Đề cương ôn tập học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2010-2011 ppsx

Xét tính chẳn lẻ của hàm số Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = fx ta tiến hành các bước như sau: · Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.. – Xỏc định

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KỲ 1 MƠN TỐN LỚP 10

Năm học 2010- 2011 PHẦN I: ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I TẬP HỢP MỆNH ĐỀ (Dành cho phần trắc nghiệm)

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai ? lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đĩ:

1/ "n ỴN*, n2 + n + 1 lµ sè nguyªn tè 2/ "x ỴZ , x2 ³ x

3/ $ kỴ Z , k2 + k + 1 lµ mét sè ch½n 4/ "n ỴN , n3 - n chia hÕt cho 3

5/ "x ỴR , x < 3 Þ x2 < 9 6/ $ x ỴR , 1

1

2

2 >

+

x

x

7/ $ x ỴQ, Z

1

2 3

2 Ỵ +

+

x

x

8/ "xỴN, x2 chia hÕt cho 3 Þ x chia hÕt cho 3 Bµi 2 Cho A={1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 9 ;} B={0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ;} C ={3 , 4 , 5 , 6 , 7}

1/ T×m AÇB B C A; \ ; ÈB A B; \

2/ Chøng minh: AÇ(B\C)=(AÇB)\C

Bài 3: Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau

a/ A = {3k -1| k Ỵ Z , -5 £ k £ 3} b/ B = {x Ỵ Z / x2 - 9 = 0}

c/ C = {x Ỵ R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0} d/ D = {x Ỵ Z / |x |£ 3}

e/ E = {x / x = 2k với k Ỵ Z và -3 < x < 13}

Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp con của tập: a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}

c/ C = {a, b, c, d}

Bài 5: Tìm A Ç B ; A È B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :

a/ A = (2, + ¥) ; B = [-1, 3]

b/ A = (-¥, 4] ; B = (1, +¥)

c/ A = {x Ỵ R / -1 £ x £ 5}B = {x Ỵ R / 2 < x £ 8}

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI (Dành cho tự luận và trắc nghiệm)

VẤN ĐỀ 1 Tìm tập xác định

· Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) cĩ nghĩa:

D = {x R f x có nghĩaỴ ( ) }

· Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1) Hàm số y =

P x

Q x

( )

( ) : Điều kiện xác định: Q(x) ¹ 0

2) Hàm số y = R x( ): Điều kiện xác định: R(x) ³ 0

Chú ý: + Đơi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau

+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A Ì D

+ A.B ¹ 0 Û ì ¹í ¹ỵAB 00

VẤN ĐỀ 2 Xét tính chẳn lẻ của hàm số

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

· Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không

· Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D)

+ Nếu f(–x) = f(x), "x Î D thì f là hàm số chẵn

+ Nếu f(–x) = –f(x), "x Î D thì f là hàm số lẻ

Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với "x Î D thì –x Î D

+ Nếu $x Î D mà f(–x) ¹ ± f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ

VẤN ĐỀ 3 Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K

· y = f(x) đồng biến trên K Û x x" 1 2, ÎK x: 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2

Û x x1 2 K x1 x2 f xx2 xf x1

( ) ( )

-· y = f(x) nghịch biến trên K Û x x" 1 2, ÎK x: 1<x2 Þ f x( )1 > f x( )2

Û x x1 2 K x1 x2 f xx2 xf x1

( ) ( )

-VẤN ĐỀ 4 Hàm số bậc nhất

1 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a ¹ 0)

· Tập xác định: D = R

· Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R

+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R

· Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d ¢): y = a¢x + b¢:

+ (d) song song với (d ¢) Û a = a¢ và b ¹ b¢

+ (d) trùng với (d ¢) Û a = a¢ và b = b¢

+ (d) cắt (d ¢) Û a ¹ a¢

2 Hàm số y ax b= + (a ¹ 0)

b

a

a

ì

-ïï

-ïî

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b= + ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá

đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành

VẤN ĐỀ 5 Hàm số bậc hai y=ax2+bx c+ (a ¹ 0)

