Tài liệu Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính pdf

Bezier đã bắt đầu làm công việc trên dựa trên các công thức toán học để cho công việc thiết kế mềm dẻo hơn dựa trên phương pháp nội suy.Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc cá

Tài liệu

Ôn tập Đại số tuyến tính

.

phần lý thuyết

Câu 19 Trình bày đường cong phức hợp? cơ sở toán và thuật toán hình thành đường cong phức hợp ?

Các đường cong phức hợp là những đường cong phức tạp như thân ô tô, cánh máy bay, vỏ tàu thủy, các loại chai mỹ phẩm… đường cong phức hợp trong thiết kế đòi hỏi từ hai khả năng, thứ nhất đường sinh đường cong dựa vào tập hợp các điểm đo đạc được, thứ hai là hiệu chỉnh đường cong trên các đối tượng đã có

Về mặt toán học các đường cong phức hợp là các đường cong trơn được xây dựng dựa vào các dữ liệu điểm, tuy nhiên trong CAD/CAM dạng đa thức được sử dụng điển hình nhất Để biểu thị mức trơn của các đường cong người ta đưa ra 3 sự liên tục tại các điểm dữ liệu đó là:

C0- sự liên tục về vị trí ( position)

C1- sự liên tục về độ dốc( slope)

C2- sự liên tục về độ cong ( curvature)

Đa thức bậc ba là dạng thấp nhất để biểu diễn đường cong nhưng mang lại hiệu quả đáng kể:

+ Cho phép biểu diễn đường cong trong không gian

1 Đường cong Hermite

Đường cong Hermite trơn tham số bậc ba được định nghĩa bởi tọa độ và vecto tiếp tuyến tại hai điểm đầu mút Phương trình tổng quát được viết như sau:

P(t) = i 0

Trong đó P( t) là điểm trên đường cong

Khai triển phương trình ta được :

P(t) = T.MH.GH

Trong đó :

T= được gọi là ma trận tham số

M H = được gọi là ma trận đặc trưng của đường cong Hermite

Bezier đã bắt đầu làm công việc trên dựa trên các công thức toán học để cho công việc thiết kế mềm dẻo hơn dựa trên phương pháp nội suy.

Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc các đỉnh điều khiển được sắp xếp theo một trật tự điểm (P0…Pn) đó là các điểm gần với đường cong Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình đồ họa và được con người sử dụng dùng để điều khiển hình dạng của đường cong theo ý muốn của mình Đường cong Bezier dựa trên nền tảng các hàm đa thức, dùng để biểu diễn các đường cong tự do Đường cong Bezier có bậc n được định nghĩa bằng n+1 đỉnh điều khiển và hàm tham số có dạng :

P(t)= (t) (19.10)

Trong đó các vecto Pi biểu diễn n+1 điểm điều khiển Hàm Bi,n(t) là hàm trộn cho các biểu diễn Bezier và được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau :

B i,n (t)=C(n,i).t i (1-t) n-i 0 (19.11)

Trong đó C(i,n) là nhị thức Newton được tính như sau:

Các hàm trộn của Bezier tạo ra bậc n của đa thức và cho n+1 điểm điều khiển Nói chung tác động vào đường cong Bezier để thêm vào các điểm điều khiển đầu và cuối Các điểm điều khiển ở giữa chỉ có tác dụng lôi kéo co giãn đường cong và có thể được sử dụng điều chỉnh cho đường cong thay đổi hình thể.

Các đa thức Bernstein được sử dụng như các hàm trộn cho các đường cong Bezier tương đương với mảngcác điểm điều khiển đường cong đa thức đơn giản Mức độ hình dạng cuối cùng phụ thuộc vào số lượng các điểm điều khiển Các đường cong này được gọi là điều khiển cục bộ : đó là khi di chuyển một điểm điều khiển chỉ làm thay đổi hình dáng của một đoạn đường cong

Để cung cấp sự mềm dẻo trong thiết kế thì với một số lượng lớn các điểm điều khiển là cần thiết, kết quả cho ở các đa thức mức độ cao có thể sẽ khó cho việc điều khiển

Các ứng dụng của công thức Bezier là làm cánh máy bay, thân ô tô … Thuật toán của đường cong Bezier không gian với n điểm điều khiển như sau :

