểu thức đại số Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giảibài toán cực trị một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thựchiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năngnhư quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp

Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò hamtìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tựtin trong học tập và niềm đam mê bộ môn Hơn nữa, các bài toán cực trị sẽ gắntoán học với thực tiễn vì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việctìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển họcsinh giỏi khối 8 và khối 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trảinghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề

“Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” và tôi cũng đạtđược thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, khi áp dụngchuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huyđược hiệu quả học tập của học sinh Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giảithành thạo các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thứcđại số thì khi dạy chuyên đề đó giáo viên nên phân theo từng dạng bài toán, quamỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từngdạng, đồng thời lồng ghép kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cực trị củamột biểu thức Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu:

“Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cực trị của mộtbiểu thức đại số” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vàothực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoahọc, lập luận logic và chặt chẽ Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập

Trang 5

3 Nội dung và hình thức của giải pháp:

a) Mục tiêu của giải pháp:

Đề tài “Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên đề tìm cựctrị của một biểu thức đại số” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiềudạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bịcho học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải cácdạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số từ cơbản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợptrong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo Tạohứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán cực trị đại số thông qua các bàitoán có tính tư duy

b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Dạng 1: Biểu thức có dạng tam thức bậc hai ax 2  bx c  a 0  

* Chú ý: Tam thức bậc hai ax 2  bx c  a 0   đạt giá trị nhỏ nhất nếu

Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:

a b  2  a 2  2ab b  2 hoặc a b  2  a 2  2ab b  2 để biến đổi biểu thức A sao cho

A  k (với k là hằng số);

Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k

Bước 3: Kết luận AMin = k khi x = x0

Trường hợp a < 0: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta thực hiệnqua ba bước sau:

Bước 1: Thêm bớt hạng tử và sử dụng một trong hai hằng đẳng thức:

a b  2  a2 2ab b  2 hoặc a b  2  a2 2ab b  2 để biến đổi biểu thức A sao cho

A  k (với k là hằng số);

Bước 2: Tìm giá trị x0 để A = k

Bước 3: Kết luận AMã = k khi x = x0

* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc

hai ax 2  bx c  a 0  trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:

Nhập giá trị của a, ấn phím

Trang 6

Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả X là giá trị x0 để tam thức bậc

hai ax 2  bx c  a 0   đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất

Ấn tiếp phím , máy tính sẽ cho kết quả Y là giá trị nhỏ nhất hoặc giá

trị lớn nhất của tam thức bậc hai ax 2  bx c  a 0  

Trang 7

Dấu “=” xảy ra  x + 3 = 0 x = -3

Vậy CMax = 10 khi x  3

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = - 2x2 + 5x +1

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E x 1  2x 3  2

Đối với biểu thức E ở trên, học sinh dễ bị mắc sai lầm như sau:

Vậy EMax = 0 khi x 1  và x 3 

Phân tích sai lầm trên như sau:

Trang 8

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

1 A



Với lập luận như trên: Vì tử thức có giá trị không đổi nên A đạt giá trị lớnnhất khi x2 – 4 đạt giá trị nhỏ nhất, mà giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 – 4 là -4

 x = 0 Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là

1





* Phương pháp giải:

Biến đổi tam thức bậc hai ở mẫu giống như cách biến đổi ở dạng 1;

Từ đó xác định giá trị cực trị theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử,

tử và mẫu đều dương

* Thủ thuật tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcdạng 2 trên máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai ở mẫuthức bằng cách ấn máy như ở dạng 1 sau đó thay giá trị đó vào mẫu thức củaphân thức đã cho rồi tính ra kết quả

* Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2

2 A

nên (x – 3 )2 + 8  8 với mọi xR

Trang 9

với mọi xR

1 (x 1) 5

  với mọi xRDấu “=” xảy ra x – 1 = 0  x = 1

Vậy BMin -1 khi x 1 

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 2 2

Vậy C Min = 1

2

 khi x =

3 1

Dạng 3: Biểu thức đưa được về dạng aQ x b trong đó a, b là các hằng số, Q x là tam thức bậc hai

Trang 10

* Dấu hiệu nhận biết: Biểu thức A đưa được về dạng A a  b

- Thực hiện chia tử thức cho mẫu thức, đưa về dạng A a Q x b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x b như ở dạng 2 sau đó thay vào biểu thức A ta có kết quả cần tìm

* Thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO 570VN PLUS:

Tìm a: 1

2

a a a

Tìm b: Ấn

Trang 11

B đạt giá trị lớn nhất khi x 2  2 1 đạt giá trị nhỏ nhất

ux+v

,trong đó x là biến Ta thực hiện như sau:

- Biến đổi tử thức về dạng a ux+v 2 p ux+v  q (p, q là hằng số)

Nguyễn Văn Dũng – Trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

11

Trang 12

Vậy BMax = 4 khi x  1

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C 3x22 8x 6

12

Trang 13

Vậy CMin = 2 khi x = 2

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D 8x22 50x 79

Dạng 5: Biểu thức là phân thức có tử là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, mẫu là tam thức bậc hai

* Phương pháp giải:

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của phân thức

2 2

Trang 14

 

2

2 2

y e b x

4x 3 y

14

Trang 15

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8x 32

4x 1



Giải: Đặt 2

8x 3 y

Xét y  2, phương trình (y 2)x  2  (4y 6)x 5y 6 0     có nghiệm khi  0

tức là: (4y – 6 )2 – 4.(y – 2 )(5y – 6 )  0

 16y2 – 48y + 36 – 20y2 + 24y + 40y- 48  0

 -4y2 + 16y – 12  0  y2 - 4y + 3  0 (y – 1 )(y - 3 ) = 0 1 y 3  Với y 1  thì  

Trang 16

* Lưu ý: Tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay

và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị

* Bài tập tự rèn:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a)

2 2

x

x  5x 7  b)

2 2

Trang 18

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

F 19x  2  54y 2  16z 2  16xz 24yz 36xy 5   

nên 9 x 2y  2 2 3y 2z  2 8 x y  2 2x 2  5 5  với mọi x, y, z

18

Trang 19

Dấu “=” xảy ra 

x 2y 0 3y 2z 0

Dạng 7: Biểu thức là đa thức bậc cao

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x 2   x 22

Nhận xét: Ta thấy ngay B 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của B không phảibằng 0 vì x2 – x + 2  0 Nếu ta khai triển đa thức trên theo hằng đẳng thức thì

ta được đa thức bậc 4, việc tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức bậc 4 rất phức tạp

Do đó ta chỉ cần đi tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức x2 + x + 2 như ở dạng 1

Trang 20

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E x – 2x  6 3  x – 2x 2 2 Giải:

Dạng 8: Biểu thức là đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

20

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	1,67 MB