· Tập xác định: D = R

· Sự biến thiên:

· Đồ thị là một parabol có đỉnh Iæçè-2ba;-4Daö÷ø, nhận đường thẳng

b x a 2

= - làm trục đối xứng, hướng bề

lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0

Chỳ ý: Để vẽ đường parabol ta cú thể thực hiện cỏc bước như sau:

– Xỏc định toạ độ đỉnh

b I

a; a

D

– Xỏc định trục đối xứng

b x a

= - và hướng bề lừm của parabol

– Xỏc định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với cỏc trục toạ độ và cỏc

điểm đối xứng với chỳng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tớnh đối xứng, bề lừm và hỡnh dỏng parabol để vẽ parabol

Bài 1: Tỡm tập xỏc định của cỏc hàm số sau:

1)

2

3

+

-=

x

x

y 2) y = 12-3x 3)

4

3

-=

x

x

4)

x x

x y

-=

3 ) 1 ( 5) y= x+ +2 7-x 6) y = 5

2 3 10

x

-Bài 2 Tỡm a để hàm số xỏc định trờn tập K đó chỉ ra:

1) y= x a- + 2x a- -1; K = (0; +Ơ) 2) y x a x a

x a

1

+ - ; K = (0; +Ơ)

3) y x a

x a

2 1

+

=

- + ; K = (–1; 0) 4) y x a

x a

- ; K = (–1; 0)

Bài 3: Xột tớnh chẵn, lẻ của hàm số :

1) y = 4x3 + 3x 2) y = x4 - 3x2 - 1 3) y x= 4-2x + 5

Bài 4 Xét tính đồng biến; nghịch biến của hàm số:

1) y

x

4 1

=

+ 2) y =x x ; xẻ(0;+Ơ) 3) ẻ( +Ơ)

2

3

x x y

Bài 5: Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị cỏc hàm số sau:

a) y = 3x-2 b) y -2x + 5 c) y = 2 5

3

x

Bài 6: Xỏc định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b để:

a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)

b/ Đi qua C(4, 3) và song song với đt y =

-3

2

x + 1

c/ Đi qua D(1, 2) và cú hệ số gúc bằng 2

d/ Đi qua E(4, 2) và vuụng gúc với đt y =

-2

1

x + 5

Bài 7: Xột sự biến thiờn và vẽ đồ thị cỏc hàm số sau :

a/ y = x - 4x+3 2 b/ y = -x2 – x + 2 c/ y = -x2 + 2x - 3 d) y = x2

+ 2x

e/ y = x2 + 3x + 4 f/ y = 2x2 – x – 1 g/ y = - x2 + 4x + 5 h/ y = -x2 + 4x

Bài 8: Tỡm tọa độ giao điểm cỏc của cỏc đồ thị hàm số sau:

1/ y = x-1 và y = x2-2x-1 (KQ: (3;2), (0;-1))

2/ y = x- +3 và y=-x2-4x+1 (KQ: (-1;4), (-2;5))

3/ y = x2 -5 và y = x2-4x+4 (KQ: Tiếp xúc tại (3;1))

Bài 9: Xác định parabol y= ax2+ bx+1 biết parabol đó:

a) Qua A(1;2) và B(-2;11)

b) Có đỉnh I(1;0)

c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2

d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0

Bài 10: Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol đó:

a/ Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)

b/ Có đỉnh I(-2; -2)

c/ Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)

d/ Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( Dành cho tự luận)

VẤN ĐỀ 1 Khái niệm phương trình

1 Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)

· x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng

· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình

Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x

1

( ) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x( ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x)

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1

và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S2

· (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2

· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2

3 Phép biến đổi tương đương

· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:

– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0

· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

Bài 1: Giải các phương trình sau :

1/ x- + = +3 x 1 x-3 2/ x- =2 2- +x 1

3/ x x- =1 2 x-1 4/ 3x2 +5x- =7 3x+14

5/ x + =4 2 6/ x- (x1 2 - x - 6) = 0

3x2 +1= 4

7/

2

x+4

x

Bài 2: Giải các phương trình sau :