Subroutine Bezier_curve ()

# n+1 –số điểm điều khiển

# Pi- điểm điều khiển thứ i có tọa độ là (Pix, Piy, Piz)

Dạng ma trận của đường cong Bezier :

Các đường cong Bezier có thể biểu diễn đơn giản dưới dạng ma trận Xét đường cong Bezier bậc ba có 4 điểm điều khiển

Bốn hàm trộn phải tìm dựa trên đa thức Bernstein cho ở phương trình (19.10) là:

Ta có thể viết lại đường cong Bezier bậc ba dưới dạng ma trận như sau:

3 Đường cong B-Spline

Đường cong B-Spline là dạng đường cong trơn có tính chất linh hoạt hơn đường cong Bezier Bậc của đường cong không phụ thuộc vào số điểm điều khiển với 4 điểm điều khiển tạo đường cong của Bezier bậc thì cùng với 4 điểm đó có thể tạo thành đường cong B-Spline bậc 1, 2 hoặc 3 Tính linh hoạt này có được bởi việc chọn các hàm trộn khác nhau

Phương trình tổng quát của đường cong B-Spline định nghĩa bởi n+1 điểm điều khiển như sau:

P(u)= (u) (19.13) 0 u max

Tham số u không lấy giá trị từ 0÷1 như đường cong Bezier

Trong đó : Pi là các điểm điều khiển

Ni,k(u) là các hàm trộn ( hàm B-Spline)

(k-1) là bậc của đường cong

Hàm trộn ( hàm B-Spline) có các đặc điểm sau :

+ Ni,k(u) >0

+ Ni,k(u) = 0 nếu u≠ , Ni,k(u) có k-2 lần vi phân liên tục

Đặc điểm thứ nhất đảm bảo sự liên quan giữa đường cong và các điểm điều khiển là bất biến qua phép biến đổi affine Đặc điểm thứ hai đảm bảo đoạn cong nằm hoàn toàn về phía lồi của Pi và đặc điểm thứ bacho thấy đoạn cong chỉ bị ảnh hưởng bởi k điểm điều khiển

Ví dụ : đường cong B-Spline bậc ba (k=4) thì đoạn chỉ bị ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển

Hàm B-Spline tổng quát có đặc điểm đệ quy và xác định bởi công thức :

Ni,k (u) = (u-ui) * + (ui+1-u)*

Trong đó :

Ni,1=

Ni,1 (k=1) là hằng số, còn trong trường hợp tổng quát k≠1 thì sẽ là đa thức bậc k-1

Ui gọi là các nút tham số, chúng tạo thành 1 dãy các số nguyên không giảm gọi là vecto nút Giá trị của các Ui phụ thuộc vào đường cong B-Spline là mở hay đóng Đối với đường cong mở Ui xác định bởi :

Trong đó : 0 (19.15)

Và khoảng cách chia của u là : 0 (19.16)

Trong (19.15) dùng chỉ số j và j thường lớn hơn n mà n là giới hạn trên của i, các ui sẽ lấy bằng uj khi i=j.Phương trình (19.16) chỉ rằng (n+k+1) nút là cần thiết để tạo đường cong bậc k-1 với (n+1) điểm điều

khiển Các nút này được đặt đều nhau trong phạm vi của u với =1, như vậy sẽ cho phép tạo ra hàm Spline đồng nhất; (19.16) cho giới hạn của u đồng thời cũng cho giới hạn của k xác định bởi : n-k+2>0 Quan hệ này cho thấy số điểm điều khiển tối thiểu là 2,3,4 là bắt buộc để định nghĩa đường cong B-Spline bậc 1,2 hoặc 3 Có nghĩa là có hai điểm điều khiển thì chỉ định nghĩa được B-Spline bậc 1, có 4 điêm điều khiển mới có thể định nghĩa được đường cong bậc 3,

 B-Spline mở sẽ tiếp tuyến với đoạn (P1-P0) và (Pn+1-Pn)

