Tích Phân và Đại số tổ hợp pdf

TÍCH PHÂN I.Nguyên hàm và tích phân bất định: 1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’x=fx với xa;b thì Fx là một nguyên hàm của fx trên khoảng a;b.. Mọi nguyên hàm của fx đều có dạ

Trang 1

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật

Phần 3 TÍCH PHÂN I.Nguyên hàm và tích phân bất định:

1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với x(a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b) Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b)=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] Mọi

nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của

f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là f(x)dx

Vậy f ( x ) dx = F(x)+C  F ’(x) = f(x) với x(a;b) và C là hằng số

 Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

2.Tính chất:

a) (f ( x ) dx )'= f(x)

b)kf ( x ) dx= kf ( x ) dx k0

c) f ( x )  g ( x )] dx=f ( x ) dx+g ( x ) dx

d)f ( t ) dt  F ( t )  Cf ( u ) du  F ( u )  C với u = u(x)

3.Bảng các nguyên hàm:

Trang 2

cấp

1

x

dx

x

1











1

u du u

1











dxx = lnx+ C, x  0 duu = lnu+ C, x  0

= eu+C

a

ln

a

dx

a

x

a ln

a du a

u u

+C, 0<a1

cos xdx = sinx+C cos udu = sinu+C

sinxdx =  cosx+C sin udu =  cosu+C

cosdx2x= tgx+C, x

2



+k và kZ cosdu2u= tgu+C, u

2



+k và kZ

sindx2x=  cotgx+C, x k và kZ sindu2u=  cotgu+C, u k và

kZ

II Phương pháp đồng nhất:

a.Hai đa thức đồng nhất:

Cho hai đa thức :

f(x) = a xn+a xn-1+ +a x+a (a  0)

Trang 3

g(x) = bnxn+bn-1xn-1+ +b1x+b0 (bn  0)













0 0

n n

b a

b a ) x (

g

)

x

(

f

b.Phép đồng nhất:

1) Dạng f(x) = n

) a x ( ) x ( g

 ( với degg(x) < n):

Phương pháp: Phải tìm n số r1, r2, r3, , rn sao cho:

f(x) =

a x

r

) a x (

r ) a x (

1 2 n 1









Kiến thức:









n n

) a x )(

1 n (

1 )

a x ( d ) a x ( ) a x

(

a x ) a x ( d a x

dx













2) Dạng f(x) =

) b x )(

a x ( ) x ( g



 ( với degg(x)  1 ):

Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho:

f(x) =

) b x )(

a x ( ) x ( g



b x

B a x

A







3) Dạng f(x) =

) c bx ax )(

x (

) x ( g

2





 ( với degg(x) < 3 và =b24ac < 0 )

Trang 4

Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho:

f(x) =

c bx ax C Bx x

A

2





 4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp

đồng nhất các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau

III Tích phân xác định:

1) Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,bK; F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ

a đến b của f(x) và được ký hiệu là 

b

a

dx ) x (

f Ta viết :

) a ( F ) b ( F ) x ( F dx ) x (

a b

a





2) Các tính chất của tích phân :

Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c  K

* 

a

dx

)

x

(

* 

a

b

dx

)

x

(

f =

b

a

dx ) x ( f

*

b

a

dx

)

x

(

kf =k

b

a

dx ) x (

f (k|R)

*  

b

dx

)]

x

(

g

)

x

(

b

dx ) x (

f 

b

dx ) x ( g

diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng () vuông góc với Ox Thể tích của (T) được tính bởi:

V= b

a

dx ) x ( S

2 Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox,

tạo nên hình tròn xoay Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=

b

a

2 dx

y

3 Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b] Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy,

tạo nên hình tròn xoay Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=

b

a

2 dy x

Trang 5

Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:

a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x[a;b] thì  

b

a b

a

dx ).

x ( f dx ) x ( f

b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập

phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :

 Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x1 < x2=b

 Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì

:

a= x1 < x2 <… < xn=b Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến

đổi:

S= b

a

dx ) x (

2

a

dx ) x (

3

2

dx ) x (

 b

1 x

dx ) x ( f

= 

2

a

dx ) x (

3

2

dx ) x (

 b

1 x

dx ) x ( f

2) Cho f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] Diện tích hình (H) giới hạn

bởi y= f1(x); y= f2(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi:

b

a

2

1 ( x ) f ( x ) dx

2.Thể tích vật thể hình học:

1 Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai

mặt phẳng () và () đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b Gọi S(x) là

* c

a

dx ) x (

f =

b

a

dx ) x (

f +

c

b

dx ) x ( f

* f(x)  0 trên [a;b] 

b

a

dx ) x (

f 0

* f(x)  g(x) trên [a;b] 

b

a

dx ) x (

f 

b

a

dx ) x ( g

* m f(x)  M trên [a;b]  m(ba) 

b

a

dx ) x (

f  M(ba)

* t[a;b]  G(t)=

t

a

dx ) x (

f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0

IV Các phương pháp tính tích phân xác định:

1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b],

giả sử cần tính 

b

a

dx ) x (

f , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x)

trên đoạn [a;b] a) Đổi biến số dạng 1:

 Đặt x = u(t)

- Tính dx=u’(t)dt

- Đổi cận x = a  u(t) = a  t = 

x = b  u(t) = b  t = 

Trang 6

 Đổi biến bf ( x ) dx g ( t ) dt

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]

 Tính bf ( x ) dx g ( t ) dt

a =G(t)|   G (  )  G (  )



b) Đổi biến số dạng 2:

 Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x)  x = u(t))

- Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )

- Đổi cận: x = a  t = v(a) = 

x = b  t= v(b) = 

 Đổi biến  





 g ( t ) dt dx

) x ( f

b

a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]





 g ( t ) dt dx

) x ( f

b

a = G(t)|   G (  )  G (  )



2) Phương pháp tính tích phân từng phần :

a) Định ly: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

[a;b] thì:

b

a

) x (

u v’(x)dx= u(x) v(x) b

b

a

) x (

v u’(x)dx

hay: b  

a

b a b

a vdu uv

udv

b) Cách tính:

 Biến đổi b 

a

b

a udv dx ) x (

f với cách đặt hợp lý :



















) x ( v v

dx ) x ( ' u du dx ) x ( ' v dv

) x ( u u

 Biến đổi về: b  

a

b a b

a vdu uv udv , sau đó tính từng phần uv ab

b

a , vdu

| c) Chú y : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng

phương pháp tích phân từng phần (a0):

    cos( ax  b )

a

1 dx ).

b ax

) 1 ( a ) b ax ( dx ) b ax (

1













   sin( ax  b )

a

1 dx ).

b ax

1 b ax

dx

lnax+b+ C

cos2(dxax )b =

a

1

 ax b b

a

1 dx

sin2(dxax )b = 

a

1

a x ln a

1 a x

dx

2

V Ứng dụng của tích phân :

1.Diện tích hình phẳng:

1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x);

y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi:

S= b

a

dx ) x (

f

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	345,98 KB