1

x x

x x 2/ 1 + x 3

1

- = x 3

x 2 7

3/ 2 1 2

x

4/ x4-8x2- =9 0 5/

10 2

x x x

+

-=

VẤN ĐỀ 2 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ

– Bình phương hai vế

– Đặt ẩn phụ

· Dạng 1: f x( ) =g x( ) C

f x

f x g x

f x

f x g x

1

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

í

Û ê

ì <

êí

ê -î = ë

f x g x

2 ( ) 0 ( ) ( )

ï

ê

ïë = -î

· Dạng 2: f x( ) = g x( ) ÛC1[f x( )] [2 = g x( )]2 C f x g x

f x g x

( ) ( )

Û êë =

-· Dạng 3: a f x( )+b g x( ) =h x( )

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải

VẤN ĐỀ 3 Phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế

– Đặt ẩn phụ

Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định

Dạng 1: f x( )=g x( ) Û f x [g x]

g x

2

( ) ( ) ( ) 0

í

³ ïî

f x( ) ( )hay g x ( )= ( )Û íì ( ) 0 (=³ ( ) 0)³

î

Dạng 3: af x b f x c( )+ ( )+ =0 Û t f x t

at2 bt c

( ), 0 0

í + + = ïî

Bài 3: Giải các phương trình sau :

1/ 2x+ = - 1 x 3 2/ |2x - 2| = x2 - 5x + 6 3/ |x + 3| = 2x + 1 4/ |x - 2| = 3x2 - x - 2 5/ x - 2x-5 = 4 6/ 2x- = -4 x 1

7/ 2x+ =5 3x- 2 8/ x2-7x+10 3= x- 1 9/ 3x- =2 x- +2 2

10/ x2-3x- + =1 7 2x 11/ x2 + x2- - = + 12/x 9 x 3 x2- x+1 = x - 2

13/ x2-9x+1 = x - 2 14/ x - 2x-5 = 4

VẤN ĐỀ 4 Phương trình bậc nhất

ax + b = 0 (1)

a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất x b

a

=

-a = 0 b ¹ 0 (1) vô nghiệm

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

1/ 2mx + 3 = m - x 2/ (m - 1)(x + 2) + 1 = m2

3/ (m2 + m)x = m2 - 1

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau :

a 2 3 5

x y

x y

ì

í + =

-î b

x y

x y

- + = ì

í =

-î c.

x y

x y

-ì í- - =

41

11

ïï í

-ïî

VẤN ĐỀ 5 Phương trình bậc hai

1 Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

c

a – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =

c a

-

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với

b b 2

¢ =

2 Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx c+ =0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ

thức

b

S x x

a

= + = - và P x x c

a

1 2

Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0 Định m để phương trình:

a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm

c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại

e/ Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f/ Có hai nghiệm thoả x1=3x2

Bài 7: Cho pt x2 + (m - 1)x + m + 2 = 0

a/ Giải phương trình với m = -8

b/ Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu

d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9

ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)

b2 4ac

D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x b

a

D

- ±

=

D = 0 (1) có nghiệm kép x b

a 2

= -

D < 0 (1) vô nghiệm

PHẦN II: HÌNH HỌC

CHƯƠNG I VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận)

I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ

1 Các định nghĩa

· Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là ABuuur

· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ

· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu ABuuur

· Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0r

· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

· Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng

· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài

Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a br, , r

để biểu diễn vectơ

+ Qui ước: Vectơ 0r

cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Mọi vectơ 0r

đều bằng nhau

2 Các phép tốn trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: AB BC ACuuur uuur uuur+ =

· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: AB AD ACuuur uuur uuur+ =

· Tính chất: a b b ar+ = +r r r

; (a br+ r)+ = +c ar r (b cr+r)