 Bậc của đường cong càng thấp thì dạng càng gần với điểm điều khiển

 k=1 bậc 0 thì đường cong suy biến thành các điểm điều khiển

 k=2 bậc 1 thì đường cong suy biến thành các đoạn đa giác điều khiển

 Nếu B-Spline là bậc 2 thì nó tiếp tuyến tại điểm giữa của các đa giác điều khiển

 Nếu k=n+1 thì đường cong B-Spline suy biến thành đường cong Bezier

 Sử dụng nhiều điểm điều khiển trùng nhau để kéo spline vể điểm đó

Dạng ma trận của đường cong B-Spline

Đường cong B-Spline nội suy qua n+1 điểm điều khiển nhưng do tính chất điểu khiển cục bộ mà đường cong B-Spline được chia thành các đoạn, mỗi đoạn chỉ chịu ảnh hưởng của 4 điểm điều khiển

Có (n+1) điểm điều khiển sẽ được (n+1-3) hay (n-2) đoạn cong Ký hiệu đoạn cong là Qi thì Qi được điềukhiển bởi 4 điểm Pi-3, Pi-2, Pi-1, Pi Vecto hình học GBsi cho trong đoạn Qi là:

GBsi= 3

Định nghĩa ma trận =

Trong đó ui là các nút tham số được tính theo công thức (19.14) Thì công thức ma trận cho B-Spline như sau :

P i (u) = * * ui ≤ u ≤ ui+1 ; 3 ≤ i ≤ n

Trong đó ma trận cơ bản của B-Spline MBs như sau :

MBs =

Câu 20 Trình bày mô hình mặt lưới? cơ sở toán và thuật toán hình thành mô hình mặt lưới?

Đây là một bề mặt được định nghĩa bởi một chuỗi các đường Section và cross-section Bề mặt tạo ra là một lưới các mảnh nhỏ

Bề mặt đi qua một cách trơn tru một chuỗi các đường Section ( hướng U) và các đường Cross-Section ( hướng V)

Mỗi một cặp các đường Section và các đường Cross-section kề nhau sẽ tạo ra một mảnh bề mặt

Sự tiếp nối giữa hai mảnh kề nhau là liên tục và trơn tru

Bên trong các mảnh , hình dạng của bề mặt được định nghĩa bởi một hàm số tùy thuộc vào hình dạng của các đường cong tạo ra mảnh đó và khoảng cách từ điểm đang xét tới đường biên của mảnh

Trong CAD /CAM để tạo ra bề mặt lưới người ta dùng lệnh MESH sau đó chỉ ra hai nhóm đường cong cắt nhau

Bộ các đường cong được chọn đầu tiên sẽ tạo nên các đường Section, còn nhóm đường cong chọn thứ hai

sẽ tạo ra các đường cong Cross-Section

Thuật toán tạo ra mặt lưới cho phép chúng ta tạo ra những bề mặt có hình dạng tương đối phức tạp và có

ít quy luật

1 Phương pháp để biểu diễn bề mặt trong CAD

Các bề mặt được biểu diễn trong không gian tham số và không gian đề các

Bề mặt là một dạng mô hình hình học trong thiết kế kĩ thuật và gia công Bề mặt chi tiết thường được tạo bởi nhiều mảnh bề mặt ghép lại, mỗi mảnh bề mặt tùy thuộc theo đặc điểm hình học sẽ được biểu diễn bằng các mô hình toán học khác nhau, ví dụ như mặt phẳng, mặt tròn xoay, mặt Bezier… Cũng giống nhau đường cong các bề mặt được biểu diễn bằng phương trình tham số.

Giả sử tại P 0 có u=0, v=0 và 0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ 1

Vecto P1-P0 xác định hướng tham số u

Vecto P2-P0 xác định hướng tham số v

Vecto xác định một điểm bất kì trên mặt phẳng P(u,v) viết như sau :

Tùy theo độ lớn của Lu, Lv mà ta có mảnh mặt phẳng có kích thước khác nhau

(P-P 0 ) = 0 (20.4)

Định nghĩa hệ tọa độ cục bộ có truc Z trùng với trục quay XL nối vuông góc từ điểm có u=0 trên profile đến trục quay ra profile Trục YL sẽ được xác định bằng quy tắc bàn tay phải Xét một điểm trên đường cong phẳng G(u)=P(u,v) cho quay một góc v quanh trục ZL được điểm P(u,v) Công thức xác định P(u,v) chính là phương trình tham số của bể mặt tròn xoay:

