Phần IV . ĐẠI SỐ TỔ HỢP pdf

ĐẠI SỐ TỔ HỢP I.. Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau.. ., bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.. … .mn cách khác nhau.. Cách

Phần IV ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP:

1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:

a) Qui tắc cộng :

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2,… , mn cách chọn đối tượng xn, và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (ij; i,j=1,2,…,n) thì có m1+m2+…+mn cách chọn một

trong các đối tượng đã cho

Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau Trường hợp 1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, …trường hợp n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2+…+mn.

b) Qui tắc nhân :

Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m1

cách, bước 2 có m2 cách, , bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1 m2 … mn cách khác nhau

Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1

có m1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, …giai đoạn n có mn

cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1 m2 … mn

2.Hoán vị:

A Hoán vị thẳng:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp thứ tự n phần

tử (n1) của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó

b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì:

n 1 2 3 )

2 n )(

1 n ( n

Qui ước: 0!=1

B Hoán vị có lặp lại:

a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí Trong đó:

n1 vật giống nhau

n2 vật giống nhau

…

nk vật giống nhau ( Hẳn nhiên là n= n1+n2+…+nk)

b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại của n vật trên là:

! n

!

n

! n

! n k 2 1

C Hoán vị tròn :

a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí chung quanh một đường tròn

b) Định lý: Số hoán vị tròn của n vật trên là:

Pn1= (n1)!

3.Chỉnh hợp:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1 kn) phần

tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần

tử

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la:

)!

k n (

! n ) 1 k n ) (

2 n )(

1 n ( n

A k n















Đặc biệt: Khi n

4.Tổ hợp:

a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k

)

0

( k  n phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la:

)!

k n (

! k

! n

C k n





c) Tính chất:

n k

C  

n k n k

1 1

n k

n k ! C

A 

II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

1.Công thức nhị thức Newton:

Với hai số thực a và b và nN ta có công thức:

n n

n

C ) b a

2.Các tính chất:

a) Vế phải có n+1 số hạng

b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n

c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :

k k k n

1 C a b

  (  k 0 , 1 , 2 , 3 , , n )

d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau

n n n 2

n 1

n

0

C

)

0 C ) 1 (

C

C

C

)

n n 2

n

1

n

0