; ar+ =0r ar

b) Hiệu của hai vectơ

· Vectơ đối của ar

là vectơ b

r sao cho ar+ =b 0r r

Kí hiệu vectơ đối của ar

là -ar

· Vectơ đối của 0r

là 0r

· a b ar- = + -r r ( )br

· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA ABuuur uuur uuur- =

c) Tích của một vectơ với một số

· Cho vectơ ar

và số k Ỵ R kar

là một vectơ được xác định như sau:

+ kar

cùng hướng với ar

nếu k ³ 0, kar

ngược hướng với ar

nếu k < 0

+ kar = k a.r

· Tính chất: k a b(r+r)=ka kbr+ r

; (k l a ka la+ )r = r r+

; k la( )r =( )kl ar

ka 0r=r

Û k = 0 hoặc a 0r=r

· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b ar r (r¹0r)cùng phươngÛ $ Ỵk R b ka:r = r

· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB kACuuur= uuur

· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng phương a br,r

và xr tuỳ ý Khi đĩ $! m, n Ỵ R: x ma nbr = r+ r

Chú ý:

· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA MB 0uuur uuur r+ =

Û OA OBuuur uuur+ =2OMuuur

(O tuỳ ý)

· Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm DABC Û GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + =

Û OA OB OCuuur uuur uuur+ + =3OGuuur

(O tuỳ ý)

II/ TỌA ĐỘ

1 Trục toạ độ

· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị er

Kí hiệu

(O e; r)

· Toạ độ của vectơ trên trục: ur=( )a Û =u a er r

· Toạ độ của điểm trên trục: M k( )ÛOM k euuur= r

· Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a= ÛuuurAB a e= r

Chú ý: + Nếu AB cùng hướng với e

thì AB=AB

Nếu AB ngược hướng với e

thì AB= -AB

+ Nếu A(a), B(b) thì AB= -b a

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC+ =AC

2 Hệ trục toạ độ

· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i jr r,

O là gốc toạ độ,

Ox là trục hồnh, Oy là trục tung

· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: ur=( ; )x y Û =u x i y jr r+ r

· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )ÛOM x i y juuur= r+ r

· Tính chất: Cho ar=( ; ),x y br =( ; ),x y k R¢ ¢ Ỵ

, A x y( ; ), ( ; ), ( ; )A A B x yB B C x yC C :

+

x x

a b

y y

ï =

= ïỵ

r

r

+ ar± =br (x x y y± ¢; ± ¢)

+ kar=( ; )kx ky

+ b

r

cùng phương với ar¹0r

Û $k Ỵ R: x¢=kx và y ky¢=

Û x y

= (nếu x ¹ 0, y ¹ 0)

+ uuurAB=(xB-x yA B; -yA)

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: A B A B

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B C

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: M A B M A B

( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA kMBuuur= uuur

)

Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :

a AB)uur uuur uuur uur+DC = AC+DB

b AB)uur uur uuur uur+ED= AD+EB

c AB)uur uur uuur uur-CD= AC-BD

d AD)uuur uur uuur uur uur+CE+DC = AB-EB

) AC+ DE - DC - CE + CB = ABuuur uuur uuur uur uuur uuur

e ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = + + = + +

Bài 2: Cho tam giác MNP cĩ MQ là trung tuyến của tam giác Gọi R Là trung điểm của MQ Cmr

a) 2uuur uuur uur rRM +RN +RP =0

uuur uuur uur uur+ + = "

c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành Chứng tỏ rằng

MS MN PMuuur uuur uuur+ - =2MPuuur

d)Với điểm O tựy ý, hóy chứng minh rằng: ONuuur uuur uuuur uuur+OS =OM +OP

;

ONuuur uuuur uuur uuur+OM +OP+OS =4OIuur

Bài 3:.Cho 4 điểm bất kỡ A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:

a)CAuuur uuur uuur uuur+DB=CB+DA=2MNuuuur

b) uuur uuur uuur uuurAD+BD+AC+BC=4MNuuuur

c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng:2(uur uur uur uur+ + + ) = 3uur

Bài 4: Cho tam giỏc MNP cú MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giỏc Chứng minh rằng:

) uuur uur uur r+ + =0

b) Chứng minh rằng hai tam giỏc MNP và tam giỏc SQI cú cựng trọng tõm

c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm

đối xứng với P qua M Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kỡ ta luụn cú:

uuur uuur uur+ + = uuur uuuur uuur'+ '+ '

Bài 5: Gọi G và GÂ lần lượt là trọng tõm của tam giỏc ABC và tam giỏc A B CÂ Â Â

Chứng minh rằng uuur uuur uuuurAA BB CCÂ+ Â+ Â=3GGuuuurÂ

Bài 6: Cho tam giỏc ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trờn AC sao cho NC=2NA,

gọi K là trung điểm của MN

) CMR: AK= AB + AC

uuur uuuur uuur Gọi D là trung điểm của BC, chứng minh :

Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giỏc MNP.Hóy phõn tớch cỏc vộctơ uuur uur uuur, ,

MN NP PM

theo hai vộctơ ur uuuur=MK

, r uuur=

v NQ

b) Trờn đường thẳng NP của tam giỏc MNP lấy một điểm S sao choSNuuur =3SPuur

Hóy phõn tớch vộctơ MSuuur

theo hai vộctơ ur uuuur=MN

, vr uuur=MP

c) Gọi G là trọng tõm của tam giỏc MNP Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là

điểm trờn cạnh MN sao cho MH =1

5MN Hóy phõn tớch cỏc vộctơ , , ,

uur uuur uur uuur

ur uuuur=PM

, vr uuur=PN

Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)

a) Chứng minh A, B,C khụng thẳng hàng

b) Tỡm toạ độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tỡm toạ độ trọng tõm G của tam giỏc ABC

d) Tỡm toạ độ điểm D sao cho tứ giỏc ABCD là hỡnh Bỡnh hành

e) Tỡm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN

f) Tỡm toạ độ cỏc điờm H, Q, K sao cho C là trọng tõm của tam giỏc ABH, B là trọng tõm của tam

giỏc ACQ, A là trọng tõm của tam giỏc BCK

g) Tỡm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C

h) T ì m toạ độ điểm U sao cho uuur=3uuur uuur; 2 = -5uuur

k) uuurAB, theo 2 uuur uuur ; theo 2 uuur uuur

Hãy phân tich vec tơ AU và CB vectơ AC và CN

Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh: BC, CA,

AB Tỡm toạ độ A, B, C

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng cỏc điểm:

a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng

b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng

c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) khụng thẳng hàng

Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tỡm tọa độ:

a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng

b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng

O x

y M x

y

1 -1

O A

B

ar br ar

b r

CHƯƠNG II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC BẤT KỲ TỪ 0 O ĐẾN 180 O

1 Định nghĩa

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn a = ·xOM Giả sử M(x; y)

sin a = y (tung độ)

cos a = x (hoành độ)

tan a = y tung độ

x hoành độ

è ø(x ¹ 0)

cota = x hoành độy ỉç tung độ ư÷

è ø (y ¹ 0)

Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0

– tan a chỉ xác định khi a ¹ 90 0

, cot a chỉ xác định khi a ¹ 0 0

và a ¹ 180 0

2 Tính chất

· Gĩc phụ nhau · Gĩc bù nhau

0 0 0 0

sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan

0 0 0 0

sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot

-3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

II/ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ

1 Gĩc giữa hai vectơ

Cho a br,r r¹0

Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB buuur= r,uuur r=

Khi đĩ ( )a br,r =·AOB

với 00£ ·AOB

£ 1800

Chú ý:

+ ( )a br,r

= 90 0 Û a br^ r

+ ( )a br,r

= 0 0 Û a br,r

cùng hướng + ( )a br,r

= 180 0 Û a br,r

ngược hướng + ( ) ( )a br,r = b ar,r

2 Tích vơ hướng của hai vectơ

· Định nghĩa: a b a br.r= r cos ,r ( )a br r

Đặc biệt: a a ar r r = 2 = ar2

2

2 2

3

2

2 2

1