P(u,v) = rz(u) + rz(u) + zL(u) 0

Chuyển P(u,v) về không gian mô hình thông qua ma trận chuyển hình dựa vào PL, , , ta có P(u,v)trong không gian mô hình để hiển thị bề mặt cơ sở dữ liệu của bề mặt tròn xoay bao gồm profile, trụcquay, góc đầu, góc cuối

• Bề mặt trụ

Bề mặt trụ được tạo thành do di chuyển một đường cong thẳng theo một hướng (cho đường cong chuẩntrượt theo đường sinh ) hoặc di chuyển một đường thẳng (gọi là đường sinh) dọc theo một đường congphẳng (gọi là đường chuẩn) Đường sinh luôn luôn song song với 1 vecto cố định, vecto này định nghĩaphương v của bề mặt

Vecto vị trí P(u,v) tại một điểm trên bề mặt được viết như sau :

P(u,v) = G(u) + v 0≤ u ≤ umax ; 0≤ v ≤ vmax

Cơ sở dữ liệu của bề mặt trụ là : đường chuẩn, vecto (hay đường sinh) và giới hạn trên, dưới của mặt trụ

2.2 Biểu diễn các bề mặt cong trơn

• Bề mặt Hermite bậc 3

Bề mặt Hermite bậc 3 nội suy qua dữ liệu tại 4 điểm ở 4 góc Tại 4 điểm này xác định 16 vecto điều kiện (hay 48 đại lượng vô hướng) 16 vecto bao gồm :

4 tọa độ điểm tại 4 góc : P00, P10, P01, P11

8 vecto tiếp tuyến tại 4 góc (mỗi hướng có 2 vecto theo hai hướng u và v )

4 vecto xoắn tại 4 góc

Phương trình bề mặt Hermite dưới dạng ma trận như sau:

Nếu muốn có ma trận [B]X| là yếu tố hình học theo phương x thì các phần tử trong (20.8) cũng lấy chỉ số

x Ma trận [B] có 4 nhóm yếu tố hình học nên ta có thể viết gọn lại như sau:

[B] =

Vecto tiếp tuyến và vecto xoắn tại một điểm bất kì trên bề mặt như sau:

P u (u,v) = = U T * * *V

P v (u,v) = = U T * * *V

P uv (u,v) = = U T * * *V

Trong đó [M H ] u = [M H ] v = (như đường Hermite )

Phương trình bề mặt Bezier như sau : P(u,v) = 0 ≤ u,v ≤ 1

Trong đó : Pij là điểm điều khiển được xếp thành ma trận (n+1) X (m+1) ; (n+1) là số điểm theo hàng u và(m+1) là số điểm theo hàng v

Bi,n(u) và Bj,m(v) là các hàm trộn theo hàm Bernstein theo hàng u và v

Cơ sở hình thành bề mặt Bezier

Bề mặt Bezier sẽ tiếp tuyến với các mảnh đơn của các đa diện điều khiển tại 4 góc Có thể viết được vectotiếp tuyến tại 4 góc của bề mặt như sau :

Pu00 = n(P10 – P00) ; Pun0 = n(Pn0 –P(n-1)0) dọc theo cạnh v=0

Pu0m = n(P1m – P0m) ; Punm = n(Pnm –P(n-1)m) dọc theo cạnh v=1

Khi khai triển chú ý Pij * Pbl = 0 nếu i =b và j = l và Pij * Pbl = -Pbl*Pij.

Phương trình bề mặt Bezier được viết dưới dạng ma trận như sau:

Trên đây là các cách biểu diễn của một số bề mặt Nếu ta muốn biểu diễn thành mặt lưới gồm

có m đường Section và n đường Cross-Section ta chỉ việc chia u ra thành (m-1) khoảng bằng nhau và chia v ra thành (n-1) khoảng bằng nhau.

Câu 21 Giải thích ý nghĩa của việc bù bán kính dao? Lấy ví dụ minh họa?

Do trong quá trình gia công dao bị mòn dần , và trong quá trình lập trình gia công do ta lấy điểm đỉnh dao để lập trình gia công không trùng với điểm đầu dao tiếp xúc với phôi ngoài thực tế nên khi gia công

sẽ gây ra sai số Vì vậy ta cần phải bù dao trong quá trình gia công để gia công được kích thước đúng yêu cầu tránh gây ra sai số ảnh hưởng tới chất lượng của chi tiết gia công

Trong quá trình gia công tùy thuộc vào hướng chạy dao mà ta có thể bù dao trái hoặc bù dao phải

Quỹ đạo tâm dao khi bù dao b) và khi không bù dao

I phần thực hành

Chi tiết dạng càng thường có chức năng biến chuyển động thẳng của chi tiết này (piston của động cơ đốt trong chẳng hạn) thành chuyển động quay của chi tiết khác (trục khuỷu) Ngoài ra chi tiết dạng càng còn dùng để đẩy bánh răng ( khi cần thay đổi tỷ số truyền trong các hộp tốc độ )

Trên chi tiết dạng càng ngoài các lỗ cơ bản cần được gia công chính xác, còn có những lỗ dùng để kẹp chặt chi tiết , các rãnh then, các mặt đầu của lỗ và những yếu tố khác cần được gia công Trên chi tiết dạng càng bao giờ cũng có một hoặc một số lỗ cơ bản mà tâm chúng bao giờ cũng song song với nhau hoặc tạo với nhau một góc nào đó

Cũng như các chi tiết khác, đối với chi tiết dạng càng tính công nghệ có ý nghĩa quan trọng vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến năng suất và độ chính xác gia công Vì vậy khi thiết kế càng nên chú ý tới kết cấu của

Kết cấu của càng phải thuận lợi cho việc gia công nhiều chi tiết cùng một lúc

Hình dáng của càng phải thuận lợi cho việc chọn chuẩn thô và chuẩn thống nhất

Chi tiết càng gia công trên là chi tiết có tác dụng như đùi xe đạp để truyền chuyển động quay từ tay quay sang trục

Để thiết kế chi tiết này ta sẽ sử dụng phần mềm thiết kế Solidwork

Quá trình thiết kế chi tiết như sau:

1.thiết kế chi tiết trên phần mềm Solidwork

để vẽ được chi tiết ta phải tạo mặt vẽ phác thảo (Sketch) Trên mặt phác thảo này ta vẽ biên dạng của chi tiết như hình vẽ dưới đây:

Extrude để tạo khối

cơ bản ban đầu của

chi tiết Ta cho các

thông số kích thước

để sau này có được

kích thước của chi tiết

yêu cầu Ta có hình

vẽ minh họa cho công

việc thực hiện như

sau:

Hình 2 khối cơ bản ban đầu : dùng lệnh Extrude

Sau đó để thực hiện tiếp ta chọn mặt phẳng để vẽ phác thảo tiếp như hình vẽ duới đây:

Hình 3 chọn mặt phẳng để gia công và phác thảo biên dạng

hình vẽ tiếp theo

Hình 4 Tạo khối hình trụ để đạt kích thước hình trụ lớn

Sau đó ta dùng lệnh Extrude để tạo hình trụ để đạt kích thước yêu cầu của hình trụ lớn Dưới

đây là hình vẽ minh họa

Hình 5 tạo khối cho hình trụ lớn

Sau khi đã đạt được kích thước của hình trụ lớn theo đúng yêu cầu ta tiếp tục tạo hình trụ nhỏ

để đạt kích thước theo yêu cầu

Hình6 chọn mặt phẳng và vẽ biên dạng cho hình trụ nhỏ

Hình 7 Tạo khối hình trụ nhỏ

Để tạo gân cho chi tiết ta dùng lệnh Loft theo hai biên dạng vẽ trên hai mặt phẳng như sau: Hai mặt phẳng lần lượt là hai mặt phẳng đối xứng của hai hình trụ như hình vẽ

Hình 8 Hai mặt phẳng để tạo biên dạng

cho lệnh Loft

Sau khi đã tạo được hai mặt phẳng tao lần lượt chọn một trong hai mặt phẳng đó và vẽ biên dạng của gân trên hai mặt đó Sau đó ta vẽ đường phụ trợ Nó được minh họa như hình vẽ dưới đây: